２０１５年１１月 第２１卷第４期 安庆师范学院学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｎｑｉｎｇ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＮＯＶ．２０１５ Ｖ０Ｉ．２１ Ｎｏ．４ 网络出版时间：２０１６—１—５ １３：Ｏ１网络出版地址：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／３４．１１５０．Ｎ．２０１６０１０５．１３０１．０２９．ｈｔｍｌ Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式的证明及有关应用 彭良香 （江苏城乡建设职业学院基础部，江苏常州２１３１４７） 摘要：在证明Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式的基础上，应用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式来证明存在唯一性定理中的唯一性、解的不等式、特 殊的初值问题的解的存在性，以及有关微分方程及摄动方程的解的渐近性质。 关键词：Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式；初值问题；摄动方程；渐近性质ＤＯＩ：１０．１３７５７／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃｎ３４—１１５０／ｎ．２０１５．０４．０２９ 中图分类号：Ｏ１７８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００７－４２６０（２０１５）０４—０ｌｌ７一ｏ３ Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式是常微分方程课程ｎ 中的一 调不增，故 个重要不等式，本文给出了两种证明方法及相关应 用。 ｕ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｊ ｇ（ｓ）ｄｓ］≤ Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式 不等式 设Ｋ为非负常数， ｔ）和 （ ）－ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］＝ （ ）＝ ｇ（￡）为在区间０［≤ｔ≤ 上的非负连续函数，且满足 ｋ＋ｆ （１） ）ｇ（ｓ） ＝ｋ， ’ ￡）≤ｋ＋Ｉ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ， ≤￡≤ 或 （ ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ｆ≤卢 则有 ｔ）≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］， ≤ ≤卢。 证明（方法一） 令ｕ（ｆ）＝ｋ＋ｆ ｓ）ｇ（ｓ） ， 由（１）式知 ｔ）≤ｕ（ｔ），在 ≤ｔ≤ 上， ＝ ￡）ｇ（￡），由 ）≤ （ ）及ｇ（￡）≥０知， ｄｕ（ｔ）≤“（ ）ｇ（ｆ）。 由（１）式知， ￡）≤“（￡）≤南·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］。 （方法二）由 ）≤ ＋Ｊ ｓ）ｇ（ ） 得 Ｌ≤ｌ， ｋ＋ｌ厂（ｓ）ｇ（ｓ） 由ｇ（￡） ≥０可得，—— ≤ｇ（ｆ），则 两边同时乘以ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ）ｄｓ］得 ｄｌｋ＋Ｉ ｓ）ｇ（ｓ） ｎ［ ＋ ㈤ ］≤ ），从而有 ｅｘｐ［一Ｊｆｔ ） ｄ ｅｘｐ［一ｆ ｇ（ｓ） ］ —— ～≤ｅｘｐ［－ ｔ ） －“∽ ）， 州ｃ）． ￣１］ｅｘｐ［一 ㈤ｄｓ］· ｌｎ［ｋ十ｆ－厂（ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ］≤Ｊ ｇＯ）ｄ￣＋ｃ， ａ “ 即ｋ＋ｆ＿厂（ｓ）ｇ（ｓ） ≤ｋ·ｅｘｐ［ｆ ｇ（ ） ］， 。 ≤０， 故厂（ｆ）≤ｋ＋ｆ ｓ）ｇ（ｓ）ｄｓ≤ｋ·ｅｘｐ［Ｊ ｇＯ）ｄｓ］。 。ａ 即 ｄ ｅｘｐ［一 ㈤ ］｝≤ｏ 下面利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式来证明一阶微分方程 解的存在唯一性定理中的唯一陛。 定理ｌ［ （存在唯一性） 如果＿厂（ ，Ｙ）在矩形 由此可知Ｍ（ｔ）·ｅｘｐ［一Ｉ ｇ（ｓ）ｄｓ］在 ≤ ≤卢上单 收稿日期：２０１５—０４—０３ 作者简介：彭良香，女，安徽霍山人，硕士，江苏城乡建设职业学院基础部讲师，研究方向为图论与网络优化。 ·ｌ ｌ８· 安庆师范学院学报（自然科学版） ２０１５证 区域Ｒ：Ｉ — 。Ｉ≤ｎ，ｌ Ｙ—Ｙｏ ｌ≤ｂ上连续且关于 Ｙ满足利普希兹条件，则方程 ｌ （ ）一０（Ｘｏ）１．ｅｘｐ（Ｊ ）（Ｇｒｏｎｗａｌｌ Ｉ （ ０）一 （ ｏ）Ｉ·ｅｘｐ［Ｚ（ｘ— ０）］。 当ｏ≤ ≤ 。时，类似可证 ）≤ 孕： ，ｙ） （ＩＸ （２） 存在唯一解Ｙ＝ （ ），定义于区间ｆ — 。ｆ≤ｈ上， Ｉ （ ）一 （ ）Ｉ≤Ｉ （％）一 （ 。）Ｉ·ｅｘｐ［Ｌ·（ — 。）］。 故 ∈［ａ，ｂ］都有 Ｉ （ ）一 （ ）Ｉ≤ｌ （‰）一 （‰）１．ｅｘｐ（Ｌ ｌ 一‰Ｉ）。 例２（解的整体存在性） 设函数 ，Ｙ）在区 连续且满足初始条件 （‰）＝Ｙｏ，其中 ＝ｍｉｎ（ｎ， ｂ）， ＝（ ｌ，ｙ）Ｉ。 证明 解的存在性证明可见文献［１］。假定 （ ）， （ ）为在 ≤ ≤ 。＋ｈ上初值问题 Ｊ『 ＝ ” ） ｔｙ（ｘ０）＝Ｙｏ 的解，则有 （ ）毫Ｙｏ＋Ｉ ， （ ）］ ， Ｊ ｘｏ Ｏ（ｘ）；Ｙｏ＋Ｊ ， （ ）］ｄ ， ｘｏ 故ｌ （ ）一 （ ）ｌ＝Ｉ Ｊ ， （ ）］ｄ 一 ｘｏ Ｊ ， （ ）］ Ｉ≤ ｘｏ ｌ ｌ ， （ ）］一 ， （ ）］Ｉ ≤ Ｊ ｘ０ Ｊ ｘｏ Ｉ ｌ （ ）一 （ ）ｌ ｄ ， 利用Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式有 Ｉ（ ）一 （ ）ｌ≤０·ｅｘｐ（Ｊ￡ｄ ）＝０， ｘ０ 即 （ ）＝ （ ），唯一性得证。 下面通过几个例子来说明Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式在常 微分方程中的重要应用。 例１（解的不等式性质） 如果函数 ，Ｙ）于某 区间Ｄ内连续，且关于Ｙ满足利普希兹条件，则对方 程（２）的任意两个解 （ ）和 （ ），在它们的公共存 在的区间内有下面不等式成立， ｌ（ ）一 （ ）ｌ≤ｌ （ ）一 （‰）１．ｅｘｐ（Ｌ ｌ 一‰Ｉ）， 其中 。是所考虑区间内的某一值。 证明 由假设知，在凸≤ ≤ｂ上，有 ．；Ｄ（ ）＝ （ 。）＋ｆ ， （ ）］ｄ ， Ｊ ｘ０ ０（ｘ）＝０（ｘ。）＋Ｊ ， （ ）］ｄ ， Ｊ ｘ０ 当 ０≤ ≤ｂ时， ｌ （ ）一０（ｘ）ｌ≤ｌ （ ｏ）一ｊ （ ０）ｌ＋ Ｉ Ｉ Ｊｆ【 ， （ ）］一 ， （ ）］ｌ ≤ Ｊ ｘ０ ｌ （ ０）一 （ ０）ｌ＋Ｊ Ｉ（ｐ（ ）一 （ ）ｌ ｄ ≤ 域Ｊ Ｘ Ｒ内连续，Ｊ＝（０，ｂ）且满足 ｌ ｆ（ｘ，Ｙ）ｆ≤ｐ（ｘ）＋ｑ（ｘ）·ｆ Ｙ Ｉ， 其中ｐ（ｘ）、ｑ（ｘ）是－，内的连续非负函数，试证：对 Ｖ（ 。，ｙ０）∈Ｊ Ｘ Ｒ，初值问题 Ｊ ） （３） ｔｙ（ｘ０）＝Ｙｏ 的解在整个＇，上存在。 证明 由题知初值问题（３）的解Ｙ＝ （ ， 。， ）是局部存在的，设 垒 （ ， ，Ｙｏ）是初值问题 （３）在某一区间 。≤ ≤卢（卢∈Ｊ）上的解。令 为 ｐ（ｘ）在 ０≤ ≤ 上的上界，Ⅳ为ｑ（ｘ）在 。≤ ≤ 上的上界，则在％≤ ≤卢上有 （ ）＝Ｙｏ＋ＩＪ ｘ０ ， （ ）］ｄ ， 贝０ Ｉ（ ）ｌ≤ｌ Ｙｏ Ｉ＋Ｉ ｌ Ｊｆ［ ， （ ）］Ｉ ｄ ≤ Ｊ ｘ０ ＩＹｏ Ｉ＋Ｉ［ｐ（ｘ）＋ｇ（ ）Ｉ （ ）Ｉ］ｄ ≤ ｘ０ Ｉ ｙ０ ｌ＋ｐ（ｘ）（ — ０）＋ｑ（ｘ）Ｊ Ｉ （ ）Ｉ ｄ ≤ Ｊ ｘ０ ｌ Ｙｏ Ｉ＋Ｍ（ｘ— ０）＋Ⅳ·Ｊ ｌ （ ）Ｉ ｄ ≤ Ｊ ｘ０ ＩＩ＋ （ 一 ｏ）＋ⅣＩ ｌ （ ）ｌ ｄ ， ｘ０ 由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式得 Ｉ （ ）Ｉ≤［Ｉ Ｉ＋ （卢一 ０）］·ｅｘｐ［ｆⅣｄ ］≤ 知 ［Ｉ ｌ＋ （ 一 。）］·ｅｘｐ［Ｎ（ｘ— 。）］≤ ［Ｉ ｌ＋ （ 一 ０）］·ｅｘｐ［Ｎ（￣一 ｏ）］， 即对Ｖ ∈Ｉ，， ＞ 。， （ ）在［ 。， ）上有界。 由解的延拓定理…易得： （ ）向右延拓到 ［‰，ｂ）上，在 ＜ ≤‰上可类似讨论 （ ）向左延 拓到（ｏ， 。］上，故初值问题（３）的解在整个．，上存 在。 再考虑微分方程 ＝Ａ ，Ａ是ｎ×ｎ方阵 （４） 第４期 彭良香：Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式的证明及有关应用 ·１ １９· 摄动方程 ｄｘ＝当 ≥ 时， （￡）＝ （￡） ＋ｆ （ — ）Ｂ（ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ， Ｊ ｔｏ ［Ａ＋曰（ｆ）］ ， （ ）是ｎ×ｎ方阵 （５） 当ｔ一＋。。时方程（４）的一切解都趋于零，则方程 （４）方阵预解式满足 ｌ （ｔ）ｌＩＩ≤ ·ｅｘｐ（一ｏ－ｔ），ｔ≥０ （６） 其中 ： （０）＋ｆ （一 ） （ ） （ ）ａｓ。 设ｌ ｌＩｌ＝０，贝０ Ｉｌ ｘ（ｔ）ｌＩ≤０ ·ｅｘｐ（一ｏｒｔ）＋ 叩·ｅｘｐ（一ｏｒｔ）Ｊ ｅｘｐ（ｒ·ｓ）ｌｏ ｌ（ｓ）ｌ ｉｄｓ，ｔ≥ｔ０，故 ｅｘｐ（ｒｏｔ）Ｉｌ ｘ（ｔ）ｌｌ≤ ＋唧Ｊ ｅｘｐ（ｒ·ｏ５）ｌ ｌｘ（ｓ）Ｉ ｌｄｓ≤ ｔＯ 例３（解的渐近性质） 若当ｔ一＋∞时方程 （４）的一切解都趋于零，又设Ｓ（ｔ）是一个连续方阵， 满足ｆ ｌ ｊＢ（ｓ）ｌ Ｉｄｓ＜＋∞，则当ｔ一＋∞时方程 ａ· ＋ｏｓｒ／Ｊ ｅｘｐ（ｏ－·ｓ）ｌ ｌ（ｓ）ｌ ｌｃｌｓ，ｔ≥０， （５）的一切解也都趋于零。 证明 令ｘ（ｔ）为方程（５）的臼Ｅ＿＿懈，可看成是 ｄｘ．其中ａ＝ｍａｘ｛ａ，ａ～－ ｐ ［ｅｘｐ（ｏｒ· ）ｌｌ （ ）ｆ１）］｝。 ｔＥ ０．ｔｏ 由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式知， ｌ ｌｘ（ｔ）ｌｌ≤ ·ｅｘｐ［一（ｏｒ—ａｎ）ｔ］， ＿ｆｉｔ ＝Ａｘ十 （ｆ） （ ）自勺解，贝０ （ ）满足 只乡 ） 程 ｘ（ｔ）＝Ｘ（ｔ）ｘ（Ｏ）＋Ｊ ｘ（ｔ—ｓ）Ｂ（ｓ）ｘ（ｓ）ｄｓ。由（６）式知， ＪＯ 则当０＜卵＜ ，ｔ一＋∞时，有 （￡）一０。 从上面的例子看，Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式的应用比较 ｌＩ （ｆ）ｌｌ≤ｌＩＸ（ｔ）ｘ（Ｏ）Ｉｌ＋Ｊ Ｉ 一ｓ）曰 ）ｌ Ｊ ≤ 广泛，尤其是在证明一些不等式和初值问题的解的 性质时。 Ｉｌｘ（ｏ）Ｉ ｌｅ ＋ ｆ ｅ “ ｌｉＢ（ｓ）ＩＩ·ｌｌｘ（ｓ）ｌ ，Ｉ 贝０ ｅｘｐ（ｔｒｔ）『ｌ （￡）ｌＪ≤ ｌ ｌ（０）ｌｌ＋ Ｊ ｌＩ Ｂ（ｓ）ｌｉ· ｅｘｐ（ｏｒｓ）·ｌ ｌｘ（ｓ）Ｉｌ ， 由Ｇｒｏｎｗａｌｌ不等式得， 参考文献： ［１］王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程［Ｍ］．北京：高等 教育出版社，１９９７． ［２］罗梭．常微分方程［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，１９８１． ［３］丁同仁．常微分方程教程［Ｍ］．北京：高等教育出版社， ２ｏｏ５． ｅｘｐ（ａｔ）Ｉ ｌｘ（ｔ）ｌｌ≤Ｏｌ ｌｌｘ（ｏ）Ｉ１．ｅｘｐ（ａ Ｊ ｌｌＢ（ｓ）ｌ ），Ｉ 即ｘ（ｔ）．÷０，ｔ ＋ｏ。。 例４ （解的渐近性质） 设当ｔ一＋∞时方程 ［４］周尚仁．常微分方程习题集［Ｍ］．北京：高等教育出版社， １９８４． （４）的一切解趋于零，则必存在一数 ＞０，它只依赖 于方阵Ａ，使对足够大的ｔ值，有ＩＩ Ｂ（ｔ）ｌｌ≤叼，则当 ｔ一＋∞时方程（５）的一切解都趋于零。 证明 方程（５）的任一解 （ｔ）满足积分方程 ［５］叶彦谦．常微分方程讲义［Ｍ］．北京：人民教育出版社， １９８３． ［６］Ｂ．Ｂｒａｕｎ．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ａｎｄ Ｔｈｅｉｒ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｍ］． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒ｜ａｇ，１９９３． ｘ（ｔ）＝Ｘ（ｔ）ｘ（Ｏ）＋ｘ（ｔ）·Ｊ Ｘ（一ｓ） （ｓ） （ｓ） ， Ｐｒｏｏｆｓ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｏｆ Ｇｒｏｎｗａｌｌ Ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ，ＰＥＮＧ Ｌｉａｎｇ－ｘｉａｎｇ （Ｊｉａｎｇｓｕ Ｕｒｂａｎ Ｒｕｒａｌ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ ２１３１４７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｉｍｔ，ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｐｒｏｖｉｄｅｓ ｔｗｏ ｐｒｏｏ￣ｏｆ Ｇｒｏｎｗａｌｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ．Ｔｈｅｎ，ｗｅ ａｐｐｌｙ ｉｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔ－ ｅｎｃｅ ａｎｄ ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ ｔｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｅ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｓｐｅｃｉａｌ ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．Ａｔ ｌａｓｔ，ｗｅ ａｐｐｌｙ ｉｔ ｔｏ ｐｒｏｖｅ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｅｍ ａｂｏｕｔ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｏｔｏｔｉｃ ｐｍｐｅ￣ｙ ｏｆ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ａｎｄ ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｇｒｏｎｗａｌｌ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ｉｎｉｔｉａｌ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ，ｐｅｒｔｕｒｂｅｄ ｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｓｙｍｐｏｔｏｔｉｃ ｐｒｏｐｅｒｔｙ
