高三数学直线方程试题答案及解析
1. 已知点A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 【答案】3
【解析】直线AB的方程为＋＝1， 又∵
＋≥2
，即2
≤1，
当x>0，y>0时，当且仅当＝，即x＝，y＝2时取等号，
∴xy≤3，则xy的最大值是3.
2. （满分16分）如图：为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，经测量，点位于点正北方向60处，点位于点正东方向170处，（
为河岸），
.
（1）求新桥的长； （2）当多长时，圆形保护区的面积最大？ 【答案】（1）；（2）．
【解析】本题是应用题，我们可用解析法来解决，为此以为原点，以向东，向北为坐标轴建立直角坐标系.（1）点坐标炎，，因此要求的长，就要求得点坐标，已知
说明直线
斜率为
，这样直线
方程可立即写出，又
，故
斜率也能
得出，这样方程已知，两条直线的交点的坐标随之而得；（2）实质就是圆半径最大，即线段上哪个点到直线的距离最大，为此设，由，圆半径是圆心到直线的距离，而求它的最大值，要考虑条件古桥两端和到该圆上任一点的距离均不少于80，列出不等式组，可求得的范围，进而求得最大值．当然本题如果用解三角形的知识也可以解决．
试题解析：
（1）如图，以
为
轴建立直角坐标系，则
，
，由题意
，直线
方程为．又，故直线方程为，由，解得
，即
（2）设为
，即
，所以
，由（1）直线
，由于
； 的一般方程为，因此
，圆
的半径，
，由题意要求
∴∴，所以当时，取得最大值，此时圆面积最大．
【考点】解析几何的应用，直线方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，直线与圆的位置关系.
3. 过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是 ． 【答案】【解析】直线则∴
.
，∴
，设，则
，
，则由有B为AC中点，
带入直线
中，有
，
【考点】直线方程、中点坐标公式. 4. 设
分别为椭圆
的左、右焦点，斜率为的直线经过右焦点
，且与椭圆W
相交于两点. （1）求的周长； （2）如果为直角三角形，求直线的斜率. 【答案】（1）
的周长为
；（2）直线的斜率
，或
时，
为直角三角
形．
【解析】（1）求的周长，这是焦点三角问题，解这一类问题，往往与定义有关，本题可由椭圆定义得，，两式相加即得的周长；（2）如果为直角三角形，求直线的斜率，由于没教得那一个角为直角，故三种情况，，或
，或，当时，此时直线的存在，设出直线方程，代入椭圆方
程，设，，由根与系数关系，得到关系式，再由，即可求出斜率的值，当（与相同）时，则点A在以线段为直径的圆上，也在椭圆W上，求出点的坐标，从而可得直线的斜率． （1）椭圆的长半轴长，左焦点，右焦点， 2分 由椭圆的定义，得，， 所以的周长为. 5分 （2）因为为直角三角形， 所以，或，或，再由当时， 设直线的方程为，，， 6分 由
得
， 7分
所以 由因为所以
，得
，. 8分 ， 9分
，，
， 10分 解得
. 11分
相同）时，
为直径的圆上，也在椭圆W上，
，或
， ，或
时，
为直角三角形. 14分
， 13分
当（与
则点A在以线段由
解得
根据两点间斜率公式，得综上，直线的斜率
【考点】焦点三角，直线与椭圆位置关系．
5. 直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量是（ ） A．（2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣3，2）
D．（3，2）
【答案】D
【解析】由题意可得：直线2x﹣3y+1=0的斜率为k=， 所以直线2x﹣3y+1=0的一个方向向量 =（1，），或（3，2）
故选D．
6. 直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点． (1)当△ABO的面积最小时，求直线l的方程； (2)当最小时，求直线l的方程．
【答案】（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0 【解析】(1)如图，设
＝a，
＝b，△ABO的面积为S，则S＝ab，并且直线l的截距式
方程是
＝1，
由直线通过点(2，1)，得＝1，所以.
因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得 S＝×b＝
×b＝
＝b＋1＋
＝b－1＋
＋2≥2＋2＝4.
＝1.
当且仅当b－1＝，即b＝2时，面积S取最小值4，这时a＝4，直线的方程为
即直线l的方程为x＋2y－4＝0. (2)如上图，设∠BAO＝θ，则
＝
，
＝
，
所以＝·＝，
当θ＝45°时，有最小值4，此时直线斜率为－1，∴直线l的方程为x＋y－3＝0
7. 不论m取何值，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点________． 【答案】(－2，3)
【解析】把直线方程(m－1)x－y＋2m＋1＝0，整理得 (x＋2)m－(x＋y－1)＝0，则
得
8. 已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距互为相反数,则a的值是( ) A．1 B．-1 C．-2或-1 D．-2或1
【答案】C
【解析】直线l在x轴上的截距为:,在y轴上的截距为a+2,由题意得a+2=-,解得a=-2或a=-1.
9. 设圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，交y轴于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为________． 【答案】2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0
【解析】如图，
A为PB的中点，而C为AB的中点，因此，C为PB的四等分点．而C(3,5)，P点的横坐标为0，因此，A，B的横坐标分别为2、4，将A的横坐标代入圆的方程中，可得A(2,3)或A(2,7)，根据直线的两点式得到直线l的方程为2x－y－1＝0或2x＋y－11＝0.
10. 点为圆的弦的中点，则该弦所在直线的方程是( ) A．x+y+1=0 B．x+y－1=0 C．x－y－1=0 D．x－y+1=0
【答案】B 【解析】点直，故弦的斜率为
为圆的弦的中点，设圆心为，则该弦所在直线与PC垂
即
,则由直线的点斜式可得弦方程为
.
【考点】圆的中点弦的直线方程，直线方程的点斜式.
11. 过点（0,1）且与曲线A．C．
在点
处的切线垂直的直线的方程为（ ）
B．D．
【答案】C 【解析】
y+1=0
12. .不论为何值时，直线
,
,所以所求直线的斜率为2,其直线方程为y=2x+1,即2x-
恒过定点P，则过P点的抛物线的标准方程
为 . 【答案】
或
恒过定点P，则过点（x+2）a+(-x-或两点，且
B．D．
，则直线的方程为
【解析】解：因为不论为何值时，直线y+1)=0
故x=-2,y=3，因此过点p的抛物线的方程为
13. 过点A．C．
的直线交圆
于
【答案】B
【解析】解：因为过点的直线交圆于两点，且圆的半径为，则利用等腰三角形AOB,可知，圆心到直线的距离为，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式得到为选B
14. 直线在轴和轴上的截距分别为和，直线的方程为，则直线到的角为
A．30°B．45°C．135°D．45°或135°
【答案】B
【解析】由条件知直线
的斜率分别为
故选B
15. 不论k为何实数，直线恒过的定点坐标为 、若该直线与圆
恒有交点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（0，1）， 【解析】略
16. 过点且垂直于直线的直线方程的一般式方程为_____________ 【答案】2x+y-1=0 【解析】略
17. 3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A．3x－2y =\" 0\" B．x + y－5 =\" 0\" C．3x－2y =\" 0\" 或x + y－5 =\" 0\" D．2x－3y =\" 0\" 或x + y－5 = 0
是直线
的角为则
【答案】C 【解析】略
18. 已知直线
A．
不经过第二象限，且
B．，则（ ）
C．
D．
【答案】D
【解析】略
19. 直线在轴和轴上的截距相等，则的值是______ 【答案】-2或1 【解析】略
20. （12分)设直线与圆交于A、B两点，O为坐标原点，已知A点的坐标为
．（Ⅰ）当原点O到直线的距离为时，求直线方程；（Ⅱ）当时，求直线 的方程。 【答案】w_w w 或. 【解析】（Ⅰ）∵在圆C上，∴，圆的方程为 设直线的方程为：，即 由条件得：
此时直线的方程为
也符合要求
. -------------（6分）
∴OB的斜率为
，
w_w w.
当直线的斜率不存在时，直线；∴直线的方程为 或 （Ⅱ）由条件得OA的斜率为∵k#s5_u.c o*m
OB所在直线的方程为由
解得B点的坐标为或
由两点式求得直线的方程为 或.----（12分）
21. 直线绕着其上一点沿逆时针方向旋转15°，则旋转后得到的直线的方程为 A． B． C D． 【答案】B 【解析】略
22. 过点A（0,3），被圆（x－1)2＋y2＝4截得的弦长为2的直线方程是（ ） A．y＝- x+3 C．x＝0或y＝ x－3
B．x＝0或y＝- x+3 D．x＝0
【答案】B
【解析】由圆的方程（x－1）2＋y2＝4，得：圆的圆心坐标为（1，0），半径为2。
令弦为AB、圆心为C、AB的中点为D。则有：CD⊥AD、AC＝2、AD＝√3，∴CD＝1。 1、当要求的直线与x轴垂直时，直线方程就是：x＝0。 显然，点C（1，0）到x＝0的距离＝1。 ∴x＝0是要求的一条直线。
2、当要求的直线存在斜率时，设要求直线的斜率为k。 则直线方程为：y－3＝kx，即：kx－y＋3＝0。
而CD＝｜k－0＋3｜/√（k2＋1），∴｜k－0＋3｜/√（k2＋1）＝1，
∴｜k＋3｜＝√（k2＋1），∴k2＋6k＋9＝k2＋1，∴6k＝－8，∴k＝－4/3。 ∴此时要求的直线为：－（4/3）x－y＋3＝0，即：y =－（4/3）x＋3。 综上所述，满足条件的直线方程是：x＝0，或y =－（4/3）x＋3。故选B。
23. 若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点（ ） A．
B．
C．
D．
【答案】B 【解析】略
24. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点，直线圆心在上.
（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 【答案】（1）
或者
；（2）
.
,设圆的半径为，
【解析】 （1）求圆的切线方程的步骤：首先要判断所给点是否在圆上，若在圆上，只有一条，在圆外，有两条；其次，设切线方程（注意斜率是否存在的讨论），然后由圆心到直线的距离等于半径求待定系数，最后得切线方程；（2）由已知设出圆的方程为，又由可得：设为圆D，说明点M应该既在圆C上又在圆D上即圆C和圆D有交点，利用两圆有公共点的条件即可解决. 试题解析：（1）由
得圆心C为（3,2），∵圆的半径为
，即
或者即
或者
6分
∴圆的方程为： 1分 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为∴
∴
∴或者
∴
∴所求圆C的切线方程为：（2）∵圆的圆心在在直线则圆的方程为：又
上，所以，设圆心C为（a,2a-4） 8分
整理得：
∴设M为（x,y）则
设为圆D 10分
∴点M应该既在圆C上又在圆D上 即圆C和圆D有交点 ∴
解得，的取值范围为：【考点】圆的综合应用
25. 已知直线经过点【答案】 【解析】由题意，得
11分 12分
，则直线的方程是___________________. ，所以直线方程为
，即
.
【考点】直线的方程.
26. （本小题满分14分）在平面直角坐标系线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是
中，点A、B的坐标分别是．
、，直
（1）求点M的轨迹方程； （2）若直线经过点，与轨迹有且仅有一个公共点，求直线的方程． 【答案】（1）
，其中
；（2）直线的方程为
或
或
【解析】（1）设M（，）是轨迹上任意一点，根据题意，由斜率公式列出直线AM、BM的表达式，由题
，化简可得化简得轨迹方程为
，特别注意
（2）由题意显然所求直线存在斜率，设：，根据（1）点A、B不在轨迹上，所以直线经过点A、B时，与与轨迹有且仅有一个公共点，故分三种情况①当直线经过A点时，；②当直线经过B点时③当点P为切点时，可得三条直线满足题意 试题解析：（1）设M（，）是轨迹上任意一点，
，
依题意，
整理化简得轨迹方程为①当直线经过A点时，②当直线经过B点时，③当点P为切点时，由 解代入
得
，其中
，代入，代入得
得得
（2）显然所求直线存在斜率，设：
得
，综上所述，直线的方程为
或
或
【考点】椭圆方程，直线方程的求法，直线与椭圆的位置关系
27. 点P在直线上，记，若使T取得最小值的点P有无数个，则实数的取值是 . 【答案】±1
【解析】直线y=kx+2上恒过定点（0，2），由当且仅当|x|=|y|时取等号，结合图形可得只有当k=±1时，使T取得最小值的点P有无数个．直线y=kx+2上恒过定点（0，2），
，当且仅当|x|=|y|时取等号，可得：只有当k=±1时，使T取得最小值的点P
有无数个．故答案为：±1．
【考点】直线斜截式方程
28. （12分）已知直线
（1）若直线的斜率等于2，求实数的值；
（2）若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最大值及此时直线的方程．
【答案】（1）-4；（2）x+y-4=0
【解析】（1）直线l过点（m,0）,（0,4-m）,则（2）由m>0,4-m<0,得0,则m=-4则m=2时，S有最大值2,直线l的方程为x+y-2=0 【考点】本题考查直线方程以及斜率公式
点评：解决本题的关键是注意m的取值范围，用m表示出S
29. 过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍的直线方程是（ ）
A．B．或 C．D．或
【答案】B
【解析】设横截距为，则纵截距为所以直线方程为：
即
，以下分情况：当；当
时，所求直线经过点和，斜率为
，
时，所求直线经过点
，所求直线方程为：即：，综上，所求直线方程为：
和，所以答案为：B.
【考点】1.直线方程；2.分类讨论思想.
30. 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【解析】圆：的圆心为，以，连线段为直径的圆方程为
，即，两圆的方程相减即为直线的方程
.
【考点】1.圆的方程；2.直线与圆、圆与圆的位置关系.
