高中数学方法讲解之放缩法

放缩法

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。

放缩法的方法有：

⑴添加或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶

log3lg5(利用基本不等式，如：

lg3lg52)lg15lg16lg4； 2n(n1)n(n1)

2⑷利用常用结论：

Ⅰ、k1kⅡ、

度大）

Ⅲ、

小）

例1.若a, b, c, dR+，求证：

1abcd2

abdbcacdbdacabcd【巧证】：记m =

abdbcacdbdac1k1k12k；

11111111 ； （程k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1111111() ； （程度22kk1(k1)(k1)2k1k1 ∵a, b, c, dR+ ∴mabcd1abcdabcacdabdabc1 / 4

mabcd2 ababcddc ∴1 < m < 2 即原式成立

例2.当 n > 2 时，求证：logn(n1)logn(n1)1 【巧证】：∵n > 2 ∴logn(n1)0,logn(n1)0 ∴

logn(n21)logn(n1)logn(n1)logn(n1)logn(n1) 22lognn2 1 2222 ∴n > 2时, logn(n1)logn(n1)1 例3.求证： 【巧证】：∴

11112 122232n21111 2n(n1)n1nn11111111111122 2222223n1nn123n十二、放缩法:

巧练一：设x > 0, y > 0,axyxy, b，求证：

1xy1x1ya < b

巧练一：【巧证】：

xyxyxy

1xy1xy1xy1x1y巧练二：求证：lg9•lg11 < 1

lg9lg11lg992 巧练二：【巧证】：lg9lg111

222222巧练三：logn(n1)logn(n1)1

巧练三：【

2巧

2证】：

logn(n21)lognn2logn(n1)logn(n1)1 221140 巧练四：若a > b > c, 则

abbcca巧练四： 【巧

2证】：

11122abbc(ab)(bc)24 (ab)(bc)ac111121(nR,n2) 巧练五：nn1n2n11111n2n巧练五：【巧证】：左边22221

nnnnnn1111 n1n22n11n1 巧练六：【巧证】： n中式2nn1巧练六：12巧练七：已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn <

cn (n≥3, nR*)

ab巧练七：【巧证】： ∵1，又

ccaabb, ccccab ∴1

cc放缩法是不等式的证明里的一种方法，其他还有比较法，综合法，分析法，反证法，代换法等。

所谓放缩法，要证明不等式A（1）舍掉（或加进）一些项。

（2）在分式中放大或缩小分子或分母。 （3）应用基本不等式放缩。

（4）应用函数的单调性进行放缩。 （5）根据题目条件进行放缩。

nnn2n222a, b, c > 0, ∴

放缩法的理论依据主要有： （1）不等式的传递性；

（2）等量加不等量为不等量；

（3）同分子（母）异分母（子）的两个分式大小的比较。

放缩法是贯穿证明不等式始终的指导变形方向的一种思考方法 。 注意：（1）放缩的方向要一致。 （2）放与缩要适度

（3）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。所以对放缩法，只需要了解，不宜深入。

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