高等数学(上)期末考试试题及参

一．选择题（每小题3分，共15分） 1．设当x0时， 1cosx与ax2是等价无穷小，则a（ ） (A) 2 (B) 2．设

x2f(x)axb2

班级 学号 姓名

(C)

12 (D)

1 2

x1x1 在x1处可导，则a,b的值分别为

（ ） (A)

2,1

1,2 (B) 2,1 (C) 1,2 (D)

3．1(x1)11x2dx ( )

2(A)  (B) (D) 0

(C)

4

4．曲线yex与该曲线过原点的切线yex及y轴所围成图形的面积A ( ) (A) 1(e(C) 0(e1exex)dx ex)dx

(B) 1(yee1lnyy) dx (D) 0(ylny)dy e 1

5．曲线

x22y21绕xz0轴旋转一周所形成的曲面方程为

( )

（A）x22y2z21 (B) x22y2z21 (C) x22y22z21 (D) 二．填空题（每小题3分，共15分） 6．若向量 x 与

a(2,1,1)共线，且ax18，则x

x22y22z21

7．设f(x)(x3x2x1)3e3x，则f(10)(x) 8．设F(x)02xtf()dtln2，其中f(x)2连续，则F(x)

9．设 ye2x 与 yxe2x都是某二阶常系数齐次线性微分方

程的特解，则该微分方程为 10．曲线ysinx,ycosx(0x)与y轴所围成的平面图形

4绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积Vx 三、计算题（每小题5分，共60分）

11．求 limx011. 2xtanxx

12．设曲线yf(x)xn（n为正整数）在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(,0)，

f(). 求limnxarctantdyd2y13．设 ， 求 及 2. 2dxdxyln(t1)14．设 eyxye，求 yx0． 15．设

x0 是 yf(x)x42x3ax 的驻点，求常数a的值，

2

并求

该曲线的凹凸区间与拐点． 16．设f(x)dxxsinxC，求17．求31f(x)dx． cosxxdx． 32x18．求微分方程 19．求微分方程

xyyxexex0的通解． y3y2y4e2x的通解．

21120．求过点(0,1,2)，且与直线x1yz1平行，又与平面

x2y3z0垂直的平面方程．

21．已知f(x)连续，f()1，且022．求 1[f()xf()]sinxd3xx)．，求f(0

arctanxdx． x2四、证明题（每小题5分，共10分）

23．证明：当eabe2时，ln2bln2a42(ba).

e24．设函数f(x)对任意实数x1,x2都满足 f(x1x2)f(x1)f(x2)，

且f(0)1，证明： （1）f(x)f(x)； （2）f(x)ex.

参 考 答 案

一．选择题（每小题3分，共15分） 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C

二．填空题（每小题3分，共15分）

（6,3，3）6． 7．310e3x 8．2f(x)

9．y4y4y0 10．

3

12三、计算题（每小题5分，共60分）

tanxxtanxxsec2x1tan2x1limlimlim 11．原式lim322x0xtan2xx0x0x0x3x3x312． 切线方程 13． 14．

y1n(x1)

11limf()＝lim(1)n nnnedyd2y2t， 2(1t2) 2dxdx

；

y|x01e2yyy

ex；

y(eyx)(eyy1)(eyx)y(eyx)2

15． a0， f(x)的凹区间为

(0,0),(1,1)

(,0],[1,)；凸区间为 [0,1]；拐点为

16．f(x)sinxxcosx

f(x)sinx12dx(x)dxlncosxxC cosxcosx217．令 t32x， 原式＝3(3t2)dt[3tt3]1 318．原方程变为：

1xexexyyxx112121343

11xxdxdxxee1xxxye[edxC](xeC) 原方程的通解：xx19．

y3y2y0的通解：

YC1exC2e2x；原方程特解

1yAe2xe2x

3 原方程通解

1yC1exC2e2xe2x

3

20．平面的法向量为 n(2,1,1)(1,2,3)(1,5,3)

平面的方程为

x5y3z10

4

21．0[f(x)f(x)]sinxdx00f(x)sinxdx00f(x)sinxdx

f(x)d(cosx)sinxd(f(x))

0

0[f(x)cosx]0f()f(0)

f(x)cosxdx[f(x)sinx]0f(x)cosxdx

所以：f(0)2 22．1arctanx1arctanx1dxarctanxd() |111x(1x2)dx x2xx

11[lnxln(1x2)]|1ln2 4242

23． f(x)ln2x在[a,b]上应用

ln2bln2ag(x)Lagrange中值定理得：

(ab)

2ln(ba)

lnxx 0在(e,e2)内导数 g(x)12lnxxlnxlnlne222由g(x)在[e,e]上单调性得 xe2e2所以 ln2bln2a42(ba)

ef(xh)f(x)f(x)f(h)f(x)f(0)lim24．（1）f(x)lim h0h0hhf(h)f(0)f(x)limf(x)f(0)f(x) h0h

（2）由f(x)

f(x)得：

d[f(x)]dx， f(x) 所以

lnf(x)xl Cnf(x)Cex ， 由题得：C1 ， 所以：f(x)ex

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