立体几何试题及答案

【模拟试题】

一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。

其中正确命题的个数是（ ） A. 0 2. 下列四个命题：

B. 1

C. 2

D. 3

①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。 正确的命题有________个

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（ ） A. 12

B. 24

C. 214

D. 414

4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（ ） A. 8cm

B. 12cm

C. 13cm

D. 82cm

5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（ ）

12 A. 2

14B. 4

12C.



14D. 2

6. 已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：

①//lm；②l//m；③l//m；④lm//。 其中正确的两个命题是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③ 7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（ ） A. 63cm

B. 6cm

C. 218

2

D. 312

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1

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8. 设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（ ） A.

6cm3

32cm3B. 3 8cm3C. 3

4cm3D. 3

9. 对于直线m、n和平面、能得出的一个条件是（ ） A. mn，m//，n// C. m//n，n，m

B. mn，m，n D. m//n，m，n

10. 如果直线l、m与平面、、满足：l，l//，m，m，那么必有（ ） A. 和lm

B. //，和m// D. 且

C. m//，且lm

11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面

体的体积与正方体的体积之比为（ ） A. 1：3

B. 1：2

C. 2：3

D. 1：3

12. 向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）

二. 填空题（每小题4分，共16分）

13. 正方体的全面积是a2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。

14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为14cm3，则棱台的高为____________。

15. 正三棱柱的底面边长为a，过它的一条侧棱上相距为b的两点作两个互相平行的截面，在这两个截面间的斜三棱柱的侧面积为____________。

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16. 已知、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同的直线，给出四个论断：

①m⊥n，②，③n，④m。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______________。

三. 解答题（共74分）

17. （12分）正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是棱DA、DC、DD1的中点，试找出过正方体的三个顶点且与平面EFG平行的平面，并证明之。 18. （12分）球内有相距1cm的两个平行截面，截面的面积分别是

5cm2和8cm2，球心不在截面之间，求球的表面积与体积。

19. （12分）一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个正三棱锥的表面积。

3 20. （12分）直角梯形的一个内角为45°，下底长为上底长的2，这个梯形

绕下底所在直线旋转一周所成的旋转体的全面积是（52），求这个旋转体的体积。

21. （12分）有一块扇形铁皮OAB，∠AOB=60°，OA=72cm，要剪下来一个扇形ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面（大底面）。（如图）试求 （1）AD应取多长？ （2）容器的容积。

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22. （14分）如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E、F分别为AB、BC的中点，EFBDG。 （1）求证：平面B1EF平面BDD1B1； （2）求点D1到平面B1EF的距离d； （3）求三棱锥B1EFD1的体积V。

【试题答案】 一. 1. B 7. B 二.

2. B 8. D

3. C 9. C

4. C 10. A

5. A 11. D

6. D 12. B

 13. 2a2 14. 2cm 15. 3ab

16. mn，m，n（或m，n，mn）

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三.

17. 证明：过A、C、D1的平面与平面EFG平行，由E、F、G是棱DA、DC、

DD1的中点可得GE//AD1，GF//CD1，GE平面EFG，GF平面EFG

∴AD1//平面AEG，CD1//平面EFG 又AD1CD1D1 ∴平面EFG//平面ACD1

18. 解：如图，设两平行截面半径分别为r1和r2，且r2r1

22r5，r28 依题意，1r125，r228OA1和OA2都是球的半径ROO1OO2R2r12R2r22R25R28

R25R281解得R29R3S球4R236(cm2)

V球42R36(cm3)3

19. 解：由三视图知正三棱锥的高为2mm

由左视图知正三棱锥的底面三角形的高为23mm

3a232 设底面边长为a，则

a4

∴正三棱柱的表面积

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14232483(mm2)2

20. 解：如图，梯形ABCD，AB//CD，∠A=90°，∠B=45°，绕AB边旋转

SS侧2S底3422一周后形成一圆柱和一圆锥的组合体。

设

CDx，AB3x2

ADABCDx2，BCx22

S全面积S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧

AD22ADCDADBCx2x22xxx4222522x4

52x2(52)，则x2 根据题设4

所以旋转体体积

VAD2CD3AD2(ABCD)

122

312(32)

73 21. 解：如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R、AD=x，则OD72x

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由题意得

⌒60AB2R72180⌒60(72x)CD2r180OD72x3R

R12，r6，x36 AD36cm

2222 （2）又圆台的高h=x(Rr)36(126)635

1Vh(R2Rrr2)3

1635(12212662)3350435(cm) 22. 证明：（1）如图，连结AC

∵正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面呈正方形 ∴AC⊥BD

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又AC⊥D1D ∴AC⊥平面BDD1B1

∵E、F分别为AB、BC的中点 ∴EF//AC

∴EF⊥平面BDD1B ∴平面B1EF平面BDD1B1

解（2）在对角面BDD1B1中，作D1HB1G，垂足为H ∵平面B1EF平面BDD1B1，且平面B1EF平面BDD1B1B1G ∴D1H平面B1EF，且垂足为H ∴D1H为点D1到平面B1EF的距离 在Rt△D1HB1中，D1HD1BsinD1B1H

D1B12A1B12224BB4sinD1B1HsinB1GB1GB117

D1H4416171717

1D1HSB1EF3

（2）

VVB1EFD1VD1B1EF11612173172163



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