广东省惠州市第一中学(惠州市)2015届高三第一次模拟考试数学理试题 Word版

惠州市2015届高三模拟考试

数 学 试 题 （理科） 2015.04

【试卷综述】本次试卷考查的范围是三角函数和数列。试卷的题型着眼于考查现阶段学生的基础知识及基本技能掌握情况。整份试卷难易适中，没有偏、难、怪题，保护了学生的学习信心并激励学生继续学习的热情；在选题和确定测试重点上都认真贯彻了“注重基础，突出知识体系中的重点，培养能力”的命题原则，重视对学生运用所学的基础知识和技能分析问

V题、解决问题能力的考查。参考公式：锥柱体的体积公式：积，h是锥体的高．

1Sh3，其中S是锥体的底面

b用最小二乘法求线性回归方程系数公式：

xynxyiii1nnxi2nxi12，aybx．

【题文】一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

【题文】1．若集合A{x|x0或x1,xR}，

Bxx2,xR，则 ( )

A．AB B．AB C．AB D．A【知识点】集合间的关系A1

【答案】【解析】A 解析：由集合的包含关系可知AB，故选A． 【思路点拨】由集合的包含关系直接做出判断即可.

B

2bi【题文】2．已知b为实数，i为虚数单位，若1i为实数，则b ( )

A．1 B．2 C．1 D．2 【知识点】复数的乘除运算L4

2bi（2bi）(1i)(2b)(2b)i22【答案】【解析】B 解析：1i，所以b2，故

选B．

【思路点拨】先把复数化简,再求出b的之即可.

【题文】3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的函数是 ( ) A．yx B．

3yx1xx C．yxe D．yln(x)

【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质．B4 B12

3yx【答案】【解析】B 解析：由选项可知，A选项单调递增（无极值），C、D选项不是

奇函数，只有B选项既为奇函数又存在极值．故选B．

- 1 -

【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．

【题文】4．若变量x，y满足约束条件

x2y80x40y3，则目标函数z2xy的最大值等于

( )

A．7 B．8 C．10 D．11 【知识点】简单线性规划． E5 【答案】【解析】C 解析：平面区域如图所示，由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B（4，2）时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，此时z=2×4+2=10，故选：C

【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z2xy过点B（4，2）时，z最大值即可．

【题文】5．在ABC中，AB2，AC3，ABAC3，则BC ( ) A．3 B．7 C．19 D．23 【知识点】向量数量积的运算;余弦定理F3 C8

ABAC3cosA【答案】【解析】B 解析：

12，又由余弦定理知BC7．故选B．

【思路点拨】先利用向量数量积得到cosA,再由余弦定理可得结果。

【题文】6．下列命题的说法 错误 的是 ( )

p,q都是假命题．

A．若复合命题pq为假命题，则

B．“x1”是“x3x20”的充分不必要条件．

22p:xR,xx10,p:xR,xx10． C．对于命题 则

2D．命题“若x3x20，则x1”的逆否命题为：“若x1，则x3x20”． 【知识点】全称命题；复合命题的真假．A2

22p,q至少有一个为假命题．故选A．

【答案】【解析】A 解析：若pq为假命题，则

【思路点拨】本题考查的是全称命题、复合命题的真假问题、充要条件等．在解答的过程当

- 2 -

中充分体现了问题转化的思想．值得同学们体会反思．

【题文】7．多面体MNABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为 ( )

1620A．3 B．6 C．3 D．6

【知识点】由三视图求面积、体积．G2

【答案】【解析】C 解析：用割补法可把几何体分割成三部分,可得

V222012122223，故选C． 3【思路点拨】用割补法可把几何体分割成三部分, 把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．

32【题文】8．对于三次函数f(x)axbxcxd(a0)，给出定义：设f'(x)是函数

x则称点(x0,f(x0))yf(x)的导数，f''(x)是f'(x)的导数，若方程f''(x)0有实数解0，

为函数yf(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一

g(x)个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数

13125xx3x3212，

12gg20152015则2014g2015 ( )

A．1 B．2016 C．2015 D．2014 【知识点】类比推理．M1

2g（x）xx3，g（x）2x1，由【答案】【解析】D 解析：依题意得：

g（x）0，即2x10，可得

x111g1,1gx22，而，即函数的拐点为2，即

g1xgx2，

120142201332012gggggg201520152015201520152015所以2,

- 3 -

2014220142所以所求为，故选D．

1,1g1xgx2【思路点拨】由题意可推出2为f（x）的对称中心，从而可得,

220131201432012gggggg2,201520152015201520152015从而求的

值．

【题文】二、填空题（本大题共7小题，考生作答6题，每小题5分，满分30分，其中13题第一问2分，第二问3分。）

（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．

11a0,b0ab1ab的最小值为__________． 【题文】9．设，若，则

【知识点】基本不等式；等比数列的性质．D3 E6

ba1111ba4()(ab)1122bababa【答案】【解析】4 解析：ab，当且

11abab的最小值为4．故答案为4. 仅当时取等号，所以

【思路点拨】由条件a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值．

【题文】10．计算积分

e11dxx __________．

【知识点】定积分的计算B13

【答案】【解析】1 解析：

e11edxlnx|1lneln11x,故答案为1.

y【思路点拨】利用定积分的运算公式即可.

【题文】11．某单位为了了解用电量（度）与当天平均气温x（°C）之间的关系，随机统计了某4天的当天平均气温与用电量（如右表）。由数据运用最小二乘法得线性回归方程

y2xa，则a__________．

【知识点】线性回归方程．I4

x【答案】【解析】60 解析：

18131012535376310y4044，，样本中

- 4 -

心为(10,40)，回归直线经过样本中心，所以40210aa60．故答案为60. 【思路点拨】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．

【题文】12．如图所示的程序框图，若输入n2015，则输出的s值为__________．

【知识点】程序框图L1

【答案】【解析】

32sin 解析：由程序框图知

ssin20142013sin33sin23sin2sin33，

sin又

3603以及周期的性质，化简后得

ssin3sin23433sinsin3332．故答案为2.

【思路点拨】首先分析程序框图，循环体为“直到型”循环结构，按照循环结构进行运算，

求出满足题意时的s值．

【题文】13．将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为

A(m,n)，

如A(3,1)4，A(4,2)12，则A(1,n)__________；A(10,10)__________．

28212715202610141925691318243581217231247111622

【知识点】归纳推理．M1

n(n1),181A(1,n)122【答案】【解析】 解析：由题意，

- 5 -

nn(n1)2，

101155A(1,10)2∴，∴A(10,10)551011n(n1),1812.

A(1,n)12【思路点拨】由题意，

18181．故答案为

nn(n1)2，再求出A（1，10），即可求出A

（10，10）．

【题文】（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题．

x4t2y4t（tP(3,m)【题文】14．（极坐标与参数方程选做题）若点在以点F为焦点的抛物线为参数）上，则

PF等于______．

【知识点】椭圆的参数方程；抛物线的简单性质．H5 H7

2y4x，PF为P(3,m)到准线x1的距离，即距【答案】【解析】4 解析：抛物线为

离为4．故答案为4. 【思路点拨】欲求即可．

【题文】15．（几何证明选讲选做题）如图，PA与圆O相切于A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知BPA30，PA23，PC1，则圆O的半径等于__________．

PF，根据抛物线的定义，即求P(3,m)到准线x=﹣1的距离，从而求得|PF|

【知识点】与圆有关的比例线段．N1

【答案】【解析】7 解析：由圆的性质PA=PC·PB，得PB=12，连接OA并反向延长交圆于点E，在直角三角形APD中可以求得PD=4，DA=2，故CD=3，DB=8，记圆的半径为R，由于

ED·DA=CD·DB

2（2R2）238，解得R=7．故答案为7. 因此

- 6 -

【思路点拨】连AO并延长，根据切线的性质定理得到Rt△PAD，根据切割线定理得到PA2=PC•PB，根据相交弦定理得到CD•DB=AD•DE，最后即可解得圆O的半径．

【题文】三、解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

【题文】16．（本小题满分12分）

f(x)Asin(x已知函数

（1）求f(x)的表达式；

)6(A0,0)的最小正周期为T6，且f(2)2．

,[0,]（2）设

2，

f(3)16520f(3)5，213，求cos()的值．

【知识点】三角函数的图像与性质;三角恒等变形C3 C7

63xπf(x)=4sin(+)36（2）65 【答案】【解析】（1）

=解析：(1)依题意得

2π2π1xπ=f(x)=Asin(+)T6π3，∴36， ……2分

Asin(由f(2π)=2，得

2ππ5π+)=2Asin=2366，即，∴A=4， ……4分

xπf(x)=4sin(+)36. ……5分 ∴

f(3α+π)=(2)由

161π1sin[(3α+π)+)]=5，得365，

π14sin(α+)=cos25，∴5， ……6分 即

π3α[0，]sin5， ……7分 2，∴又∵

- 7 -

f(3+由

5π2015ππ20)=4sin[(3+)+)]=213，得32613，

55sinβ13，∴13， ……9分

sin(+π)=即

π12β[0，]cosβ2，∴13， ……10分 又∵

cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ

412356351351365. ……12分

cos45,再利用

【思路点拨】（1）利用周期公式结合已知条件即可;（2）先由已知得

f(3+5π20)=213以及两角差的余弦公式即可.

【题文】17．（本小题满分12分）

一个盒子内装有8张卡片，每张卡片上面写着1个数字，这8个数字各不相同，且奇数有3个，偶数有5个．每张卡片被取出的概率相等．

（1）如果从盒子中一次随机取出2张卡片，并且将取出的2张卡片上的数字相加得到一个新数，求所得新数是奇数的概率；

（2）现从盒子中一次随机取出1张卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上写着的数是偶数则停止取出卡片，否则继续取出卡片．设取出了次才停止取出卡片，求的分布列和数学期望．

【知识点】排列组合;古典概型;随机变量的分布列J2 K2K6

15【答案】【解析】（1）28;（2）见解析

解析：(1)记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”, „„1分

11C3C515P(A)2C28 8因为奇数加偶数可得奇数，所以

15所以所得新数是奇数的概率等于28． „„„„„4分

(2)所有可能的取值为1,2,3,4, „„„„„5分

111C5C3C5515P(1)1,P(2)11,C88 C8C756

根据题意得

- 8 -

1111111C3C5C3C5C2C2C151P(3)111,P(4)1111.C8C7C656 C8C7C6C556 „„„„„„„9分

故的分布列为

 P 1 2 3 4 58 1556 556 156 „„„„„10分

515513E123485656562． „„„„„„„„„12分

【思路点拨】（1）记事件A为“任取2张卡片，将卡片上的数字相加得到的新数是奇数”,由奇数加偶数可得结果；（2）所有可能的取值为1,2,3,4, 计算出概率，列出分布列最后根据公式得到期望。

【题文】18．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，ADC90，平面

PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PAPDAD2，BC1，

CD3．

（1）求证：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角MBQC为30，设PMtMC，试确定 t 的值．

【知识点】平面与平面垂直的证明; 实数的取值G10 G11 【答案】【解析】（1）见解析；（2）t3

1解析：（1）证法一：∵AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，

- 9 -

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ． „„„„„„„1分 ∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． „„„„„„„2分 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，„„„„„„„4分 ∴BQ⊥平面PAD． „„„„„„„5分 ∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD． „„„„„„„6分

1证法二：AD∥BC，BC=2AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，

∴CD∥BQ． „„„„„„„1分 ∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°，即QB⊥AD． „„„„„„„2分 ∵PA=PD，∴PQ⊥AD． „„„„„„„3分 ∵PQ∩BQ=Q PQ、BQ平面PBQ， „„„„„„„4分 ∴AD⊥平面PBQ． „„„„„„„5分 ∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD． „„„„„„„6分 （2）法一：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD． ∵面PAD⊥面ABCD，且面PAD∩面ABCD=AD，∴PQ⊥面ABCD．„„„„„7分 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为n(0,0,1)；„„8分

Q(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(1,3,0)．

设M(x,y,z)，则

PM(x,y,z3)，MC(1x,3y,z)„„9分 tx1txt(1x)3tyt(3y)y1tz3t(z)3z1t，„„„10分 PMtMC,∴t3t3QM,,1t1t1tQB(0,3,0)， 在平面MBQ中，，

∴平面MBQ法向量为m(3,0,t)．„„12分

cos30∵二面角MBQC为30°，∴

nmnmt30t232，得t3„„14分

法二：过点M作MO//PQ交QC于点O，过O作OE⊥QB交于点E，连接ME， 因为PQ面ABCD,所以MO⊥面ABCD，由三垂线定理知ME⊥QB，

- 10 -

则MEO为二面角MBQC的平面角。„„„„9分（没有证明扣2分） 设CMa，则PMat，PC7，

MOCM13aMOt7„„„„„10分 PQCP，1OE⊥QB，BC⊥QB，且三线都共面，所以BC//OE

EOQOPMttaEO1t7 „„„„11分 BCQCPC，在RtMOE中

E E O tanMEOtan30MOEO，„„„13分

MO33t3 解得t3 „„„„„14分 EO【思路点拨】（Ⅰ）法一：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边

形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知QB⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，知BQ⊥平面PAD．由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．法二：由AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，知四边形BCDQ为平行四边形，故CD∥BQ．由∠ADC=90°，知∠AQB=90°．由PA=PD，知PQ⊥AD，故AD⊥平面PBQ．由此证明平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）由PA=PD，Q为AD的中点，知PQ⊥AD．由平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，知PQ⊥平面ABCD．以Q为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出t=3． 【题文】19．（本小题满分14分）

2Sn2(1)an*aSn 已知数列n的前n项和为n，，nN．

（1）求数列

an的通项公式；

n111122an的前n项和为Tn，An=T1+T2+T3+„„+Tn．试比较An与nan的大

（2）设数列

小．

【知识点】递推公式；等比数列的通项公式；数列的和；D1 D3 D4

【答案】【解析】（1）

ann*,nN2n（2）见解析

12， „„„„„1分

解析：（1）由

a1S123a1a1

- 11 -

22Sn21anSn121an1nn1由，其中n2

22anSnSn11an11ann1n „„„„„„„3分 于是

an1an1n2n2n1整理得， „„„„„„„4分

an1所以数列n是首项及公比均为2的等比数列. „„„„„„„5分

an11n22n11n*a,nNnn22n „„„„„„„6分

n1an1122（2）由（1）得n2nann,Tn123于是

12n

nn11211,22Tnnn1nn1n „„„8分

111An2122312n1nn1n1 „„„„„„„9分

22n12nn2n12n2nan，问题转化为比较n2与n1的大小，即n2与n1的大小 又n2nnfn2,gn,nn1fn1fn2nnn21nn12设

„„„„„„„10分

fn1）（fn）＞0，∴当n3时f(n)单调递增， 当n3时，（fn）（f4）1，而（gn）＜1， ∴当n4时，（fn）＞（gn）∴当n4时，（ „„„„„„„12分 fn）g（n）经检验n=1，2，3时，仍有（ „„„„„„„13分

fn）＞（gn），因此，对任意正整数n，都有（即

An＜2nan „„„„„„„14分

【思路点拨】（1）根据已知条件中的递推关系式先得到

a1，再由由

- 12 -

22Sn21anSn121an1nn1，整理即可；（2）借助于已知条件把问题问题

2nn2n12n22转化为比较n与n1的大小，即n与n1的大小，进而证明即可。

【题文】20．（本小题满分14分）

22CCC:(x5)y9外，xOy12在直角坐标系中，曲线上的点均在圆且对1上任意一点M，

M到直线x2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

（1）求曲线（2）设

C1的方程；

P(x0,y0)(y03)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于

点A,B和C,D．证明：当P在直线x4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值． 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．H8 【答案】【解析】（1）y20x；（2）00.

22x2(x5)y3(x,y)解析：（1）解法1 ：设M的坐标为，由已知得，„„1分 22(x5)yx5Cx2x20易知圆2上的点位于直线的右侧.于是，所以.

22Cy20x. „„„„„„„4分 1化简得曲线的方程为

解法2 ：所以曲线

曲线

C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离，

C1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线，„„„„„ 2分

2y20x. „„„„„„„4分 故其方程为

（2）当点P在直线x4上运动时，P的坐标为

(4,y0)，又y03，则过P且与圆

C2相切得直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，

5ky04k切线方程为

yy0k(x4)，kxyy04k0即于是k123.

2272k18yky90. ① „„„„„„„6分 00整理得

设过P所作的两条切线PA,PC的斜率分别为

k1,k2，则k1,k2是方程①的两个实根，

- 13 -

故

k1k218y0y0.724 ② „„„„„„„7分

k1xyy04k10,22ky20y20(y04k1)0. ③„„„„„„„8分 y20x,1由得

设四点A,B,C,D的纵坐标分别为

y1,y2,y3,y4，则是方程③的两个实根，

y1y2所以

20(y04k1).k1 ④„„„„„„„9分

20(y04k2).k2 ⑤„„„„„„„10分

y3y4同理可得

于是由②，④，⑤三式得

2y4(k1k2)y016k1k2400(y04k1)(y04k2)4000y1y2y3y4k1k2k1k2

400y2y216k1k200k1k2 .„„„„„„„13分

所以，当P在直线x4上运动时，四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值00. „14分 【思路点拨】（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值，可得|x+2|=

且圆C2上的点位于

直线x=﹣2的右侧，从而可得曲线C1的方程；（Ⅱ）当点P在直线x=﹣4上运动时，P的坐标为（﹣4，y0），设切线方程为kx﹣y+y0+4k=0，利用直线与圆相切可得

，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k1，k2是方程的

两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，从而可得；

同理可得，由此可得当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D

的纵坐标之积为定值为00． 【题文】21．（本小题满分14分）

xa已知a0，函数f(x)＝x2a．

4上的最大值为g(a)，求g(a)的表达式； （1）记f(x)在区间0，

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0,4内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相

（2）是否存在a，使函数yf(x)在区间

垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程B11 B12

4a,0a1,42a11,a1.0,g(a)【答案】【解析】（1）＝2 （2）2 ax解析：(1)当0xa时，f(x)＝x2a；

xa当xa时，f(x)＝x2a. „„„„„„„2分

3a2x(0,a)f'(x)x2a因此，当时，＝＜0，f(x)在(0,a)上单调递减； „„3分 3a2x(a,)f'(x)x2a当时，＝＞0，f(x)在(a,)上单调递增．„„„4分 1①若a4，则f(x)在(0,4)上单调递减，g(a)＝f(0)＝2. „„„„„„„5分

②若0a4，则f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 所以g(a)＝max{f(0)，f(4)}．

14aa1而f(0)－f(4)＝242a2a， „„„„„„„6分 4a故当0a1时，g(a)＝f(4)＝42a；

1当1a4时，g(a)＝f(0)＝2. „„„„„„„8分

4a,0a1,42a1,a1.综上所述，g(a)＝2 „„„„„„„9分

(2)由(1)知，当a4时，f(x)在(0,4)上单调递减，故不满足要求．„„„„10分

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当0a4时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,4)上单调递增． 若存在

x1，x2∈(0,4) (x1＜x2)，使曲线y＝f(x)在x1，f(x1)，x2，f(x2)两点处的切

x1∈(0,a)，x2∈(a,4)，且f'(x1)f'(x2)＝－1，

线互相垂直，则

3a3a3a122x2a.(*) „„„„„„„11分 x2ax2a12即，亦即x12a＝23a3a,1xxx2a(a,4)(0,a)(2a,3a)x2a42a. 1221由∈，∈得∈，∈

3a,1故(*)成立等价于集合A＝(2a,3a)与集合B＝42a的交集非空．

3a10a2时，A∩因为42a＜3a，所以当且仅当02a1，即B≠.„„13分

综上所述，存在a使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点，

10,在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是2. „„„„„„„14分

【思路点拨】（I）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；（II）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．

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