建筑与发展 Ｊ｜ａｎ ＺｈｕＹｕ Ｆ：ａ Ｚｈａｎ ・２１７・ 例谈用构造法解证不等式 张培基 重庆市医科学校４０１４２０ 【摘要】构造法是数学方法中的一种特殊的解题方法。构造法的特点是化复杂为简单、化抽象为直观。构造法思想的核心是根据题设条件的 特征恰当构造一种新的形式，这对培养学生的数形结合的思想、思维能力和创新能力都有很大的帮助。本文从多个角度举例说明应用构造法解证不 等式问题的构思途径。 【关键词】构造法不等式解证 不等式是中学数学的重要内容，是分析、解决其它数学问题的基 础和工具，不等式问题的解证是教学中的一个难点。不等式题型涉及 面广，解证方法灵活，备受命题者的青睐，在近几年高考试题中， 占据了１ ５％一２ ０％比重，也是今后命题的重点内容。因此，在不等式 问题的解证教学中，除了掌握基本内容、常用方法、关注不等式与 其它知识的交汇点外，特别要注意渗透解决问题的数学思想和方法。 而构造法就是解证不等式问题的一种十分重要和基本的方法。本文从 多个角度举例说明应用构造法解证不等式问题的构思途径。 １、构造函数 函数在整个中学数学中占有相当的内容，学生对于函数的性质也 比较熟悉 选择烂熟于胸的内容来解决棘手问题，同时也达到了训练 学生的思维，增强学生思维的灵活性，开拓性和创造性。 冀 Ｉｎ ． 例１：解不等式 ｉ 翥一 。 分析：此题若直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算 较烦琐，但注意到百 ＋ １０－（毒－）’＋５（ ＿）且题中出现 ＋５ ，启 个方程得：示我们构造函数ｆ（Ｘ）＝ｘ。＋Ｓｘ去投石问路。 解：将原不等式化为 ）’＋５（＿ ＋Ｓｘ，令ｆ ）＝ ＋ ，令ｆ（ｘ） ：ｘ。＋５ｘ，则不等式变为，（ －）＞ （ ，。．‘ｆ（ｘ）＝ｘ。＋５ｘ在Ｒ上为增函数．‘． 原不等式等价于÷＞ｘ，解之得：一１＜ｘ＜２或ｘ＜一２。 此题观察到 ＋ ＝（． ）’＋５（丢＿）与 ＋５ 结构一样后构造函 数直接利用函数的单调性大大减少了运算量。善于观察才善于构造。 有些问题似乎与函数毫不相干，但是根据题目的特点，巧妙地构造 一个函数，利用函数的性质可得到简捷的解决。解题过程中不断挖掘学 生的潜在意识而不让学生的思维始终注意到某一点上，把自己的解题思 路搁浅，启发学生思维多变，从而培养学生的发散思维。 例２：设Ａ＝（ｘ Ｉ １＜ｘ＜３），Ｂ是关于ｘ的不等式组｛ｆｘ ，￣－２ ｚ＋ａ＜ ０一２＋５。 的解集，试确定ａ，ｂ的取值范围使Ａｃ ， 分析：此题若直接把Ｂ集合即不等式组的解集表示出来很困难， 因为其中ａ，ｂ的值范围待定，故若采用构造法来解，问题就简单了。 解：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ 一２ｘ＋ａ，ｇ（ｘ）＝ｘ 一２ｂｘ＋５． 因为Ａ＝（ｘ Ｉ ｌ＜ｘ＜３），要使Ａｃ ，则ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的图象必须满足 ｔ１． ｇＯ） ＜－ｏ３，解，得ａ＜３且ｂ＜３． ２、构造方程 例３：：已知实数ａ，ｂ，ｃ，满足ａ＋ｂ＋Ｃ＝０和ａｂｃ＝２，求证：ａ， ｂ，Ｃ中至少有一个不小于２ 证：由题设：显然ａ，ｂ，ｃ中必有一个正数，不妨设ａ＞０， ’ Ｉｂ＋ｃ 则｛＾ｃ：三 即ｂ，ｃ是二次方程 ＋ ２＝０的两个实根。 ・．．△：口２一兰≥０即：ａ≥２ 订 一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形后具备“Ｘ ＋Ｘ ＝ａ、 ｘ Ｘ ，＝ｂ”的形式，则可以利用根与系数的关系构造～元二次方程：如 果具备ｂ２－４ａｃ≥０或ｂ２－４ａｃ≤０的形式，可以利用根的判别式构造一 元二次方程 例４：已知： ． ，且曲＝；。求证：子 “＋６ ｃ 。 分析：这是一道常规的不等式证明题，对它的证明有多种方法， 但构造方程的方法最为简捷。 证明：‘・’ 告，可设ａ、ｂ是方程９ｘ 一ｐｘ＋２＝０的两根，解这 。．．。． 了’ａ ．；． ｊ～ —— 一 ｊ， ．旦 ｌ二 解得６＜Ｐ＜９由根与系数的 解得＜＜由根与系数的 关系得ａ＋ｂ＝＊，．。．专＜“＋６＜１。ｊ ３．构造复数 由于复数具有代数、几何、三角等多种表示形式以及它的特定性 和运算法则，我们可以构造复数来解决许多代数、几何、三角方面 的不等式问题。这不仅可以提高纵向知识解题的技巧，而且可激发发 散思维，打破思维定势，有效地培养学生的能力，发展智力。 例５：求证： ＿＿ ＋ ＋ ＋ ２ ２ 分析：本题的特点是左边为几个根式的和，因此可联系到复数的 模，构造复数模型，利用复数的性质把问题解决。 证明：设ｚｌ＝ａ＋ｂｉ、ｚ２＝ａ＋（１一ｂ）ｉ、ｚ３＝（１一ａ）＋（１一ｂ ）ｉ、ｚ （１一ａ）＋ｂｉ 则左边＝Ｉ ｚ ｌ＋Ｉ ｚ２ｌ＋Ｉ ｚ３Ｉ＋【Ｚ４１ ｛Ｚ１＋ｚ２＋ｚ ３＋ｚ４｛＝ｆ［ａ＋ａ＋（１一ａ）＋（１一ａ）］＋［ｂ＋（１一ｂ）＋（１一ｂ）＋ｂ］ｉ Ｊ＝Ｊ ２＋２ｉＩ＝２√ 即厮＋ 而＋ 丽＋ ≥ｚ 例６：已知：ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ，求证 ＋ １ １ ９：。 分析：通过入微观察，结合空问解析几何知识，可以构造向量 占。 。 觋 师 厅 ＝ ，击。击， ‘．。Ｉ Ｉ＝３， ＝ 再ｉ ＝ ， ＩＩ Ｉ Ｉ 建筑与发展 ・科技前沿 Ｋｅ ＪＩＱＩａｎＹｏｎ ２１８・ ＪｉａｎＺｈｕＹＵ ＦａＺｈａｎ √ ＋ ＋ ＞－－３・‘・击＋击＋ 利用向量等工具巧妙地构造出所证明的不等式的几何模型，利用 向量内积性质，可解决许多用普通方法难以处理的问题，对培养学生 创新思维是十分有益的。 ４．构造几何图形 华罗庚曾说：“数离开形少直观，形离开数难入微。”利用数 形结合的思想，可沟通代数，几何的关系，实现难题巧解。对于一 ５．构造概率模型 随着新课程改革的逐步推进概率越来越成为热点，因而对于有些 题目，可借助概率的特点来达到解题的目的，我们可以构造所需的概 率模型解题。 例９：若０＜ａ、ｂ、Ｃ、ｄ、＜１ 些题目，可借助几何图形的特点来达到解题目的构造出所需的图形来 解题。 例７：试证：对任何ａ＞０，ｂ＞０，Ｃ＞０都有 １＿二 立。 ” ＝丽≥、 ，当且仅当 －ｉ１＋ 时等号成 求证：（１一ａ）（１一ｂ）（１一Ｃ）（１一ｄ）＞１一ａ—ｂ—Ｃ—ｄ 分析：由０＜ａ、ｂ、Ｃ、ｄ、＜１联想到随机事件的概率０＜ｐ＜１ 分析：观察题目特点，从， ： 用几何图形进行证明。 。￣—ａａ＋ｂ２－２—＠ｃｏｓ６０￣联想到余 证明：设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是相互的四个事件。且令Ｐ（Ａ）＝ａ， Ｐ（Ｂ）＝ｂ，Ｐ（ｃ）＝ｃ，Ｐ（Ｄ）＝ｄ． 弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利 则Ｐ（ １一ａ，Ｐ（ ） ｌ—ｂ，Ｐ（ ） １一ｃｔ Ｐ（ ） ｌ—ｄ 证明：根据题意构造图形（如图），其中ＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｃ，ＢＤ＝ｂ， ＺＡ．ＢＤ＝ ＤＢＣ＝６０。，由余弦定理得： 由于Ｐ（Ａ＋Ｂ＋ｃ＋Ｄ）＝ｌ—Ｐ（ Ｐ（三）Ｐ（弓）Ｐ（ ） Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）＝ａｂｃｄ＞Ｏ．‘．Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ不是互斥事件 。・・Ｐ（Ａ＋Ｂ＋ｃ＋Ｄ）＜ｐ（Ａ） ｐ（Ｂ） ｐ（ｃ）＋ｐ（Ｄ）于是１一Ｐ（ ）Ｐ（ Ｐ（ ）Ｐ （ ）＜ｐ（Ａ）＋ｐ（Ｂ） ｐ（Ｃ） ｐ（Ｄ）故（１一ａ）（ｉ—ｂ）（１一Ｃ）（１一ｄ）＞１一ａ— ｂ—ｃ—ｄ Ａ Ｃ 例１ ０，已知：ａ≥ｌ，ｂ≥１，ｃ≥１， 求证：ａ２ｂ２＋ｂ２ｃ２＋ｃ ２ａ２≤ａ２＋ｂ２＋ｃ ２＋ａ ｂ ｃ２ ＡＤ： 而 Ｄｃ： ， ； ＋厅 蕊）． 。 分析：考虑到ａ≥ｌ，ｂ≥１，Ｃ≥ｌ，从而不能把他们看成某 ￣ＯＰＡＡＤＣ中，ＡＤ＋ＤＣ＞ＡＣ则 事件的概率，为此先把原不等式恒等变形，两边同除以ａ ２ｂ ２ Ｃ ２得 ｌ １ １ ｌ ｌ ｌ １ 但当Ａ、Ｄ、Ｃ三点共线时等号成立，此时，ｓ．∞ｃ—ｓ 。＋ｓｍＤ， ｒ ７ ： ｌ ， ｒ ， 即÷ａ—ｎ１２０。一 抽ｓｍ ＋ ｃｓｎ６０￣。 ａｃ：ａｂ＋ｂｃ， ｌ１ ： ＋ ｂ ａ ｃ 设Ａ、Ｂ、Ｃ是三个相互的事件。令ｐ‘舢 ’ｐ‘８） １＇ 《ｃ） 贝Ｕｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝ｐ（Ａ） ｐ（Ｂ） ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）一Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ） ｐ （Ａ）口（Ｂ）Ｐ（ｃ） 而Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≤１ ・．。 本题若不构造一个三角形，而是运用三角知识解题，直接将两边 平方，则无论是用综合法还是分析法，不仅计算过程十分复杂，而 且很不容易说明。 例８：、已知０＜ａ＜１，０＜ｂ＜ｌ， ＋ ＋ １丽ｌ 毒＋赤＋赤 求证丽＋ 丽＋ ＋ ２ ： 综上所述，用构造法解证不等式能收到事半功倍的效果。构造法 解题重在“构造”，它可以构造图形、方程、函数、复数、概率 证明：构造单位正方形，０是正方形内一点 ０到ＡＤ，ＡＢ的距离为ａ，ｂ， 则ＩＡＯ＋『ＢＯ＋ＪＣＯｆ＋ＩＤＯ Ｊ≥ＪＡＣ＋ＩＢＤ ＪＩＡＯｌ＝ ． ’ 甚至其它构造。这就有利于促进学生熟悉几何、代数、三角等基本 知识和基本技能的综合利用；有利于学生多元思维的培养和学习兴趣 的提高；有利于学生钻研独创精神的发挥。因此，在解题教学时， 若能更好地启发学生从多角度，多渠道进行广泛的分析和联想则能得 其中ｌ∞ 、 到许多构思巧妙，新颖独特，简捷有效的解题方法，而且还能加强 学生对知识的理解，培养思维的灵活性，提高分析问题和解决的创新 能力。 ＣＯｌ－、后 面 Ｄ０ ．厢又：ＩＡＣｌ＝Ｉ∞ 参考文献： ［１］ 主编：王宁等《中学数学双基效率手册》北京工业大学 出版社２００５．７ ［２］主编：幸世强《高考易错题解读一数学》四川科技出版 社２００５．８
