黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷真题(word版,含答案解析)

黑龙江省大庆市2021年中考数学试卷

一、单选题（共10题；共20分）

1.在 𝜋 ， 2 ， −3 ， 7 这四个数中，整数是（ ） A. 𝜋 B. 2 C. −3 D. 7 【答案】 C

【考点】有理数及其分类

【解析】【解答】解：A. 𝜋 是无理数，不符合题意； B. 2 是分数，不符合题意； C. −3 是负整数，符合题意； D. 7 是分数，不符合题意； 故答案为：C ．

【分析】根据整数的定义对每个选项一一判断求解即可。

2.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )

41

1

4

1

4

A. B. C. D.

【答案】 A

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形

【解析】【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故答案为：A．

在平面内,把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形重合,那么这个图形【分析】

叫做中心对称图形。 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据中心对称图形和轴对称图形的定义进行求解即可。

3.北京故宫的占地面积约为720 000m2 ， 将720 000用科学记数法表示为( ). A. 72×104 B. 7.2×105 C. 7.2×106 D. 0.72×106 【答案】 B

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将720000用科学记数法表示为7.2×105 ． 故答案为：B．

【分析】科学记数法的应用：把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式，（1≤|a|<10，n为整数）。 4.下列说法正确的是（ ）

A. |𝑥|<𝑥 B. 若 |𝑥−1|+2 取最小值，则 𝑥=0 C. 若 𝑥>1>𝑦>−1 ，则 |𝑥|<|𝑦| D. 若 |𝑥+1|≤0 ，则 𝑥=−1 【答案】 D

【考点】绝对值及有理数的绝对值，绝对值的非负性

【解析】【解答】解：A．当 𝑥=0 时， |𝑥|=𝑥 ，故该项不符合题意； B．∵ |𝑥−1|≥0 ，∴当 𝑥=1 时 |𝑥−1|+2 取最小值，故该项不符合题意； C．∵ 𝑥>1>𝑦>−1 ，∴ |𝑥|>1 ， |𝑦|<1 ，∴ |𝑥|>|𝑦| ，故该项不符合题意； D．∵ |𝑥+1|≤0 且 |𝑥+1|≥0 ，∴ |𝑥+1|=0 ，∴ 𝑥=−1 ，故该项符合题意； 故答案为：D．

【分析】根据绝对值的定义对每个选项一一判断即可。

5.已知 𝑏>𝑎>0 ，则分式 𝑏 与 𝑏+1 的大小关系是（ ） A. 𝑏<𝑏+1 B. 𝑏=𝑏+1 C. 𝑏>𝑏+1 D. 不能确定 【答案】 A

【考点】分式的加减法 【解析】【解答】解： 𝑏−𝑏+1=∵ 𝑏>𝑎>0 ，

∴ 𝑏−𝑏+1=𝑏(𝑏+1)<0 ， ∴ 𝑏<𝑏+1 ， 故答案为：A．

【分析】根据 𝑏>𝑎>0 ， 比较大小即可。

6.已知反比例函数 𝑦= ，当 𝑥<0 时，y随x的增大而减小，那么一次的数 𝑦=−𝑘𝑥+𝑘 的图像经过

𝑥第（ ） A. 一，二，三象限 B. 一，二，四象限 C. 一，三，四象限 D. 二，三，四象限 【答案】 B

【考点】反比例函数的性质，一次函数图象、性质与系数的关系

【解析】【解答】解：∵反比例函数 𝑦=𝑥 ，当 𝑥<0 时，y随x的增大而减小， ∴ 𝑘>0 ，

∴ 𝑦=−𝑘𝑥+𝑘 的图像经过第一，二，四象限，

𝑘

𝑘

𝑎

𝑎+1𝑎

𝑎+1

𝑎−𝑏

𝑎

𝑎+1

𝑎(𝑏+1)−𝑏(𝑎+1)

𝑏(𝑏+1)

𝑎

𝑎+1

𝑎

𝑎+1

𝑎

𝑎+1

𝑎

𝑎+1

=𝑏(𝑏+1) ，

𝑎−𝑏

故答案为：B．

【分析】先求出𝑘>0 ，再判断求解即可。

7.一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能符合题意表示该几何体的主视图的是（ ）

A. B. C. D.

【答案】 B

【考点】简单几何体的三视图，由三视图判断几何体

【解析】【解答】解：由已知条件可知：主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，根据此可画出图形如下：

故答案为：B．

【分析】先求出主视图有3列，每列小正方形的数目分别为4，2，3，再求解即可。

8.如图，F是线段 𝐶𝐷 上除端点外的一点，将 △𝐴𝐷𝐹 绕正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 的顶点A顺时针旋转 90° ，得到 △𝐴𝐵𝐸 ．连接 𝐸𝐹 交 𝐴𝐵 于点H．下列结论正确的是（ ）

A. ∠𝐸𝐴𝐹=120° B. 𝐴𝐸:𝐸𝐹=1:√3 C. 𝐴𝐹2=𝐸𝐻⋅𝐸𝐹 D. 𝐸𝐵:𝐴𝐷=𝐸𝐻:𝐻𝐹

【答案】 D

【考点】正方形的性质，旋转的性质

【解析】【解答】解：根据旋转的性质知：∠EAF=90°，故A选项不符合题意； 根据旋转的性质知：∠EAF=90°，EA=AF ， 则△EAF是等腰直角三角形， ∴EF= √2 AE ， 即AE：EF=1： √2 ，故B选项不符合题意； 若C选项符合题意，则 𝐴𝐹2=𝐴𝐸2=𝐸𝐻•𝐸𝐹 ，即 𝐸𝐻=𝐸𝐴 ， ∵∠AEF=∠HEA=45°， ∴△EAF ~ △EHA ， ∴∠EAH = ∠EFA ， 而∠EFA=45°，∠EAH ≠ 45°， ∴∠EAH ≠ ∠EFA ，

∴假设不成立，故C选项不符合题意； ∵四边形ABCD是正方形，

∴CD∥AB ， 即BH∥CF ， AD=BC ，

∴EB：BC=EH：HF ， 即EB：AD=EH：HF ， 故D选项符合题意； 故答案为：D

【分析】根据旋转的性质和正方形的性质对每个选项一一判断求解即可。

9.小刚家2019年和2020年的家庭支出如下，已知2020年的总支出2019年的总支出增加了2成，则下列说法正确的是（ ）

𝐸𝐴

𝐸𝐹

A. 2020年教育方面的支出是2019年教育方面的支出的1.4倍； B. 2020年衣食方面的支出比2019年衣食方面的支出增加了10%； C. 2020年总支出比2019年总支出增加了2%；

D. 2020年其他方面的支出与2019年娱乐方面的支出相同． 【答案】 A

【考点】扇形统计图

【解析】【解答】解：设2019年总支出为a元，则2020年总支出为1.2a元，

A．2019年教育总支出为0.3a ， 2020年教育总支出为 1.2𝑎×35%=0.42𝑎 ， 0.42𝑎÷0.3𝑎=1.4 ，故该项符合题意；

B．2019年衣食方面总支出为0.3a ， 2020年衣食方面总支出为 1.2𝑎×40%=0.48𝑎 ， (0.48𝑎−0.3𝑎)÷0.3𝑎≈53% ，故该项不符合题意；

C．2020年总支出比2019年总支出增加了20%，故该项不符合题意；

D．2020年其他方面的支出为 1.2𝑎×15%=0.18𝑎 ，2019年娱乐方面的支出为0.15a ， 故该项不符合题意； 故答案为：A．

【分析】根据扇形统计图中的数据对每个选项一一判断求解即可。 10.已知函数 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 ，则下列说法错误的个数是（ ） ①若该函数图像与 𝑥 轴只有一个交点，则 𝑎=1 ②方程 𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1=0 至少有一个整数根

③若 𝑎<𝑥<1 ，则 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 的函数值都是负数 ④不存在实数a，使得 𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1≤0 对任意实数x都成立 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 C

【考点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质，利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：对于①：当a＝0时，函数变为 𝑦=−𝑥+1 ，与x只有一个交点， 当a≠0时， 𝛥=(𝑎+1)2−4𝑎=(𝑎−1)2=0 ，∴ 𝑎=1 ， 故图像与x轴只有一个交点时， 𝑎=1 或 𝑎=0 ，①不符合题意； 对于②：当a＝0时，方程变为 −𝑥+1=0 ，有一个整数根为 𝑥=1 ，

当a≠0时，方程 𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1=0 因式分解得到： (𝑎𝑥−1)(𝑥−1)=0 ，其中有一个根为 𝑥=1 ，故此时方程至少有一个整数根，故②符合题意； 对于③：由已知条件 𝑎<𝑥<1 得到a≠0，且a＞1或a＜0 当a＞1时， 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 开口向上，对称轴为 𝑥=对应的函数值越大， ∵ 𝑎1

1

1

𝑎+12𝑎

=2+2𝑎 ，自变量离对称轴越远，其

11

+12

=+

21

112𝑎

，

∴ 𝑥=𝑎,𝑥=1 离对称轴的距离一样，将 𝑥=1 代入得到 𝑦=0 ，此时函数最大值小于0； 当a＜0时， 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， ∴ 𝑥=2+2𝑎 时，函数取得最大值为 𝑦=∵a＜0， ∴最大值 −

(𝑎−1)24𝑎

1

1

4𝑎−(𝑎+1)2

4𝑎

=

−𝑎2+2𝑎−1

4𝑎

=−

(𝑎−1)24𝑎

，

>0 ，即有一部分实数x，其对应的函数值 𝑦>0 ，故③不符合题意；

对于④：a＝0时，原不等式变形为： −𝑥+1≤0 对任意实数x不一定成立，故a＝0不符合； a≠0时，对于函数 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 ，

当a＞0时开口向上，总有对应的函数值 𝑦>0 ，此时不存在a对 𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1≤0 对任意实数x都成立；

当a＜0时开口向下，此时函数的最大值为 ∵a＜0， ∴最大值 −

(𝑎−1)24𝑎

4𝑎−(𝑎+1)2

4𝑎

=

−𝑎2+2𝑎−1

4𝑎

=−

(𝑎−1)24𝑎

，

>0 ，即有一部分实数x，其对应的函数值 𝑦>0 ，

此时不存在a对 𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1≤0 对任意实数x都成立；故④符合题意； 综上所述，②④符合题意， 故答案为：C．

【分析】根据函数 𝑦=𝑎𝑥2−(𝑎+1)𝑥+1 的性质对每种说法一一判断即可。

二、填空题（共8题；共8分）

11.√(−2)4= ________ 【答案】 4

【考点】二次根式的性质与化简 【解析】【解答】解： √(−2)4

=√2×2×2×2 =√16 =4

故答案是：4．

【分析】利用二次根式的性质化简求值即可。 12.已知 2=3=4≠0 ，则 【答案】 6

【考点】比例的性质 【解析】【解答】解：设 2=

𝑥

𝑦3

5𝑥

𝑦

𝑧

𝑥2+𝑥𝑦𝑦𝑧

= ________

=4=𝑘≠0 ，

𝑧

则 𝑥=2𝑘，𝑦=3𝑘，𝑧=4𝑘 ， 故

𝑥2+𝑥𝑦𝑦𝑧

=

(2𝑘)2+2𝑘×3𝑘

3𝑘×4𝑘5

=

4𝑘2+6𝑘212𝑘2

=

10𝑘212𝑘2

= ，

6

5

故答案为： 6 ．

【分析】先求出𝑥=2𝑘，𝑦=3𝑘，𝑧=4𝑘 ，再化简求值即可。

13.一个圆柱形橡皮泥，底面积是 12𝑐𝑚2 ．高是 5𝑐𝑚 ．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为 5cm 的圆锥，则这个圆锥的底面积是________ 𝑐𝑚2 【答案】 18 【考点】圆锥的计算

【解析】【解答】解：Ｖ圆柱＝ 𝑆ℎ = 12×5=60𝑐𝑚2 ， 这个橡皮泥的一半体积为： 𝑉=2×60=30𝑐𝑚2 ， 把它捏成高为 5𝑐𝑚 的圆锥，则圆锥的高为5cm ，

1

故 3𝑆ℎ=30 ， 即 3𝑆·5=30 ， 解得 𝑆=18 （cm2）， 故填：18．

【分析】先求出 𝑉=2×60=30𝑐𝑚2 ，再求出3𝑆·5=30 ，最后解方程求解即可。

14.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点

1

1

1

1

【答案】 190

【考点】探索数与式的规律，探索图形规律 【解析】【解答】解：2条直线相交有1个交点； 3条直线相交最多有 1+2=3=2×3×2 个交点； 4条直线相交最多有 1+2+3=6=2×4×3 个交点； 5条直线相交最多有 1+2+3+4=10=2×5×4 个交点；

…

20条直线相交最多有 2×20×19=190 ． 故答案为：190．

【分析】结合图形，找出规律，计算求解即可。

15.三个数3， 1−𝑎,1−2𝑎 在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为________ 【答案】 −3<𝑎<−2 【考点】三角形三边关系

【解析】【解答】解：∵3， 1−𝑎,1−2𝑎 在数轴上从左到右依次排列， ∴ 3<1−𝑎<1−2𝑎 ，解得 𝑎<−2 ， ∵这三个数为边长能构成三角形， ∴ 1−𝑎+3>1−2𝑎 ，解得 𝑎>−3 ， 综上所述，a的取值范围为 −3<𝑎<−2 ， 故答案为： −3<𝑎<−2 ．

1

1

11

【分析】先求出3<1−𝑎<1−2𝑎 ，再根据三角形的三边关系计算求解即可。

16.如图，作 ⊙𝑂 的任意一条直经 𝐹𝐶 ，分别以 𝐹､𝐶 为圆心，以 𝐹𝑂 的长为半径作弧，与 ⊙𝑂 相交于点 𝐸､𝐴 和 𝐷､𝐵 ，顺次连接 𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐷,𝐷𝐸,𝐸𝐹,𝐹𝐴 ，得到六边形 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 ，则 ⊙𝑂 的面积与阴影区域的面积的比值为________；

【答案】

2√3𝜋3

【考点】扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：连接 𝑂𝐸 ， 𝑂𝐷 ， 𝑂𝐵 ， 𝑂𝐴 ，

由题可得： 𝐸𝐹=𝑂𝐹=𝑂𝐸=𝐹𝐴=𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝑂𝐵=𝐵𝐶=𝑂𝐶=𝐶𝐷=𝑂𝐷 ∴△𝐸𝐹𝑂,△𝑂𝐹𝐴,△𝑂𝐴𝐵,△𝑂𝐵𝐶,△𝑂𝐶𝐷,△𝑂𝐷𝐸 为边长相等的等边三角形

∴ 可将图中阴影部分的面积转化为 △𝑂𝐷𝐸 和 △𝑂𝐴𝐵 的面积之和，如图所示：

设⊙O的半径与等边三角形的边长为a， ∴ ⊙O的面积为 𝑆=𝜋𝑟2=𝜋𝑎2

∵ 等边 △𝑂𝐸𝐷 与等边 △𝑂𝐴𝐵 的边长为a

∴𝑆=

√3𝑎2△𝑂𝐸𝐷=𝑆△𝑂𝐴𝐵

4 ∴𝑆√3𝑎2阴=𝑆△𝑂𝐸𝐷+𝑆△𝑂𝐴𝐵

=

2 ∴ ⊙O的面积与阴影部分的面积比为 𝑆

𝜋𝑎2

2√3𝜋𝑆=√3𝑎2=

阴2

3

故答案为： 2√3𝜋3

．

【分析】先求出𝐸𝐹=𝑂𝐹=𝑂𝐸=𝐹𝐴=𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝑂𝐵=𝐵𝐶=𝑂𝐶=𝐶𝐷=𝑂𝐷𝑆=𝜋𝑟2=𝜋𝑎2 ， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

再求出⊙O的面积为

，17.某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共________间； 【答案】 18

【考点】一元一次方程的实际应用-配套问题

【解析】【解答】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房 150×0.5𝑥 + 140×0.5 ×解得：x=10， 则：

46−3𝑥2

46-3𝑥

2

46−3𝑥2

间，由题意，得：

=1310，

=8，

所以，这个旅游团住了三人间普通客房10间，住了两人间普通客房8间，共18间． 故答案为：18．

【分析】先求出150×0.5𝑥 + 140×0.5 ×

46-3𝑥

2

=1310，再求出x=10，最后求解即可。

𝐴𝐵

𝐵𝐷

18.已知，如图1，若 𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 中 ∠𝐵𝐴𝐶 的内角平分线，通过证明可得 𝐴𝐶=𝐶𝐷 ，同理，若 𝐴𝐸 是 △𝐴𝐵𝐶 中 ∠𝐵𝐴𝐶 的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在 △𝐴𝐵𝐶 中， 𝐵𝐷=2,𝐶𝐷=3,𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的内角平分线，则 △𝐴𝐵𝐶 的 𝐵𝐶 边上的中线长 𝑙 的取值范围是________

【答案】 2<𝑙<2

【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：如图，反向延长中线 𝐴𝐸 至F，使得 𝐴𝐸=𝐸𝐹 ，连接 𝐶𝐹 ，

15

∵𝐵𝐷=2,𝐶𝐷=3,𝐴𝐷 是 △𝐴𝐵𝐶 的内角平分线，

∴𝐴𝐵2

𝐴𝐶=3𝐷𝐸=𝐸𝐶∵{∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶𝐸𝐹

𝐴𝐸=𝐸𝐹∴△𝐴𝐵𝐸≅△𝐹𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆)

∴𝐴𝐵=𝐶𝐹

由三角形三边关系可知，

𝐴𝐶−𝐶𝐹<𝐴𝐹<𝐴𝐶+𝐶𝐹

∴1<𝐴𝐹<5 ∴

故答案为： 2<𝑙<2 ．

【分析】先求出△𝐴𝐵𝐸≅△𝐹𝐸𝐶(𝑆𝐴𝑆) ， 再求出𝐴𝐶−𝐶𝐹<𝐴𝐹<𝐴𝐶+𝐶𝐹 ， 最后求取值范围即可。

1

5

15<𝐴𝐸< 22三、解答题（共10题；共93分）

19.计算 |√2−2|+2sin45°−(−1)2 【答案】 解： |√2−2|+2sin45°−(−1)2 =2−√2+2×=1

故答案是： 1 ． 【考点】实数的运算

【解析】【分析】利用绝对值，特殊角的锐角三角函数和有理数的乘方计算求解即可。 20.先因式分解，再计算求值： 2𝑥3−8𝑥 ，其中 𝑥=3 ． 【答案】 解： 2𝑥3−8𝑥=2𝑥(𝑥2−4)=2𝑥(𝑥+2)(𝑥−2) ， 当 𝑥=3 时，原式 =2×3×5×1=30 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【分析】先求出 2𝑥3−8𝑥=2𝑥(𝑥2−4)=2𝑥(𝑥+2)(𝑥−2) ， 再将x=3代入计算求解即可。

√22

−1

21.解方程: +=4

2𝑥−33−2𝑥

【答案】 解：方程变为： 2𝑥−3 ﹣ 2𝑥−3 =4， 方程两边乘以2x﹣3得：x﹣5=4（2x﹣3）， 解得：x=1，

检验：把x=1代入2x﹣3≠0， ∴x=1是原方程的解． 即原方程的解是x=1． 【考点】解分式方程

【解析】【分析】先去分母化成整式方程，求出其解，然后再检验方程的根.

22.小明在A点测得C点在A点的北偏西 75° 方向，并由A点向南偏西 45° 方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西 45° 方向，继续向正西方向行走 2km 后到达D点，测得C点在D点的北偏东 22.5° 方向，求 𝐴,𝐶 两点之间的距离．（结果保留 0.1km ，参数数据 √3≈1.732 ）

𝑥

5

𝑥5

【答案】 解：如下图所示，

由题意可知：∠EAC=75°，∠FAB=∠NBA=45°，∠CBN=45°，DB=2km，∠MDC=22.5°， 在△BCD中，∠CDB=90°-∠MDC=90°-22.5°=67.5°， ∠CBD=90°-∠CBN=90°-45°=45°，

∠DCB=180°-∠CDB-∠CBD=180°-67.5°-45°=67.5°， ∴∠DCB=∠CDB，△CDB为等腰三角形， ∴CB=DB=2，

在△CBA中，∠CBA=∠CBN+∠NBA=45°+45°=90°， ∴△CBA为直角三角形，

又∠CAB=∠CAG+∠GAB=(90°-∠EAC)+∠GAB=(90°-75°)+45°=60°， ∴△CBA为30°，60°，90°直角三角形，

∴ sin∠𝐶𝐴𝐵=sin60∘=𝐶𝐵=√3 ，代入 𝐶𝐵=2 ，

𝐴𝐶

2

∴ 𝐴𝐶=

4√33

≈2.3 (km)，

故 𝐴,𝐶 两点之间的距离为 2.3 km．

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题 【解析】【分析】利用锐角三角函数计算求解即可。

23.如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度 𝑦(cm) 与注水时间 𝑥(min) 之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：

（1）图②中折线 𝐸𝐷𝐶 表示________槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 𝐴𝐵 表示________槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为________ cm ．

（2）注入多长时间，甲､乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程） 【答案】 （1）乙；甲；16

（2）解：设甲槽中水的深度为 𝑦1=𝑘1𝑥+𝑏1 ，把 𝐴(0,14) ， 𝐵(7,0) 代入，可得 𝑏1=14𝑘=−2

，解得 {1 ， {

7𝑘1+𝑏1=0𝑏1=14∴甲槽中水的深度为 𝑦1=−2𝑥+14 ，

根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在DE段，

设乙槽DE段水的深度为 𝑦2=𝑘2𝑥+𝑏2 ，把 𝐸(0,4) ， 𝐷(4,16) 代入，可得 𝑏2=4𝑘=3

，解得 {2 ， {

4𝑘2+𝑏2=16𝑏2=4∴甲槽中水的深度为 𝑦2=3𝑥+4 ，

∴甲､乙两个水槽中水的深度相同时， −2𝑥+14=3𝑥+4 ，解得 𝑥=2 ， 故注入2分钟时，甲､乙两个水槽中水的深度相同．

【考点】待定系数法求一次函数解析式，一次函数的实际应用

【解析】【解答】解：（1）图②中折线 𝐸𝐷𝐶 表示乙槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段 𝐴𝐵 表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系；

铁块的高度为16 cm ．

【分析】（1）根据函数图象计算求解即可；

（2）利用待定系数法求出甲槽中水的深度为 𝑦1=−2𝑥+14 ， 甲槽中水的深度为 𝑦2=3𝑥+4 ， 再求出 −2𝑥+14=3𝑥+4 ， 最后解方程求解即可。

24.如图，在平行四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷 中， 𝐴𝐵=3 ，点E为线段 𝐴𝐵 的三等分点（靠近点A），点F为线段 𝐶𝐷 的三等分点（靠近点C，且 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 ．将 △𝐵𝐶𝐸 沿 𝐶𝐸 对折， 𝐵𝐶 边与 𝐴𝐷 边交于点G，且 𝐷𝐶=𝐷𝐺 ．

（1）证明：四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹 为矩形； （2）求四边形 𝐴𝐸𝐶𝐺 的面积．

【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ， 𝐴𝐵=𝐶𝐷 ，

∵点E为线段 𝐴𝐵 的三等分点（靠近点A），点F为线段 𝐶𝐷 的三等分点（靠近点C）， ∴ 𝐴𝐸=3𝐴𝐵 ， 𝐶𝐹=3𝐶𝐷 ， ∴ 𝐴𝐸=𝐶𝐹 ，

∴四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹 为平行四边形， ∵ 𝐶𝐸⊥𝐴𝐵 ，

∴四边形 𝐴𝐸𝐶𝐹 为矩形；

（2）解：∵ 𝐴𝐵=3 ，点E为线段 𝐴𝐵 的三等分点（靠近点A）， ∴ 𝐴𝐸=1 ， 𝐵𝐸=2 ，

∵将 △𝐵𝐶𝐸 沿 𝐶𝐸 对折， 𝐵𝐶 边与 𝐴𝐷 边交于点G， ∴ 𝐵𝐵′=2𝐵𝐸=4 ， ∠𝐵=∠𝐵′ ， ∵ 𝐷𝐶=𝐷𝐺 ， ∴ ∠𝐷𝐺𝐶=∠𝐷𝐶𝐺 ， ∵ 𝐴𝐵//𝐶𝐷 ，

1

1

∴ ∠𝐵′=∠𝐷𝐶𝐺 ， ∠𝐵′𝐴𝐺=∠𝐷=∠𝐵=∠𝐵′ ， ∴ ∠𝐵′𝐴𝐺=∠𝐵′=∠𝐵′𝐺𝐴 ，

∴ △𝐵′𝐴𝐺 是等边三角形， △𝐵′𝐵𝐶 是等边三角形， 作B'H⊥AG于H，

∴ 𝐵′𝐻=√𝐴𝐵′=√ ， 𝐶𝐸=√𝐵𝐶=2√3 ，

2

2

2

333∴ 𝑆𝐴𝐸𝐶𝐺=𝑆△𝐶𝐸𝐵′−𝑆△𝐺𝐴𝐵′=×2√3×2−×√×1=

2

2

2

1137√3 4

．

【考点】平行四边形的性质，矩形的判定，几何图形的面积计算-割补法

【解析】【分析】（1）先求出 𝐴𝐸=3𝐴𝐵 ， 𝐶𝐹=3𝐶𝐷 ， 再求出 𝐴𝐸=𝐶𝐹 ， 最后证明求解即可；

（2）先求出 𝐴𝐸=1 ， 𝐵𝐸=2 ， 再求出 △𝐵′𝐴𝐺 是等边三角形， △𝐵′𝐵𝐶 是等边三角形， 最后利用三角形的面积公式计算求解即可。

25.某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：

甲：92，95，96，88，92，98，99，100 乙：100，87，92，93，9▆，95，97，98

由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清， （1）求甲成绩的平均数和中位数；

（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；

（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛． 【答案】 （1）解：甲成绩的平均数为：

92+95+96+88+92+98+99+100

8

1

1

=95 ；

甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ， ∴甲成绩的中位数为：

（2）解：设乙成绩模糊不清的分数个位数为a，（a为0-9的整数） 则乙成绩的平均数为：

100+87+92+93+90+𝑎+95+97+98

8

95+962

=95.5 ；

=

752+𝑎8

，

当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 解得 𝑎<8 ，

752+𝑎8

<95 ，

∴a的值可以为 0~7 这8个整数

∴P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) =10=5 ；

（3）解：当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时， 此时乙的平均数也为95，

2

∴甲的方差为： 𝑠甲=8[(92−95)2+(95−95)2+(96−95)2+(88−95)2+(92−95)2+(98−

1

752+𝑎8

8

4

=95 ，解得 𝑎=8 ，

95)2+(99−95)2+(100−95)2]

=(9+0+1+49+9+9+16+25)=14.75 ；

81

乙的方差为： 𝑠乙=8[(100−95)2+(87−95)2+(92−95)2+(93−95)2+(98−95)2+(95−95)2+(97−95)2+(98−95)2] =8(25++9+4+9+1+4+9)=15.5 ，

22

∵ 𝑠甲<𝑠乙 ，

1

2

1

∴甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛． 【考点】分析数据的集中趋势

【解析】【分析】（1）利用平均数和中位数的定义计算求解即可； （2）先求出

752+𝑎8

<95 ， 再求出 a的值可以为 0~7 这8个整数 ，最后求概率即可；

（3）先求出 𝑎=8 ， 再利用方差公式计算求解即可。

26.如图，一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数 𝑦=𝑥 的图像交于 𝑃,𝐷 两点．以 𝐴𝐷 为边作正方形 𝐴𝐵𝐶𝐷 ，点B落在x轴的负半轴上，已知 △𝐵𝑂𝐷 的面积与 △𝐴𝑂𝐵 的面积之比为 1:4 ．

4

（1）求一次函数 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 的表达式： （2）求点P的坐标及 △𝐶𝑃𝐷 外接圆半径的长．

【答案】 （1）解：过D点作DE∥y轴交x轴于H点，过A点作EF∥x轴交DE于E点，过B作BF∥y轴交EF于F点，如下图所示：

∵ △𝐵𝑂𝐷 与 △𝐴𝑂𝐵 有公共的底边BO，其面积之比为1:4， ∴DH:OA=1:4，

设 𝐷(𝑎,𝑎)(𝑎>0) ，则 𝐷𝐻=𝑎，𝑂𝐴=∵ABCD为正方形，

4

4

16𝑎

，𝑂𝐻=𝐴𝐸=𝑎 ，

∴AB=AD，∠BAD=90°， ∴∠BAF+∠EAD=90°， ∵∠BAF+∠FBA=90°， ∴∠FBA=∠EAD，

在△ABF和△DAE中： {∠𝐹𝐵𝐴∠𝐸𝐴𝐷 ,

=𝐴𝐵=𝐴𝐷

∴△ABF≌△DAE(AAS)， ∴ 𝐵𝐹=𝐴𝐸=𝑂𝐴=𝑎 又 𝑂𝐴=∴

16𝑎

16𝑎

∠𝐹=∠𝐸=90∘

，

=𝑎 ，解得 𝑎=4 (负值舍去)，

3

∴ 𝐴(0,4)，𝐷(4,1) ，代入 𝑦=𝑘𝑥+𝑏 中， 4=0+𝑏𝑘=−

4 ， ∴ { ，解得 {

1=4𝑘+𝑏𝑏=4∴一次函数的表达式为 𝑦=−4𝑥+4 ；

𝑦=−4𝑥+4

， （2）解：联立一次函数与反比例函数解析式： {4

𝑦=

𝑥3

3

整理得到： 3𝑥2−16𝑥+16=0 ， 解得 𝑥1=3 ， 𝑥2=4 ，

∴点P的坐标为 (3,3) ；D点的坐标为（4,1） ∵四边形ABCD为正方形，

∴ 𝐷𝐶=𝐴𝐷=√𝐴𝐸2+𝐷𝐸2=√42+32=5 ， 且 𝑃𝐷2=(3−4)2+(3−1)2=

4

1009

4

4

，

1009

在 𝑅𝑡𝛥𝑃𝐶𝐷 中，由勾股定理： 𝑃𝐶2=𝐷𝐶2+𝑃𝐷2=25+∴ 𝑃𝐶=

5√13 3

=

3259

，

，

又△CPD为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边PC的中点处， ∴△CPD外接圆的半径为 5√13 ．

6

【考点】待定系数法求一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的综合 【解析】【分析】（1）先求出 △ABF≌△DAE(AAS)， 再求出 可；

，最后利用待定系数法计算求解即

（2）先求出 3𝑥2−16𝑥+16=0 ， 再求出 点P的坐标为 (3,3) ；D点的坐标为（4,1） ，最后利用勾股定理计算求解即可。

27.如图，已知 𝐴𝐵 是 ⊙𝑂 的直径． 𝐵𝐶 是 ⊙𝑂 的弦，弦 𝐸𝐷 垂直 𝐴𝐵 于点F，交 𝐵𝐶 于点G．过点C作 ⊙𝑂 的切线交 𝐸𝐷 的延长线于点P

4

（1）求证： 𝑃𝐶=𝑃𝐺 ；

（2）判断 𝑃𝐺2=𝑃𝐷⋅𝑃𝐸 是否成立？若成立，请证明该结论；

5（3）若G为 𝐵𝐶 中点， 𝑂𝐺=√5 ， sin𝐵=√ ，求 𝐷𝐸 的长．

5

【答案】 （1）证明：如图：连接 𝑂𝐶

∴ △𝐵𝑂𝐶 为等腰三角形 ∴∠𝐵=∠𝑂𝐶𝐵

∵𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 ， 𝑃𝐶 切⊙O于点 𝐶 ∴ ∠𝑂𝐶𝑃=∠𝐵𝐹𝐺=90°

∴∠𝑂𝐶𝐵+∠𝑃𝐶𝐺=90°,∠𝐵+∠𝐵𝐺𝐹=90° ∴ ∠𝐵𝐺𝐹=∠𝑃𝐶𝐺 ∵∠𝐵𝐺𝐹=∠𝑃𝐺𝐶 ∴∠𝑃𝐺𝐶=∠𝑃𝐶𝐺 ∴𝑃𝐶=𝑃𝐺

（2）解：结论成立；理由如下；

如图：连接EC，CD， CO 并延长 CO 交⊙O于点H，连接 𝐷𝐻

∴𝐶𝐻 为⊙O的直径 ∴∠𝐻𝐷𝐶=90° ∵ 𝑃𝐶 切⊙O于点 𝐶 ∴∠𝐻𝐶𝑃=90°

∴∠𝐻+∠𝐻𝐶𝐷=90°,∠𝑃𝐶𝐷+∠𝐻𝐶𝐷=90° ∴∠𝐻=∠𝑃𝐶𝐷 ∵∠𝐻=∠𝐸 ∴∠𝐸=∠𝑃𝐶𝐷 ∴△𝑃𝐶𝐷∽△𝑃𝐸𝐶 ∴

𝑃𝐶𝑃𝐸

=

𝑃𝐷𝑃𝐶

∵𝑃𝐶=𝑃𝐺 ∴𝑃𝐺2=𝑃𝐷·𝑃𝐸

（3）解：如图：连接OD，OG，

∵𝐺 为 𝐵𝐶 中点 ∴𝑂𝐺⊥𝐵𝐶 ∴∠𝐵𝐺𝑂=90° ∵𝑂𝐺=√5,sin𝐵=

𝑂𝐺

√5√5 5

∴sin𝐵=𝑂𝐵=𝑂𝐵=∴𝑂𝐵=5 ∴𝑂𝐵=𝑂𝐷=5

√5 5

∵𝐸𝐷⊥𝐴𝐵 与点F ∴𝐸𝐷=2𝐹𝐷

∴∠𝑂𝐹𝐺=90° ∴∠𝐵𝑂𝐺+∠𝐹𝐺𝑂=90°,∠𝐵+∠𝐵𝑂𝐺=90° ∴∠𝐵=∠𝐹𝐺𝑂 ∴sin∠𝐹𝐺𝑂=∴𝑂𝐹=1

∴ 在 𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐷 中有 𝑂𝐷2=𝑂𝐹2+𝐹𝐷2 ∴52=12+𝐹𝐷2 ∴𝐹𝐷=2√6 ∴𝐷𝐸=4√6

【考点】圆的综合题，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先求出∠B=∠OCB，再求出∠PGC=∠PCG，最后求解即可； （2）先求出∠H=∠PCD，再证明三角形相似，最后证明求解即可；

（3）先求出∠BGO=90°，再求出OB=5，最后利用锐角三角函数和勾股定理计算求解即可。

28.如图，抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 与 𝑥 轴交于除原点 𝑂 和点 𝐴 ，且其顶点 𝐵 关于 𝑥 轴的对称点坐标为 (2,1) ．

√55

=𝑂𝐺=

𝑂𝐹𝑂𝐹√5

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 𝑦=−2 的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 交于 𝑀,𝑁 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， 𝑀𝐹+𝑁𝐹 是定值，并求出该定值；

（3）点 𝐶(3,𝑚) 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 𝑃,𝑄 ，使四边形 𝑃𝑄𝐵𝐶 周长最小，直接写出 𝑃,𝑄 的坐标．

【答案】 （1）解： ∵ 点B关于x轴对称点的坐标为 (2,1) ∴ 点B的坐标为 (2,−1)

设抛物线的解析式为 𝑦=𝑎(𝑥−2)2−1 ∵ 抛物点过原点

1

1

∴0=𝑎(0−2)2−1 解得 𝑎=4

∴ 抛物线解析式为： 𝑦=4(𝑥−2)2−1 即 𝑦=4𝑥2−𝑥

（2）解： ① 设点F坐标为 (2,𝑏) ，点G坐标为 (𝑎,4𝑎2−𝑎) 由题意可得： √(𝑎−2)2+(𝑎2−𝑎−𝑏)2=𝑎2−𝑎+2

44整理得： 𝑏(∴𝑏=0

∴ 点F的坐标为 (2,0)

𝑎22

1

1

1

1

1

1

−2𝑎−𝑏)=0

② 设直线l的解析式为 𝑦=𝑘(𝑥−2) ，直线 𝑙 与抛物线交于点 𝑀,𝑁

{

𝑦=𝑘(𝑥−2)∴ 𝑦=4(

1𝑦+2𝑘2

)𝑘

𝑦=4𝑥2−𝑥

1

−

𝑦+2𝑘𝑘

整理得： 𝑦2−4𝑘2𝑦−4𝑘2=0 ∴ 𝑦𝑀+𝑦𝑁=4𝑘2,𝑦𝑀·𝑦𝑁=−4𝑘2 由 ① 得 𝑀𝐹=𝑦𝑀+2,𝑁𝐹=𝑦𝑁+2 ∴

1𝑀𝐹

1𝑁𝐹

1𝑦𝑀+2

1

1

+=

1

+

𝑦𝑁+2

𝑦𝑀+𝑦𝑁+4

整理得： 𝑀𝐹+𝑁𝐹=𝑦 ∴

1𝑀𝐹

1

4𝑘2+4

𝑀𝑦𝑁+2(𝑦𝑀+𝑦𝑁)+4

+𝑁𝐹=4𝑘2+4=1

（3）𝑃(7,0) ， 𝑄(0,−10)

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用 【解析】【解答】解：（3） ∵ 点 𝐶(3,𝑚) 在抛物线 𝑦=4𝑥2−𝑥 上，

∴ 𝑚=4×9−3=−4 ∴ 𝐶(3,−4)

如图：作点C关于x轴的对称点 𝐶′ ，点B关于y轴的对称点 𝐵′

31

3

1

63

则点 𝐶′(3,4) ，点 𝐵′ (−2,−1) ，连接 𝐵′𝐶′ ，交x轴于点P，交y轴于点Q，则此时四边形PQBC周长最小

设直线 𝐵′𝐶′ 的解析式为 𝑦=𝑘𝑥+𝑏

−2𝑘+𝑏=−1

3 {

3𝑘+𝑏=

4𝑏=−

10

解得 {7

𝑘=20

∴ 直线 𝐵′𝐶′ 的解析式为 𝑦=20𝑥−10 ∴ 点P坐标为 (7,0) ，点Q坐标为 (0,−10)

【分析】（1）先求出 点B的坐标为 (2,−1) ，再求出 （2）①先求出

，最后求函数解析式即可； ，再求出b=0，最后求点的坐标即可；

6

3

7

3

3

3

②先求出

1

，再求出

3

，最后证明求解即可；

7

3

（3）先求出𝑚=4×9−3=−4 ， 再求出直线 𝐵′𝐶′ 的解析式为 𝑦=20𝑥−10 ， 最后求点的坐标即可。