matlab振型分解法

摘要：建筑结构由地震引起的振动反应称为建筑结构的地震反应，它包括地震在结构中引起的内力，变形，位移，速度和加速度。结构地震反应可以通过结构动力学方法求解。本文利用Matlab程序求解结构地震作用引起的结构响应。 关键词：动力特性 振型分解法 matlab 地震响应

Abstract:Architectural structure vibration responses caused by earthquake known as the seismic responses of structures, including internal, deformation , displacement, velocity and acceleration of structure caused by the earthquake. Structural seismic response can be solved by structural dynamics method. Based on Matlab program solve dynamic response of structure caused by seismic responses in this article.

Keywords: dynamic characteristics vibration mode decomposition method matlab seismic response

一．力学模型和运动方程

在进行结构地震反应计算时，为了使问题简化，便于计算，需要把具体的结构体系，在满足工程计算精度要求的条件下，抽象为质点体系。

根据达朗贝尔原理，可以推得单自由度体系的运动微分方程为

m y(t)(t)myk11y(t)(t)cy cykyp（t）my

2yya（t）y可以写成为：

其中，c/2m为单自由度结构体系的阻尼比，率。

2k为单自由度结构体系的自振频mg(t)，这时动力方程可以写成 当外部激励荷载为地震作用时，p（t）=-mug(t)和g(t) 2y2yucyky-muymy根据平衡关系同样可以建立多自由度体系在地震荷载作用下的运动微分方程为

CyKyMlug(t) Mym1C11C12Cm2为多自由度体系的质量矩阵，C=21C22其中M=mNCn1Cn2K11K21自由度体系的阻尼矩阵，K=Kn1C1nC2n为多CnnK12K1nK22K2n为多自由度体系的刚度矩阵， Kn2Knny11y12g(t)为输入到结构的l=为n×1维单位列向量，y=为多自由度体系的唯一向量，uyn1地震速度。采用瑞雷阻尼假定，则阻尼矩阵为C=1M2K，式中，1和2为与结构体系有关的常系数。

二．动力特性的求解

现考虑二自由度体系的情况

m

y2(t)m

y1(t)

运动方程为：

1k11y1k12y2m1y2k21y1k22y2m2y1该方程特解为： 1y2X2sin(t)

得到频率方程为： km2k1211102 k21k22m2

在matlab语言中，其求解过程是相当简单的。可以直接利用matlab数值工具箱中库函数命

yXsin(t)

令eig来实现。

[x,d]=eig(ik,m); %ik和im分别为结构的刚度矩阵和质量矩阵 d=diag(sqrt(d));

for i=1:cn %cn为结构的层数，即质点数 [d1(i),j]=min(d); xgd(:,i)=x(:,j);

d(j)=max(d)+1; end

w=d1； %所求自振频率 x=xgd； %所求结构主振型 三．振型分解法

振型分解法就是利用各振型相互正交的特性，将原来藕联的微分方程组变成为若干相互的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干单自由度体系的问题，在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而求得多自由度体系的地震反应。

本文用matlab来计算一个三层的钢筋混凝土结构，结构的各层特性参数为：第一层到第三层质量m分别为2726kg，2760kg，2300kg，第一层到第三层刚度k分别为2.485e4N/M，1.921e4 N/M，1.522e4 N/M.地震波采用200galcentro波，采用周期为0.02s。

经计算得该结构的自振频率为1=4.1041，2=10.4906，3=14.9514 结构阵型矩阵为 X=

绘制该结构顶层位移，加速度时程曲线要调用plot函数即可。该过程实现如下： >> t=0:dt:ndzh*dt; >> subplot(2,2,1)

>> plot(t,disp(3,:)*1000,'k-') Subplot(2,2,2)

>> plot(t,accel(3,:),'k-')

结构顶层的位移反应和加速度时程曲线如下图

为了说明计算结果的可靠性，现用sap2000做了对比计算。计算得前三阶振型图如下

计算所得的频率差别从下面图可以知道

1614121082012频率阶次3sap2000计算频率matlab计算频率频率值

从图上我们可以看到matlab计算的结果偏大。

Sap2000计算得顶层位移时程曲线和顶层加速度时程曲线，可以看出时程曲线相差不大。

四．小结

对于对称性比较好的框架结构，把结构计算模型假设为层模型，利用matlab中的eig函数，能很方便的计算结构振型。利用matlab编制的振型分解法程序，可以计算结构的动

力响应，通过与sap2000计算比较，动力响应基本吻合。

参考文献：

[1] 徐赵东等matlab语言在建筑抗震工程中的应用，科学出版社。

[2] 北京金土木软件技术有限公司，中国建筑科学研究院，Sap2000中文版使用指南。人民交通出版社，2006.

[3] 陈以新，matlab在结构动力分析中的应用，《福建建筑》.1999.2.

[4] 徐荣桥，结构分析的有限元法与matlab程序设计，人民交通出版社，2001.12.