线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题

例1计算元素为a = | i－j|的n阶行列式.

ij

解 法1 由题设知，a11=0，a121，L,a1nn1,L，故

Dn01M10LLOn1n20riri1in,n1,L,201L11LM11OLn111

n1n2Ln1cjcnj1,L,n1nLLL20n11L(1)n12n2(n1)10MM02LOO00L

其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n列．

法2 Dn01M02LLO10LLOn1n20riri1i1,2,L,n111M11LLO110

n1n2L1cjc1n1n2L00n1

=(1)n1

j2,L,n1M2n2(n1)n12n3L例2. 设a, b, c是互异的实数, 证明:

证明: 考察德蒙行列式:

的充要条件是a + b + c =0.

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=

行列式

即为y2前的系数. 于是

=

所以 的充要条件是a + b + c = 0.

例3计算Dn=

x01x01KK00Mxa1MMManan1an2K

解： 法1 递推法 按第1列展开，有

1x1Dn= x Dn1+（－1）

n1

an

x1OOx1n1= x Dn1+ an

D2由于D1= x + a1，

an1x + an=L= x

n1xa21xa1n2，于是Dn= x Dn1+ an=x（x Dn2+an1）+ an=xDn2+

nn1++ an1x + an=xa1xLan1xan

2D1+ a2x

法2 第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x

2n1倍分别加到第1列上

010x2x1c1xc2Dn 00xMMManxan1an1an2KKKK000 Mxa1 Word 文档

.

0100K0c0x10K01x2c3

x30x1K0 MMMMManxan1x2an2an1an2an3Kxa1011x1按rn展开x1=LL=

OO1(1)n1fxfOxOOxxna11xnLan1xan

法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．

x00K0c12xc10x0K0c13Dxc200xK0nLc1MMMM nxcn1aannan1aan1xann2xx2Kkn按cn展开 x

n1 kn1ann= x

(

xn1+ an1xn2++a2x+a1+x) =an1nnan1xLa1xx

10K00按rn展开法4 D1K00n(1)n1axnMMMM+

00Kx1x0K00x1K00(1)n2a

01K000xK00n1MMMM++(1)2n1a2MMMM

00Kx100K01x1K00+(1)2n(a1x)0xK00MMMM

00L0x=（－1）

n1

（－1）n1an+（－1）

n2（－1）

n2 an1x

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=

1n1 .

++（－1）2n1（－1）a2xn2 +（－1）2n( a1+x) xn1

n1n= anan1xLa1xx

例4． 计算n阶行列式：

Dna1b1a2La1a2b2LMa1Ma2LananManbn (b1b2Lbn0)

解 采用升阶（或加边）法．该行列式的各行含有共同的元素a1,a2,L,an，可在保持 原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适当选择所增行（或列）的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．

1a1a2L0a1b1a2L升阶 Dn0a1a2b2LM01c11cjbj1anananManbnr2r1r3r1Lrn1r11a1a2L1b10L10b2LMMM100Lan00 MbnMa1Ma2La1aL1b1b100M0a1a2Lb10Lan00Mbn=b1b2Lbn(1j2,L,n10b2LMM00La1aLn) b1bn这个题的特殊情形是

Dna1xa2La1a2xLMa1Ma2LananManx=xn1(xai)

i1n可作为公式记下来．

例5．计算n阶“三对角”行列式

1Dn=

1M000M0＋KM0KKK000M000 M1 Word 文档

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解 法1 递推法．

Dn按c1展开()Dn1—

1M000KKM0M0K0000MM1(n1)

按r1展开()Dn1－Dn2

即有递推关系式 Dn=()Dn1－Dn2 (n3) 故 DnDn1＝(Dn1Dn2)

2递推得到 DnDn1＝(Dn1Dn2)＝(Dn2Dn3)

＝L＝而D1()，D2＝

n2(D2D1)

α+β1αβα+βn22＝，代入得DnDn1

DnDn1n （2.1）

由递推公式得

DnDn1n＝(Dn2n1)n

＝αD

2n2＋n1n＝L

βn1－αn1，当αβ时n1nn1n

＝＋＋＋＝β－α

(n1)αn1，当α＝β时法2 把Dn按第1列拆成2个n阶行列式

1M01M00Dn=0＋KM0KKK000M000M＋

10M001M000KM00KKKK000M000M

11上式右端第一个行列式等于αDn1，而第二个行列式

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10M001M000KM00KKKK000M000Mciaci1i2,L,n100K0K0000101KMMM000K00=βn MM1n于是得递推公式DnDn1，已与（2.1）式相同．

法3 在法1中得递推公式

Dn=()Dn1－Dn2

22又因为当时 D1==

D2133222=()==

122D3=

010=()3-2() 44= ()()=

n1n1于是猜想Dn，下面用数学归纳法证明．

当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立． 当n=k+1是，由递推公式得

Dk1=()Dk－Dk1

k1k1kkk2k2=()—=

所以对于nN，等式都成立

例6． 计算n阶行列式：

Dn1a11L11a2LM1M1L11M1an

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其中a1a2Lan0．

解 这道题有多种解法． 法1 化为上三角行列式

Dnrir1i2,L,n1a11La1a2Ma1O1ac11cjajj2,L,nanb1L0a2MO01

annn111其中b1a1a1a11，于是Dna1a2Lan1．

i2aii1aii1ain法2 升阶（或加边）法

11101a11升阶Dn011a2MMM0111c11cj1aji1nLLLL1111M1anLrir1i2,3,L,n1111M11a10M010a2M0LLLL100 Man1aj1a11n1a1a2Lan1

i1aij1,2,L,n1a2Oan法3 递推法．将Dn改写为

Dn1a11L11a2LM1M1L1010M1an111a1a211

按cn拆开1a11L11a2LM1M111ML1LM+

1a11L11a2LM1M1L00Man

由于

1a11L11a2LM1M1rirni1,L,n1a1a2Lan1

L1 Word 文档

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1a11L11a2LM1M1L00Man按cn展开anDn1

因此Dn=anDn1a1a2Lan1为递推公式，而D11a1，于是

Dn11Dn=anDn1a1a2Lan1=a1a2Lan

a1a2Lan1an=a1a2LanDn211=LL

a1a2Lan2an1an=a1a2LanD111111L=a1a2Lan1L

anana1a2a1a2

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