立体几何大题

PACD,PA1,PD1. 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，

（Ⅰ）求证:PA平面ABCD；

（Ⅱ）求四棱锥PABCD的体积.

（Ⅲ）求直线PB与底面ABCD所成角的大小.

_ P2.

_ A

_ B

_ C

_ D

2．如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA 1的中点。12，点P为DD（1）求证：直线BD1∥平面PAC； （2）求证：平面PAC平面BDD1； （3）求证：直线PB1平面PAC。

1

D1C1B1A1PDCBA3. （1）如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点.求证:AE⊥PD.

(2)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4.求证:平面BDE ⊥平面BEC.

2

4． 如图： PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形,PA=AB=1，AD=3，点F是PB的中点，点

E在边BC上移动.

（1）求三棱锥E-PAD的体积；

（2）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由； （3）证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF.

P F

AB E

D C

5. 如图，三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长2的正三角形，侧棱与底面垂直，且长 为

3，D是AC的中点．

⑴求证：B1C∥平面A1BD的距离. 1BD；⑵求点A到平面A

3

线面垂直的判定定理答案：

1、解：（Ⅰ）因为四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA1,PD222所以PDPAAD，所以PAAD 又PACD，ADCDD

2

所以PA平面ABCD 5分

（Ⅱ）四棱锥PABCD的底面积为SABCD1， 因为PA平面ABCD，所以四棱锥

PABCD的高h为1，所以四棱锥PABCD的体积为VSABCDh. 10分

(III)

13PA平面ABCD，故PBA

为直线PB与底面ABCD所成的角，解得PBA=4514分

0

2、解：（1）设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO//BD1，

PO平面PAC，PO平面PAC，所以直线BD1∥平面PAC（4分）

（2）长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，底面ABCD是正方形，则ACBD 又DD1面ABCD，则DD1AC，DD1BDD

所以AC面BDD1，又AC平面PAC，故平面PAC平面BDD1 ----（9分） （3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5，所以△PB1C是直角三角形。PB1PC，

同理PB1PA，PAPCP所以直线PB1平面PAC。（14分）

3、（1）分析:转化为证明AE⊥平面PAD，进而转化为证明AE⊥AD，AE⊥PA. 证明:∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形.∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC. ...2分 又BC∥AD，∴AE⊥AD..3分

∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE...4分 又PA∩AD=A， ∴AE⊥平面PAD. ..5分 又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD. ....6分 分析:转化为证明线面垂直，即证明平面BEC内的直线BC⊥平面BDE. （2）证明:∵四边形ADEF为正方形，∴ED⊥AD.

又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD∴ED⊥BC. ...................8分

在直角梯形ABCD中，AB=AD=2,CD=4，可得BC=2.在△BCD中，BD=BC=2，CD=4， ∴BC⊥BD....10分 又BD∩ED=D，∴BC⊥平面BDE. ...11分 又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC. .....12分

P4. 解:（1）三棱锥E-PAD的体积

1113VVPADESΔADEPA(ADAB)PA=..4分

3326（2）当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行.

∵在PBC中，E、F分别为BC、PB的中点，

∴EF∥PC ， 又EF平面PAC，而PC平面PAC， ∴EF∥平面PAC. ………8分

4

DAFBEC（3）证明:

PA 平面ABCD,BE平面ABCD,

APA,AB,AP平面PBE,

EBPA，又EBAB,ABEB平面PAB,又AF平面PAB，∴AFBE.

又∵PAAB1,点F是PB的中点,AFPB, 又∵PBBE=B,PB,BE平面PBE,AF平面PBE.

又∵无论点E在边BC的何处，都有PE平面PBE,AFPE. ∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF. ………14分

5.（1）证明：连结DM，∵三棱柱ABCA 1B1C1的侧棱与底面垂直 ∴四边形AA1B1B是矩形， ∴M为A1B的中点． ∵D是AC的中点， ∴MD是三角形AB1C的中位线， ∴MD∥B1C．∵MD平面A1BD，B1C平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD． （2）解法一： 设点A到平面A1BD的距离为h， ∵AA1平面ABC

222B7, BD3,A1D2AD2A1A24 A1B1BA1B1222, ∴△ADBDAB∴A1BD为直角三角形，BDA1为直角， 11∴SA1BD1331SAA3. BDA1D3,由VA1ABDVAA1BD得hABD122SA1BD23222222 A7, 解法二：∵BD3,A1BB1BA1B11DADA1A4222BDA1D,又∵BDAD,AD∴A1DBDA1B,∴

DA1D

∴BD平面A1AD，∵BD面A1BD ∴平面BDA1AD, 1平面A在平面A1AD内过点A作AEA1 1D于E，则AE平面BDA在直角三角形A1AD中，∵ADAA1DA1AE,∴AE

ADAA1133. DA122 5