第22题类比探究

如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连接DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.

(1)观察猜想

图1中,线段PM与PN的数量关系是_____,位置关系是_____; (2)探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN，BD，CE,判断△PMN的形状,并说明理由; (3)拓展延伸

把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.

1

2、（2016河南，10分） （1）问题

如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=b，AB=a．

填空：当点A位于 时，线段AC的长取得最大值，且最大值为 （用含a，b的式子表示） （2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE． ①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

2

3、（2015河南，10分）

如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．

（1）问题发现 ①当α=0°时，（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，明．

（3）问题解决

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

3

= ；②当α=180°时， = ．

的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证

4、（2014河南，10分） （1）问题发现

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：

①∠AEB的度数为 ；

②线段AD、BE之间的数量关系为 ． （2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段AM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题

如图3，在正方形ABCD中，CD=写出点A到BP的距离．

，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接

4

5、（2015河南B卷，10分） （1）探索发现

如图1，在△ABC中，点D在边BC上，△ABD与△ADC面积分别记为S1和S2，试

判断与的数量关系，并说明理由.

（2）阅读分析

小东遇到这样一个问题：如图2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，射线AM交BC于点D，点E，F在AM上，且∠CEM=∠BFM=90°，试判断BF，CE，EF三条线段之间的数量关系.

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决. 填空：①图2中的一对全等三角形为 ； ②BF，CE，EF三条线段之间的数量关系为 . （3）类比探究

如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点O，点E、F在射线AC上，且∠BCF=∠DEF=∠BAD.

①判断BC，DE，CE三条线段之间的数量关系，并说明理由； ②若OD=3OB，△AED的面积为2，直接写出四边形ABCD的面积.

5

6、问题发现：

如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC，BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”） （2）拓展探究：

若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：

如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由。

6

7、（2017省实验，三模，10分）

已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF，设CE＝a，CF＝b． （1）如图1，当a＝

时，求b的值；

（2）当a＝4时，在图2中画出相应的图形并求出b的值；

（3）如图3，请直接写出∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式．

7

8、(2017郑州外国语三模，10分)

观察发现：如图1，点D是等边△ABC边BA上一动点(点D与点A、B不重合)，连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF.我们通过观察发现线段BD与AF的数量关系是____(直接写出结论)；

(2)类比猜想：如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，(1)中发现的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)拓展延伸：如图3，点D是以BC为底边的等腰直角△ABC边BA上一动点(点D与点A、B不重合)，连接DC，以DC为底边在BC上方作等腰直角△DCF，连接AF.求AF/BD的值.

8

9、（2017八中三模，10分）

问题背景：如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系。小吴同学探究此问题的思路是：将

绕点逆时针

旋转90°到△AED处，点B、C分别落在点A、E处（如图2），易证点C、A、E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以论：AC+BC=简单应用：

（1）在图1中，若AC=

，

，则CD=_____ 。

CD。

，从而得出结

（2）如图3，AB是求CD的长。

的直径，点C、D在

上，

，若AB=13，BC=12，

9

拓展延伸：

（3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m﹤n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）。

（4）如图5，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是_____ 。

10

，

10、（1）【问题发现】

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90º，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为 . （2）【拓展探究】

在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，请判断线段BE与AF的数量关系，并就图2的情形说明理由. （3）【问题解决】

当AB=AC=2，且第（2）中的正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，请直接写出线段AF的长.

11

11、

基本模型

如下图，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C=90°，则△ABP∽△PCD成立，

（1）模型拓展

如图1，点B、P、C在同一直线上，若∠B=∠1=∠C，则△ABP∽△PCD成立吗？为什么？

（一）模型应用 ①如图一，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=2，BC=4，在BC上截取BP=AD，作∠APQ=∠B，PQ交CD于点Q，求CQ的长；

②如图3，正方形ABCD的边长为1，点P是线段BC上的动点，作∠APQ=90°，PQ交CD于Q，当P在何处时，线段CQ最长？最长是多少？

12

12、 问题解决：

如图(1),将正方形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN.当CE/CD=1/2时,求AM/BN的值。 类比归纳：

在图(1)中,若CE/CD=1/3,则AM/BN的值等于___;若CE/CD=1/4,则AM/BN的值等于___;若CE/CD=1/n(n为整数),则AM/BN的值等于___.(用含n的式子表示) 联系拓广：

如图(2),将矩形纸片ABCD折叠,使点B落在CD边上一点E(不与点C,D重合),压平后得到折痕MN,设AB/BC=1/m(m>1),CE/CD=1/n,则AM/BN的值等于___.(用含m,n的式子表示)

13

13、阅读发现：(1)如图①,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠

DBE=90∘,AB=BC=3,BD=BE=1,连结CD,AE.易证：△BCD≌△BAE.(不需要证明) 提出问题：(2)在(1)的条件下,当BD∥AE时，延长CD交AE于点F，如图②，求

AF的长。

解决问题：(3)如图③,在Rt△ABC和Rt△DBE中,∠ABC=∠DBE=90∘,∠BAC=∠

DEB=30∘,连结CD,AE.当∠BAE=45°时，点E到AB的距离EF的长为2，求线段CD的长为___.

14

14、问题情境：

在Rt△ABC中,AB=BC,∠B=90∘，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边

AC上，将三角板绕点O旋转。 (1)操作发现： 当点O为AC中点时：

①如图1,三角板的两直角边分别交AB,BC于E. F两点,连接EF,猜想线段AE、

CF与EF之间存在的等量关系：___(无需证明)；

②如图2，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E. F两点，连接EF，判断①中的结论是否成立。若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2)类比延伸：

当点O不是AC中点时,如图3,三角板的两直角边分别交AB,BC于E. F两点,若AO/AC=1/5,请直接写出OE/OF=___.

15

15、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α

(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证：△ABD≌△ACF； (2)如图2,在(1)的条件下,若α=45∘,求证：DE2=BD2+CE2；

(3)如图3,若α=45∘,点E在BC的延长线上,请直接写出DE2,BD2,CE2三者之间的等量关系。

16

16、在△ABC中,∠ACB=90∘经过点B的直线l(l不与直线AB重合)与直线BC的夹角等于∠ABC，分别过点C. A做直线l的垂线，垂足分别为点D. E. (1)问题发现

①若∠ABC=30∘,如图①,则CD/AE=___； ②∠ABC=45∘,如图②,则CD/AE=___； (2)拓展探究

当0∘<∠ABC<90∘,CD/AE的值有无变化?请仅就图③的情形给出证明。 (3)问题解决

若直线CE、AB交于点F,CF/EF=5/6，CD=4，请直接写出线段BD的长。

17

17、在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG，CG，如图1，易证EG=CG且EG⊥CG．

（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．

（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．

ADGEFBC图1

ADGFEBC图2 ADGBCFE图3

18

18、在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在射线CB上，且CE=DE． （1）特殊情况，探索结论

如图1，当点E是AB中点时，确定线段AE与BD的大小关系，请你直接写出结论：AE_______BD（填“>”，“<”或“=”）．

（2）特例启发，问题探究

如图2，当点E是线段AB上除端点和中点外的任一点时，此时，（1）中的

结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）拓展延伸

如图3，当点E在BA的延长线上时，点D在BC边上，且CE=DE，（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

E

AA

A EE BCDC 图1BCBD图2 图3

19

D19、如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE，FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系．（直接写出结果，不需说明理由）

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，连接FE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，连接CE，FE，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

AEDFCBCBDEFAAEDFCB

图1 图2 图3

20

20、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．

①如图2，当点D在线段BC上时（不与点B重合），线段CF，BD之间的位置关系为_______，数量关系为_______．

②如图3，当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．

（2）如图4，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C，F重合除外），请直接写出结论． （3）若AC42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值． AA FF

CBDCD BE E图2 图1

F F AE A E BCDBDC 图3 21

图4 21、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是___________； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE，BF，BP之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE，BF，BP之间的数量关系． AAADDFDCE图1BC EPB图2C

E图3B22

22、某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程．

（1）操作发现：

在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连接MD和ME，则下列结论正确的是___________（填序号即可）．

1①AF=AG=AB；②MD=ME；③MD⊥ME；④整个图形是轴对称图形．

2（2）数学思考：

在任意三角形ABC中，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连接MD和ME，则MD与ME具有怎样的数量关系和位置关系？请给出证明． （3）类比探究：

在任意三角形ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连接MD，ME和DE，则△MDE是___________三角形．

A

D E ADE FG CBM BCM 图2图1

A

E

MCB

D

图3

23

23、已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．

（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD，BE，AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明． （2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D，E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． （3）当直线l与直线MA不垂直且交点D，E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD，BE，AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系． MNMNlCElBDACEBDA 图1 图2

24

24、已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．设运动的时间为t（s）（0（1）当t为何值时，PQ∥BC？ （2）设△APQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（4）如图2，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？

PBPBAQCAQC图1图2P'

25

25、（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD=60°，猜想AB与BD+CD的数量关系，请直接写出结果； （2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD=45°，猜想AB与BD+CD的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠ABD=∠ACD=β，猜想AB与BD+CD的数量关系（用含β的式子表示）．

ABDC图1

ABDC图2

ABCD图326

26、（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：

AB2=AD•AC．

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．若ABBDAF1，求的值． FCBCDCABBDn，请探究并直接（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B，C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若BCDC写出AFFC的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明． BBDEADCAFC

图1 图2

27

27、如图，在△ABC中，∠B=45°，O为AC上一个动点，过O作∠POQ=135°，且∠POQ与AB交于P，与BC交于Q．

OPABAO1，1，（1）如图1，若则________． BCCOOQOPAB1AO1，，（2）如图2，若求的值，写出求解过程． BC3CO2OQAB1OP3AO（3）如图3，若则=________． ，，COBC2OQ5

A P

O B QC 图1

APOBQC图2APOBQC图328

28、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25 cm，AC=20 cm．点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为5cm/s；同时点M从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为4cm/s．过点M作MN∥AB，交BC于点N．设运动的时间为t s（0（1）用含t的代数式表示线段MN的长．

（2）连接PN，是否存在某一时刻t，使得四边形AMNP为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

（3）连接PM，PN，是否存在某一时刻t，使得点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． AMPC

NB

29

29、已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DB⊥MN于点B,连接CB.

(1)问题发现

如图(1),过点C作CE⊥CB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为________ ,BD、AB、CB之间的数量关系为________

(2)拓展探究

当MN绕点A旋转到如图(2)位置时,BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并给予证明.

(3)解决问题

当MN绕点A旋转到如图(3)位置时(点C、D在直线MN两侧),若此时 ∠BCD=30°,BD=2时,CB=________

30

30、如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． 解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．

①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法） （3）若AC＝

，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF

相交于点P，求线段CP长的最大值．

31