一种新的估计多项式相位信号瞬时频率的参数化时频分析方法 ７ 文章编号：１００６—１３５５（２０１２）０３—０００７－０５ 一种新的估计多项式相位信号瞬时频率的 参数化时频分析方法 方 杨，彭志科，孟 光，杨 扬 （上海交通大学机械系统与振动国家重点实验室，上海２００２４０） 摘要：通过多项式非线性核函数取代线性调频小波变换中的线性核函数，提出一种新的参数化时频分析方法：非 线性调频小波变换。对瞬时频率是时间任意连续函数的信号而言，选择合适的多项式核特征参数，非线性调频小波变 换的时频分布有良好的时频聚集性。应用非线性调频小波变换分析任意阶次多项式相位信号。由于非线性调频小波 变换的性能取决于多项式核特征参数，本文还给出非线性调频小波变换的核特征参数估计算法，进一步可实现多项式 相位信号的瞬时频率和参量估计。仿真信号验证算法的有效性。 关键词：振动与波；多项式相位信号；非线性调频小波变换；多项式核函数；时频分析；瞬时频率估计 中图分类号：ＴＮ９１１．７ 文献标识码：Ａ ＤＯＩ编码：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６．１３５５．２０１２．０３．００２ Ａ Ｎｅｗ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ Ｔｉｍｅ－ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ Ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｐｈａｓｅ Ｓｉｇｎａｌ ＦＡＮＧ Ｙａｎｇ，ＰＥＮＧ Ｚｈｉ－ｋｅ，ＭＥＮＧ Ｇｕａｎｇ，ＹＡＮＧ￣ｒｉｇ （Ｓｔａｔｅ Ｋｅｙ Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｊｉａｏ Ｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ， Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２４０，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｒｐｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，ａ ｎｅｗ ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｔｉｍｅ—ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗａｓ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ ｒｅｐｌａｃｉｎｇ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｒｐ ｋｅｒｎｅｌ ｂｙ ａ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｋｅｍｅ１．Ｂｙ ｃｈｏｏｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒ ｋｅｒｎｅｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ， ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｐｒｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ Ｃａｎ ｒｅｎｄｅｒ ａ ｔｉｍｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆ ｅｘｃｅｌｌｅｎｔ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｈｏｓｅ ｉｎｓｔｎａｔａｎｅｏｕｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｔｒａｊｅｃｔｏｒｙ ｉｓ ａｎ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｆｉｍｃｔｉｏｎ ｏｆ ｔｉｍｅ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｃｈｉｒｐｌｅｔ ｔｒｎａｓｆｏｒｍ ｗａｓ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｈａｓｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｗｉｔｈ ａｒｂｉｔｒａｒｙ ｏｒｄｅｒ￣Ａｓ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｒｐｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｈｉ曲ｌｙ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｋｅｎｒｅｌ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ａｎ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｔｏ ｅｖａｌｕａｔｅ ｔｈｅｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｗａｓ ｄｅｖｅｌｏｐｅｄ ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｅｓｔｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ｔｈｅ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｈａｓｅ ｓｉｇｎａ１．Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｈｔｅ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｗａｓ ｖａｌｉｄａｔｅｄ ｂｙ ａｎａｌｙｚｉｎｇ ｈｔｅ ｓｉｇｎａｌｓ ｆｒｏｍ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ ｗａｖｅ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｈａｓｅ ｓｉｎｇａｌ；ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｐｒｌｅｔ￣ａｎｓｆｏｒｍ；ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｋｅｒｎｅｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ； ｔｉｍｅ ｒｆｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ；ｉｎｓｔａｎｔａｎｅｏｕｓ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ 多项式相位信号（Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｐｈａｓｅ Ｓｉｇｎａｌ—ＰＰＳ） 项式形式。因此，ＰＰＳ的分析与处理一直是信号处 是非平稳信号处理中的典型信号模型，被广泛应用 理的重要研究内容。目前，主要从以下三个方面对 在通信、雷达、声纳等领域。Ｓｔｏｎｅ—Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ定理 其进行研究：（１）ＰＰＳ的时频分布构造；（２）ＰＰＳ的瞬 表明，闭区间上的连续函数可以用多项式级数一致 时频率估计；（３）ＰＰＳ的参数估计。 逼近，故此类信号的相位常被表示成时间的高阶多 现有的分析ＰＰＳ的方法通常可以归入以下两 类：（１）基于高阶模糊度函数（ＨＡＦ）” 和高阶模糊度 收稿日期：２０１１－０９—１４；修改日期：２０１１－０９．２４ 函数积（ＰＨＡＦ） 的方法。本质上讲，此类方法都是 项目基金：国家自然科学基金（基金编号：１０９０２０６８） 属于离散傅氏变换从ｍｃ—ＰＰＳ（ｍｕｌｔｉ．ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ 作者简介：方杨（１９８７一），女，硕士，目前从事非平稳信号 ＰＰＳ）中估计正弦型信号频率的方法。这类方法因 处理研究。 Ｅ—ｍａｉｌ：ｆａｎｇｙａｎｇ＠ｓｊｔｕ．ｅｄｕ．ｃｎ 其计算量相对较小，而日渐成为一种主要的分析 ＰＰＳ的方法。当信号相位阶次较高或信号分量数目 ２０１２年６月 噪声与振动控制 第３期 较多时，因过多的确定性交叉项干扰的存在，该方法 有可能失效。基于这类方法可以逐次估计出ＰＰＳ的 相位系数，但该方法存在较大的误差传递效应。（２）基 于时频分析技术的方法。该方法首先采用时频分析 其中 ＝ ： ・ ，ｔ。） 唧ｊ （２） 方法估计信号的瞬时频率，然后再进行相位参数的估 计。其中，最为主要的是基于Ｃｏｈｅｎ类时频分布 的 ）＝ｅｘｐ ∑ ｆ ｌ （ｆ）是信号ｓＯ）的解析信号，由Ｈｉｌｂｅｒｔ变换得到， 方法。Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布（ＷＶＤ）州是一种典型的双线 性时频分布，有着良好的数学特性，可以精确地反映 ２阶ＰＰＳ的频率信息。但遗憾的是，这类分布对高阶 ｚ（ ＝ｓ ）＋ 日［ｓ（ ；参数ｔ。∈Ｒ代表时间；Ｗ∈Ｌ２（固代 表一个非负的对称的归一化的实窗函数，通常取高斯 函数，表达式如下 １ ｅｘｐＰＰＳ或ｍｅ．ＰＰＳ不可避免地存在交叉项，使得很难识 别自身项信号。很多学者针对如何抑制干扰项的问 题做了大量工作。针对某些特定阶次ＰＰＳ的高阶时 频分布相继提了出来，但这些时频分布均受到ＰＰＳ阶 次和计算量的限定，如何解决这两个问题仍需要进一 步的研究。Ｂｏａｓｈａｓｈ等人提出了高阶Ｗｉｇｎｅｒ－ＶｉＵｅ分 布（ＰＷＶＤ） 用来估计单分量ＰＰＳ的瞬时频率，这 是一种高精度的ＰＰＳ分析方法。ＰＷＶＤ是一种非线 性时频变换，具有较高的时频分辨率，对噪声很敏 感。该方法需优化选择非线性核系数，进行相应倍数 的插值和近似，这必将增加计算量和影响分析结果的 精度。Ｏ’Ｓｈｅａ在文献 提出ＰＰＳ信号瞬时频率变 化率（ＩＦＲ）的概念，针对３阶ＰＰＳ的情形采用相位匹 配变换来估计ＩＦＲ；最后将三次相位函数（ＣＰＦ）推广 到高阶相位函数（ＨＰＦ）以分析更高阶多项式相位信 号。文献ｆ９１在ＨＰＦ基础上提出一种新的估计多项式 （一 ） ） （３） ： 一 和 ：，…， ，ｔｏ）分别是多项式频率旋转 算子和频率平移算子 特征参数。 一，ｏ／ ）是多项式核函数的 图１非线性调频小波变换的原理图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｓｃｈｅｍａｔｉｃ ｏｆ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｃｈｉｒｐｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ 相位信号参数的方法，声称在分析４阶ＰＰＳ时性能优 于传统算法。但这些方法的非线性核函数本身仍有 着ＷＶＤ无法抑制交叉项的根本问题，并且这些非参 非线性调频小波变换的运算原理如图所示，其中 是信号的瞬时频率。具体地，首先将信号在时频 面内旋转，即将信号的瞬时频率． 数化的经验修正方法对信号的瞬时频率估计并无针 对性。 （ 减去非线性调频 本文提出了一种新的参数化时频分析方法～非 ￣ＪＮＮ，Ｎｇ∑ 一 ，然后以∑ ｆ 为 ＝２ ｋ＝２ 线性调频小波变换（ＮＣＴ）。非线性调频小波变换用 多项式非线性核函数取代了线性调频小波变换 （Ｃｈｉｒｐｌｅｔ） 中的线性核函数。对瞬时频率是时间任 增量平移频率，再做窗函数为Ｗ， 的短时傅里叶变 换。显然，在特殊时刻ｔ 处，非线性调频小波变换的 频率分辨率由两部分决定：一是时间段 ＋】 意连续函数的信号而言，非线性调频小波变换是一种 有着更高精度的分析方法。本文应用非线性调频小 波变换分析任意阶次单分量多项式相位信号，与传统 ［ 。－０－／２，￡。＋０－／２］内， 一∑ ｋ＝２ 的频率范围，记 为Ａｆ，（ｔ。；０－），二是高斯窗的频宽１／０－；即ｔ。时刻的频 率分辨率为Ｌ（ｔ。；０－）＋１／ｏ＂。理想情况下，如果非线性 调频核函数的瞬时频率与信号的频率曲线正好相吻 ｎ＋１ 的ＷＶＤ方法进行比较，进一步实现多项式相位信号 的瞬时频率和参量估计。 合，那么 一∑ ㈦ ’为一常数 。，Ａｆ，（ｔ。；（ｒ）在 １ ＰＰＳ的时频分布引出 对于信号 ∈Ｌ ㈤，其非线性调频小波变换定 义为 ＝２ 该时间段内的频率范围为零。因此，非线性调频小波 变换在该时刻的频率分辨率达到最小，为１／０－。 考虑如下形式的多项式相位信号 ｒ ｍ １ ＮＣＴ ｏ， ，Ｏ／１，…， ； ）＝ ： 一 ） ，… ｏ，ｆ。 ㈣ —ｆ。）。 ｐ（—： ｄ￡‘ ｓ ＝ ・ｅｘｐ｛ ）＝Ａ．ｅｘｐ ∑２ ｝ （４） 一种新的估计多项式相位信号瞬时频率的参数化时频分析方法 ９ 其中Ａ是信号幅度， Ｏ）是１１１阶多项式相位，｛Ｃｉ｝？ 是未知的相位参数，ｔ Ｅ［ｏ， 。该信号的瞬时频率 是ｍ－１阶多项式 ２基于非线性调频小波变换的ＰＰＳ瞬 时频率估计和参数估计 由前面的讨论可知，只要给定适当的多项式核 警＝ ｉ 由前面的讨论知，如果非线＝１＝ （５）特征参数，非线性调频小波变换的时频分布结果有 良好的时频聚集性，就能实现ＰＰＳ瞬时频率的精确 估计，ＰＰＳ的相位参数估计也相应确定。这里介绍 一性调频小波变换多 项式核函数的瞬时频率 １∑ －１’与 曲线 正好相吻合，那么非线性调频小波变换时频分布的 聚集性最佳，可以实现ＰＰＳ瞬时频率的精确估计。 ＰＰＳ的参数估计包括相位阶数脚和多项式相位系数 ｃ 的估计。在许多应用场合，ＰＰＳ信号的相位阶数１７１ 是未知的，其确定方法可以参阅文献［１１］０在本文以 后的讨论中，均假设１７１未知。假设多项式核特征参 数（Ｏｄ 一， ） 已知，若／７＝／１７—１，则 Ｃ ＝ａ ／（２１Ｔ ＝２，３，…， ；若／７＞１７１－１，则 （ｎ ，…，ａ ）一０，ｃ ＝ａ ／（２＂ｒｒｉ） ：２，３，…， ，ＰＰＳ的 参数估计问题也就转化为非线性调频小波变换多项 式核特征参数估计问题。至此，多项式相位信号的 瞬时频率估计和参量估计问题完全转化为非线性调 频小波变换的多项式核特征参数估计问题。 以式（４）所示的４阶ＰＰＳ为例来评估非线性调 频小波变换的性能，ｓ（ ）为式４阶ＰＰＳ信号，参数如 下：Ａ＝１，ｃ０＝０，ｃ１＝１０，ｃ２＝５／４，ｃ３＝１／９， Ｃ ＝ １／１６０，０ ｓ ｔ≤１５。 信号的采样频率为２００ Ｈｚ。左图和右图是分别 用传统Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ分布和非线性调频小波变换法 所得的信号的时频分布。非线性调频小波变换中多 项式核特征参数（Ｏ／ －－，Ｏｔ ）：（５叮ｒ，２７ｒ／３，一￣ｒ／２０），这里 多项式核正好可以与信号的瞬时频率相同。这两种 时频分布都能表现多项式相位信号的时频特性。很 明显，非线性调频小波变换方法给出的时频分布有 最好的聚集性，而ＷＶＤ方法给出的时频分布有明 显的交叉项影响。 ５０Ｏ ■５ １０ １５ ０ ■ ５ １０ １５ ｔ／Ｓ ｒ／Ｓ 图２ ＷＶＤ和非线性调频小波变换的时频分布 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ｏｆＷｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ ａｎｄ ＮＣＴ 种基于时频分布峰值检测的方法来估计多项式核 特征参数。其基本思路是：首先利用短时傅里叶变 换得到初始化的时频分布，提取时频分布的极大值 曲线以得到信号瞬时频率的粗估计；然后利用最小 二乘法拟合逼近该粗略估计的瞬时频率，将拟合多 项式系数就作为多项式核特征参数对信号做非线性 调频小波变换；最后，信号频谱分量上能量峰值的时 间分布就作为信号的瞬时频率估计，如下式所示 ＝ａｒｇｍａｘ［１ＮＣＴ，（ｔｏ， ， 一，Ｏ／ｎ；ｏ９ （６） 由前文可知，多项式核函数的瞬时频率与信号 的瞬时频率越一致，时频分布的聚集性越好。因此 可用非线性调频小波变换得到的瞬时频率更新多项 式核，然后用新的多项式核再做变换。这个过程可 以一直重复进行，直到估计得到的瞬时频率没有明 显的变化，并以最终的多项式函数系数作为非线性 调频小波变换的核参数。该过程的终止与否，可简 单地用连续两次估计得到的瞬时频率之间的差异作 为判断条件，定义如下 ＝ｍｅａｎ［， ｄ ］＜ ｃ７ 其中６为预先设定的阈值。 ２．１ ＰＰＳ的瞬时频率估计 对任意１７１阶ＰＰＳ，多项式核函数的特征参数为 （ ，…， ），其瞬时频率估计算法如下： １）初始化（ 一， ），设定阈值６和高斯窗长； ２）作特征参数为（Ｏ／ 一，Ｏ／ ）的非线性调频小波 变换； ３）提取时频分布的极大值曲线得到信号瞬时频 率估计 ∞； ４）采用最４＂－－乘法逼近信号的瞬时频率 ， 估计得到的新系数记为（反 一，反 ）； ５）计算终止判据 ；如果 ＞６，重置 （ 一，Ｏ／ ）＝（ 一，厦 ），转到步骤１）否则转到步骤 ６）： ６）取 为信号的瞬时频率估计，（ 一， ） 为非线性调频小波变换的多项式核特征参数 一种新的估计多项式相位信号瞬时频率的参数化时频分析方法 １１ 连续两次估计得到的瞬时频率之间的差异显示判据 收敛得非常快。表２中给出了多项式相位信号的相 位系数。可看到在ｋ＝ｌ时（相当于短时傅里叶变换） 估计的系数与真值之间有明显的偏差，但随着ｋ的 增加偏差逐渐减小，在ｋ＝４时，估计的系数很接近真 值。该结果表明：即使在有很强噪声干扰的环境里， 这种非线性调频小波变换的参数估计算法可以有效 地确定非线性调频小波变换的核特征参数。值得指 出的是，本文仅讨论了非线性调频小波变换分析单 分量多项式相位信号。实际应用中所碰到的多项式 相位信号往往是多分量的，如何证明这种非线性调 频小波变换对多分量信号仍然有效，是需要进一步 研究的问题。 表ｌ判据值 Ｔａｂ．１ Ｔｈｅ ｃｒｉｔｅｒｉｏｎｖａｌｕｅｓ 表２多项式相位信号的相位系数 Ｔａｂ．２ Ｔｈｅ ｐｈａｓｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ＰＰＳ 七 １ ２ ３ ４ 真值 ｏ ６０．２３３ ７ ４４．５７２ １ ４５．１１５ ５ ４５．０３５ ０ ４５．０００ ０ Ｏｔｓ －０．Ｏ０ ９０ ０．００７ ７ ０．０３０ ２ ０．０３２ ７ ０．０３３ ０ Ｏｔ ０．００１ ２ —０．０００ ９ ０．０００ ０ ０．０００ ０ ０．０００ ０ ３ 结语 本文提出一种新的参数化时频分析方法：非线 性调频小波变换，用多项式非线性核函数取代线性 调频小波变换中的线性核函数。对于任意阶次的多 项式相位信号而言，选择合适的多项式核特征参数， 非线性调频小波变换的时频分布有良好的时频聚集 性，能实现单分量多项式相位信号瞬时频率和参量 的精确估计。本文还给出了基于非线性调频小波变 换的多项式相位信号瞬时频率和参量估计算法。该 算法实现起来简单，且具有较高的估计精度，仿真结 果证明了这一点。需要进一步研究的问题是非线性 调频小波变换变换对多分量多项式相位信号的适用 性。 参考文献： ［１］Ｐｏｒａｔ，Ｂ．ａｎｄ Ｆｒｉｅｄｌａｎｄｅｒ，Ｂ．Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｔｈｅ ｈＪｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ－ｐｈａｓｅ ｓｉｕｇａｌｓ［Ｊ］．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，１９９６，４２（３）：９９５－１００１． ［２】Ｂａｒｂａｒｏｓｓａ，Ｓ．，Ｓｃａｇｌｉｏｎｅ，Ａ．ａｎｄ Ｇｉａｎｎａｋｉｓ，Ｇ．Ｂ．Ｐｒｏｄｕｃｔ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ａｍｂｉｇｕｉｔｙ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ－ｐｈａｓｅ ｓｉｇｎａｌ ｍｏｄｅｌｉｎｇ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，１９９８，４６（３）：６９１—７０８． ［３］Ｃｏｈｅｎ，Ｌ．，Ｔｉｍｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ： Ｐｒｅｎｔｉｃｅ ｈａｌｌ，１９９５． ［４ 张贤达，非平稳信号分析与处理［４］Ｍ］．北京：国防工业出 版社，２００１． ［５］Ｂａｒｋａｔ，Ｂ．，ａｎｄ Ｂｏａｓｈａｓｈ，Ｂ．Ｉｎｓｔａｎｔｎａｅｏｕｓ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｆｍ ｓｉｇｎａｌｓ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｅａｋ ｏｆ ｔｈｅ ｐｗｖｄ：ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ａｄｄｉｔｉｖｅ ｇａｕｓｓｉａｎ ｎｏｉｓｅ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒｎａｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ，１９９９，４７（９）：２４８０－２４９０． ［６］Ｂａｒｋａｔ，Ｂ．，ａｎｄ Ｂｏａｓｈａｓｈ，Ｂ．Ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｈｉｇｈｅｒ ｏｒｄｅｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ Ｗｉｇｎｅｒ－Ｖｉｌｌｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ［Ｊ］． Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｎｉｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒｎａｓａｃｔｉｏｎｓ，１ ９９９，４７（９）：２６０８－２６ １ １． ［７］Ｏ’ｓｈｅａ，Ｐ Ａ Ｎｅｗ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ ｆｏｒ ｉｎｓｔｎａｔａｎｅｏｕｓ￣ｅｑｕｅｎｃｙ ｒａｔｅ ｅｓ：２５ １．２５２． ［８】Ｏ’ｓｈｅａ，Ｒ Ａ ｆａｓｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ ｏｆｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｎｇ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ｏｆ ａ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｍ ｓｉｇｎａｌ［Ｊ］．Ｓｉｎｇａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｎｉｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ，２００４，５２（２）：３８５－３９３． ［９］Ｐｕ，Ｗ，Ｄｊｕｒｏｖｉｃ，Ｉ．，ａｎｄ Ｊｉａｎｙｕ，Ｙ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｈｉｇｈ—ｏｒｄｅｒ ｐｈａｓｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｆｏｒ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｐｏｌｎｙｏｍｉａｌ ｐｈａｓｅ ｓｉｎｇａｌ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒｎａｓａｃｉｔｏｎｓ， ２００８，５６（７）：３０２３—３０２８． ［１０］Ｍａｎｎ，Ｓ．，ａｎｄ Ｈａｙｋｉｎ，Ｓ．Ｔｈｅ ｃｈｉｒｐｌｅｔ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：ｐｈｙｓｉｃａｌ ｃｏｎｓｉｄｅｒａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｓｉｇｎａｌ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ， １９９５，４３（１１）：２７４５—２７６１． 【ｌ１］Ｉｋｒａｍ，Ｍ．Ｚ ａｎｄ Ｔｏｎｇ Ｚｈｏｕ，Ｇ．Ｏｒｄｅｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｍｕｌｔｉｃｏｍｐｏｎｅｎｔ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ｐｈａｓｅ ｓｉｇｎａｌｓ［Ｃ］．Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｓｉｇｎａｌ ａｎｄ Ａｒｒａｙ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ， １ ９９８，Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ，Ｎｉｎｔｈ ＩＥＥＥ ＳＰ Ｗｏｒｋｓｈｏｐ，１ ９９８， ３５２．３５５．
