线性代数习题及答案7

一、填空题（每题3分，共15分）

11012111．＝ 2．430＝ . 3．设11,1,1，21,2,3，

112100211122111131,3,t线性相关，则t＝ 4．设A为3阶方阵，且AI0，A2I0，A3I0，

则A＝ 5．设1，2，k11k22是线性方程组Axb的解，则k1k2＝ 二、

单项选择题 1．设A,B为n 阶方阵，则（ ）A．ABBA B．ABBA

TTTkkkOAC．(AB)AB D．(AB)AB 2．设A,B为可逆方阵，CBO，则（ ）

OOB11A．C B． C．CCABAOBTOA1 D．C11AOB1 O1、 设A是mn矩阵，则线性方程组Ax0只有零解的充要条件是（ ） A．A的列向量组线性无关 B．A的列向量组线性相关 C．A的行向量组线性无关 D．A的行向量组线性相关 ４、设矩阵A满足AA，则（ ）

A．0必是A的一个特征值 B．1必是A的一个特征值 C．A的特征值是0或1 D．AO或AI

5、设1,2是三元线性方程组Axb的两个不同的解，且r(A)2，则Axb的通解为x（ ） A．k11k22 B．

2122k(12) C．k11k2(12) D．k12k2(21)

111*11，求矩阵B．三、计算题1、（12分）设矩阵.A,B满足ABA2B，且A11

1112、（10分）设 1(1,1,1,3),2(1,3,5,1),3(3,2,1,4),4(2,6,10,2)，求向量组

1,2,3,4的秩和一个最大无关组．

x1x2x323、（15分）当为何值时，线性方程组 x1x2x3 无解、有唯一解、有无穷多解，并

xxx1123求出有无穷多解时的通解．

4、（15分）设f(x1,x2,x3)2x13x23x34x2x3，求正交变换xPy使得f化为标准形，并说明f的正定性． 四、证明题（共18分）

1、（5分）设n阶非零方阵A,B满足条件ABO，证明A,B都不可逆． 2、(5分）设是可逆矩阵A的一个特征值，证明

222A是A*的一个特征值．

3、（8分）设向量组1,2,3线性无关，证明向量组122,2233,331线性无关．

线性代数测试题答案(九)

一、填空题

3 1．5 ； 2．400 ； 1001/21 3．5； 4．－6； 5．1 ；

二、单项选择题 1．B ； 2．D； 3．A； 4．C ； 5．B.

1三、 1.解：|111114 3分 1A|11

AA*BAA1A2B

A|BI2AB

即 |(4I2A)BI 3分

111010BI B1111 6分

111241111012. 解：1(1,1,1,3),2(1,3,5,1),3(3,2,1,4),4(2,6,10,2)

113210132601A~15110003142000002,向量组的的秩为3，一个最大无关组1,2,3。

1000 3.解：（1）系数矩阵

A的行列式为：

11|A|11(1)(2)11 （5分）

当1,2时，方程组有唯一解； （1分） 当2时，r(A)2,r(Ab)3，方程组

无解； （1分） 当1时，r(A)r(Ab)1，方程组有无穷多解．

1111（Ab)~00000000 （1分）

（2）对增广矩阵进行初等行变换： （3分）

原方程组的通解为：x(1,0,0)Tk1(1,1,0,)Tk2(1,0,1)T(k1,k2R) （4分）

2 4.解：（1）二次型的矩阵为：A00（2）由

003223 （3分）

AI(1)(5)(2)得A的特征值为：12,21,35 （3分）

2时，解得(AI)x0的一个基础解系为：1(1,0,0)T； 1时，解得(AI)x0的一个基础解系为：2(0,1,1)T； 5时，解得(AI)x0的一个基础解系为：3(0,1,1)T

（3）当1 当2 当3A的三个正交单位特征向量为：

p1(1,0,0)T,p2(0,－1/2,1/2)T,p3(0,1/2，1/2) （6分）

（4）令C(p1,p2,p3)，C为正交矩阵，作正交变换XCY，得

22f2y12y25y3 （2分）

二次型正定

四、证明题 1. (反证)：假设A可逆，则A同理可证B不可逆。 2.设是又因为

1存在，等式两边左乘 A

1，则B=0,与题设B非零矛盾。即A不可逆，

5分

A对应于的特征向量，即A 两边左乘A*，A*AA*＝|A|A*|A|

A可逆，则0，A*，得证 （5分）

3. 证：令x1(122)x2(2233)x3(331)0 （2分） x3)1(2x12x2)2(3x23x3)30 (2分)

0,x20,x30 （2分）

整理得：(x1由于1,2,3线性无关，所以有：x1 则向量组122,2233,331线性无关. （2分）