平面向量及其应用综合练习题

一、多选题1．题目文件丢失！

2．下列说法中正确的是（ ）

A．对于向量a,b,c，有abcabc

B．向量e11,2，e25,7能作为所在平面内的一组基底

C．设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件

D．在ABC中，设D是BC边上一点，且满足CD2DB，CDABAC，则

0

3．在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知

cosBb，cosC2acS△ABC33，且b3，则（ ） 4A．cosB1 2B．cosB3 2C．ac3 D．ac32 4．已知在平面直角坐标系中，点P12的一个三等分点10,1，P24,4.当P是线段PP时，点P的坐标为（ ） A．4,2 3B．4,3 3C．2,3

D．,3

835．下列结论正确的是（ ）

A．在ABC中，若AB，则sinAsinB

B．在锐角三角形ABC中，不等式b2c2a20恒成立 C．若sin2Asin2B，则ABC为等腰三角形

D．在ABC中，若b3，A60，三角形面积S33，则三角形外接圆半径为6．在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（ ）

3 3

A．AB2ABAC B．BC2CBAC

C．AC2ABBD D．BD2BABDBCBD

7．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，则a边为（ ） A．8+33 C．8﹣33 B．83161D．83161 D．150°

8．在ABC中，若B30，AB23，AC2，则C的值可以是（ ） A．30°

B．60°

C．120°

9．在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，若a1，b2，A30，则B（ ）

A．30

B．45

C．135

D．150

10．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

ab:ac:bc9:10:11，则下列结论正确的是（ ）

A．sinA:sinB:sinC4:5:6 C．ABC的最大内角是最小内角的2倍

B．ABC是钝角三角形

D．若c6，则ABC外接圆半径为87 711．在△ABC中,若acosAbcosB,则△ABC的形状可能为( ) A．直角三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．等边三角形

12．在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，D为BC的中点，则以下结论正确的是（ ） A．BDADAB C．BABC8

B．AD1(ABAC) 2D．ABACABAC

13．设a、b是两个非零向量，则下列描述正确的有（ ） A．若abab，则存在实数使得aB．若ab，则abab

C．若abab，则a在b方向上的投影向量为a D．若存在实数使得aλb

λb，则abab

14．已知正三角形ABC的边长为2，设AB2a，BCb，则下列结论正确的是（ ） A．ab1

B．ab

C．4abb

D．ab1

15．下列命题中，正确的有（ ）

A．向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上 B．若sintan0且costan0，则角

为第二或第四象限角 2C．函数ycosx1是周期函数，最小正周期是2 2D．ABC中，若tanAtanB1，则ABC为钝角三角形

二、平面向量及其应用选择题

16．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c1，B45，

cosAA．

3，则b等于（ ） 5B．

3 510 7C．

5 7D．

52 1417．若点G是ABC的重心，a,b,c分别是BAC，ABC，ACB的对边，且

aGAbGBA．90°

3cGC0.则BAC等于（ ） 3B．60°

C．45°

D．30°

18．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，满足bcosAacosB，且角B是角A和角C的等差中项，则ABC的形状为（ ） A．不确定 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等边三角形

19．在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若

abc22，则ABC的面积为（ ） sinAcosBsinBA．2

B．4

C．2

D．22 20．在ABC中，D为BC中点，且AE（ ） A．1

B．1ED，若BEABAC，则2133 42 3C． D．21．在ABC中，若CACBCACB0，则ABC为（ ） A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．无法确定

222．已知a2b0，且关于x的方程xaxab0有实根，则a与b的夹角的

取值范围是( ) A．0,

6B．, 3C．2, 33D．, 623．在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状一定是（ ） A．等腰直角三角形 C．等腰三角形

B．直角三角形 D．等腰或直角三角形

OP24．若向量OP1OP2OP31，则1,OP2,OP3，满足条件OP1OP2OP30，

PP12P3的形状是（ ）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等边三角形

D．不能确定

25．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米 B．1500米 C．1200米 D．1000米26．题目

文件丢失！

27．在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若sin2Asin2Bsin2C0，

a2c2b2ac0，c2，则a（ ）

A．3 B．1

C．

1 2D．

3 228．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MPA．(－8,1) 3C．1,

21MN，则P点的坐标为( ) 23B．1,

2D．(8，－1)

29．在ABC中，BCBAACAC，则ABC的形状一定是（ ） A．等边三角形

B．等腰三角形

C．等腰直角三角形

D．直角三角形

22cacb0，则bc的最大值30．已知平面向量a，b，c满足ab2， 为（ ） A．

5 4B．2 C．

17 4D．4

31．已知ABC中，a1,bA．60°

B．120°

3,A30，则B等于（ ）

C．30°或150°

D．60°或120°

32．如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，

BC3EC，F为AE的中点，则BF＝（ ）

A．

21ABAD 3321ABAD 33B．

12ABAD 3312ABAD 33C．D．33．ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，

3B30，ABC的面积为，那么b等于（ ）

2A．

13 2B．13 C．

23 2D．23

34．在ABC中，若sinB2sinAcosC，那么ABC一定是（ ） A．等腰直角三角形 C．直角三角形

B．等腰三角形 D．等边三角形

35．在ABC中，A60，b1则，SABC3，（ ） A．

a2bc的值等于

sinA2sinBsinC239 3B．263 3C．83 3D．23

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．无 2．BCD 【分析】

．向量数量积不满足结合律进行判断 ．判断两个向量是否共线即可 ．结合向量数量积与夹角关系进行判断 ．根据向量线性运算进行判断 【详解】

解：．向量数量积不满足结合律，故错误， ．， 解析：BCD 【分析】

A．向量数量积不满足结合律进行判断

B．判断两个向量是否共线即可

C．结合向量数量积与夹角关系进行判断

D．根据向量线性运算进行判断 【详解】

解：A．向量数量积不满足结合律，故A错误，

12，向量e1(1,2)，e2(5,7)不共线，能作为所在平面内的一组基底，57B．

故B正确，

C．存在负数，使得mn，则m与n反向共线，夹角为180，此时mn0成立，

当mn0成立时，则m与n夹角满足90180，则m与n不一定反向共线，即“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件成立，故C正确，

222D．由CDCB得CDABAC，

3332222则，，则0，故D正确

3333故正确的是BCD， 故选：BCD． 【点睛】

本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．

3．AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简，结合，可求，结合范围，可求，进而根据三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】 ∵，

整理可得：， 可得，

∵A为三角形内角，， ∴，故A正确

解析：AD 【分析】

利用正弦定理，两角和的正弦函数公式化简

cosBb，结合sinA0，可求cosC2accosB1，结合范围B0,，可求B，进而根据三角形的面积公式和余弦定理

32可得ac32. 【详解】 ∵

cosBbsinB， cosC2ac2sinAsinC整理可得：sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，

可得sinBcosCsinCcosBsinBCsinA2sinAcosB， ∵A为三角形内角，sinA0， ∴cosB1，故A正确，B错误， 2∵B0,， ∴B3，

∵S△ABC∴

33，且b3， 4331133acsinBacac， 4222422解得ac3，

由余弦定理得9a2c2acac3acac9， 解得ac32，故C错误，D正确. 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查正弦定理，余弦定理以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．AD 【分析】

设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】 设，则，

当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以，

当点P靠近点时，， 则， 解得， 所以， 故选：

解析：AD 【分析】

x,y1,PP24x,4y，然后分点P靠近点P1，靠近点P2两设Px,y，则PP1种情况，利用平面向量的线性运算求解. 【详解】

x,y1,PP24x,4y， 设Px,y，则PP1当点P靠近点P11时，PP1PP2， 21x4x2则，

1y14y24x解得3，

y2所以P4,2， 3当点P靠近点P2时，PP， 12PP2x24x则， y124y8x解得3，

y38P所以,3， 3故选：AD 【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5．AB 【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D． 【详解】

中，，由得，A正确； 锐角三角形中，，∴，B正确； 中，

解析：AB 【分析】

由正弦定理及三角形性质判断A，由余弦定理判断B，由正弦函数性质判断C，由三角形面积公式，余弦定理及正弦定理判断D．

【详解】

ABC中，ABab，由

ab得sinAsinB，A正确； sinAsinBb2c2a2锐角三角形ABC中，cosA0，∴b2c2a20，B正确；

2bcABC中，若sin2Asin2B，则2A2B或2A2B180，即AB或AB90，ABC为等腰三角形或直角三角形，C错； ABC中，若b3，A60，三角形面积S33，11SbcsinA3csin6033，c4，∴a2b2c22bccosA13，

22a13，

∴2Ra1323939，R，D错． sinAsin6033故选：AB． 【点睛】

本题考查正弦定理，余弦定理，正弦函数的性质，三角形面积公式等，考查学生的逻辑推理能力，分析问题解决问题的能力．

6．AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】

对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，,故C错误； 对于D，, ,故D正确. 故选：AD. 【点睛】 本题考查三角形

解析：AD 【分析】

根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】 对于A，ABAC对于B，

ABACcosAABACABACAB，故A正确；

2CBACCBACcosCCBACcosCCBACCBACCB，

2故B错误； 对于C，

ABBDABBDcosABDABBDcosABDABBDBDABBD2,故C错误； 对于D，BABDBABDcosABDBABDBDBCBDBA2BD,

2BCBD故选：AD. 【点睛】

BCBDcosCBDBCBDBD,故D正确.

本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.

7．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：， 即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：b2a2c22accosB即可求解. 【详解】

在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°， 由余弦定理：b2a2c22accosB， 即a216a310，解得a833. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

8．BC

【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以， 又，所以， 所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sinC【详解】

1ABAC23由正弦定理可得，所以sinCABsinB23， sinCsinBAC223，再由C0,150即可得解. 2又B30，所以C0,150， 所以C60或C120. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

9．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sinB的值，由此得出正确选项. 【详解】

1ab2bsinA解：根据正弦定理得： 22， sinBsinAsinBa12由于b故选：BC. 【点睛】

21a，所以B45或B135.

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

10．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为

所以可设：（其中），解得： 所以，所以A正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得a:b:c4:5:6，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为ab:ac:bc9:10:11

ab9x所以可设：ac10x（其中x0），解得：a4x,b5x,c6x

bc11x所以sinA:sinB:sinCa:b:c4:5:6，所以A正确； 由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，

a2b2c2(4x)2(5x)2(6x)21又cosC0 ，所以C角为锐角，所以B错

2ab24x5x8误；

由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，

c2b2a2(6x)2(5x)2(4x)23又cosA，

2cb26x5x4所以cos2A2cosA121，所以cos2AcosC 8由三角形中C角最大且C角为锐角,可得：2A0,，C0,所以2AC，所以C正确；

 2由正弦定理得：2Rc37，又sinC1cos2C sinC8所以

2R87，所以D正确. 37 ，解得：R786故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

11．ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有即或，进而有△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】 根据正弦定理 , 即. , 或. 即或

解析：ABCD 【分析】

应用正弦定理将边化角，由二倍角公式有sin2Asin2B即AB或AB△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形 【详解】

2，进而有

ab sinAsinB acosAbcosB

sinAcosAsinBcosB, 即sin2Asin2B. 2A,2B(0,2),

根据正弦定理

2A2B或2A2B. 即AB或AB2,

△ABC可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形. 故选：ABCD 【点睛】

本题考查了正弦定理的边化角，二倍角公式解三角形判断三角形的形状，注意三角形内角和为180°

12．BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：，故A错；

对于 B选项：因为D为BC的中点，，故B正确； 对于C选项：，故正确； 对于D选项：，而，故

解析：BC 【分析】

根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】

对于A选项：BDADBDDABA，故A错； 对于 B选项：因为D为BC的中点，

111ADAB+BDAB+BCAB+BA+AC(ABAC)，故B正确；

222对于C选项：BABCBABCcosBBABCBDBA248，故正确；

对于D选项：ABAC2AD,ABACCB，而2ADCB，故D不正确. 故选：BC. 【点睛】

本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.

13．AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出和的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当时，则、方向相反且，则存在负实数

解析：AB 【分析】

根据向量模的三角不等式找出abab和abab的等价条件，可判断A、C、D选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B选项的正误.综合可得出结论. 【详解】

当abab时，则a、b方向相反且ab，则存在负实数，使得a选项正确，D选项错误；

λb，A

若abab，则a、b方向相同，a在b方向上的投影向量为a，C选项错误； 若ab，则以a、b为邻边的平行四边形为矩形，且ab和ab是这个矩形的两条对角线长，则abab，B选项正确. 故选：AB. 【点睛】

本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.

14．CD 【分析】

分析知，，与的夹角是，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知，，与的夹角是. 由，故B错误，D正确； 由，所以，故A错误； 由，所以，故C正确. 故选：CD 【点睛】

解析：CD 【分析】

分析知a1，b2，a与b的夹角是120，进而对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】

分析知a1，b2，a与b的夹角是120.

由ab12cos12010，故B错误，D正确；

由4abb4abb由ab22a2abb1243，所以ab3，故A错误；

224140，所以4abb，故C正确.

故选：CD 【点睛】

本题考查正三角形的性质，考查平面向量的数量积公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

15．BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后

利用等分象限法可判断出角的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数的最小正周期，可判断C选项的正误

解析：BCD 【分析】

根据共线向量的定义判断A选项的正误；根据题意判断出角的终边的位置，然后利用等分象限法可判断出角

2的终边的位置，进而判断B选项的正误；利用图象法求出函数

ycosx1的最小正周期，可判断C选项的正误；利用切化弦思想化简不等式2tanAtanB1得出cosAcosBcosC0，进而可判断出选项D的正误.综合可得出结论. 【详解】

对于A选项，向量AB与CD共线，则AB//CD或点A、B、C、D在同一条直线上，A选项错误；

sin0sin2B对于选项，sintan， 0，costansin0，所以cos0cos则角为第四象限角，如下图所示：

则

2为第二或第四象限角，B选项正确；

对于C选项，作出函数ycosx1的图象如下图所示： 2

由图象可知，函数ycosx对于D选项，

1是周期函数，且最小正周期为2，C选项正确； 2tanAtanB1，

1tanAtanB1sinAsinBcosAcosBsinAsinBcosABcosCcosAcosBcosAcosBcosAcosBcosAcosBcosC0，cosAcosBcosC0，

cosAcosB对于任意三角形，必有两个角为锐角，则ABC的三个内角余弦值必有一个为负数， 则ABC为钝角三角形，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】

本题考查三角函数、三角恒等变换与向量相关命题真假的判断，考查共线向量的定义、角的终边位置、三角函数的周期以及三角形形状的判断，考查推理能力，属于中等题.

二、平面向量及其应用选择题

16．C 【分析】

利用同角三角函数基本关系式可得sinA，进而可得cosC(cosAcosBsinAsinB)，再利用正弦定理即可得出． 【详解】 解：

3cosA，A(0,180)．

545sinA1cos2A，

32422． cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB)()525210sinC1cos2C72． 10由正弦定理可得：

1bc， sinBsinC2csinB25b． sinC77210故选：C． 【点睛】

本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17．D 【分析】

由点G是ABC的重心可得GAGBGC0,即GAGBGC,代入

33(ba)GBcaGC0,由GB,GC不共线可aGAbGBcGC0中可得33ba0,即可求得a,b,c的关系,进而利用余弦定理求解即可 得3ca03【详解】

因为点G是ABC的重心,所以GAGBGC0, 所以GAGBGC,

33(ba)GBcaGC0, 代入aGAbGBcGC0可得33ba0, 因为GB,GC不共线,所以3ca03bab2c2a23,所以cosBAC即,故BAC30, 2bc2c3a故选:D 【点睛】

本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角 18．D 【分析】

先根据bcosAacosB得到A,B之间的关系，再根据B是A,C的等差中项计算出B的大小，由此再判断ABC的形状. 【详解】

因为bcosAacosB，所以sinBcosAsinAcosB， 所以sinBA0，所以AB， 又因为2BACB，所以B所以AB故选：D. 【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b是a,c的等差中项，则有2bac；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求. 19．A 【分析】

首先由条件和正弦定理判断ABC是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形

3，

3，所以ABC是等边三角形.

的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知已知

abc2r sinAsinBsinCabc22，所以sinBcosB和sinCsinB， sinAcosBsinB所以B45，C45，所以ABC是等腰直角三角形，

由条件可知ABC外接圆的半径是2，即等腰直角三角形的斜边长为22， 所以SABC12222. 2故选：A 【点睛】

本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 20．B 【分析】

选取向量AB，AC为基底，由向量线性运算，求出BE，即可求得结果. 【详解】

BEAEAB11ADAB，AD(ABAC) ， 3251BEABACABAC，

66521，，.

663故选：B. 【点睛】

本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 21．C 【分析】

利用平面向量的数量积的运算性质可得(CACB )(CACB)CACBb2a20，从而可得答案． 【详解】 解：

在ABC中，(CACB )(CACB)CACBb2a20，

2222ab，

ABC为等腰三角形， 故选：C． 【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查向量的数量积的运算性质，属于中档题．

22．B 【分析】

根据方程有实根得到a4abcos0，利用向量模长关系可求得cos根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】

关于x的方程xaxab0有实根 a4ab0

221，22设a与b的夹角为，则a4abcos0 又a2b0 2b4bcos0 cos又0, 本题正确选项：B 【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果. 23．D 【分析】

首先利用正弦定理求得sin2Asin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果． 【详解】

21 2, 3abc2R， sinAsinBsinC解得：sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，

解：已知：acosAbcosB，利用正弦定理：

所以：2A2B或2A1802B，解得：AB或AB90 所以：ABC的形状一定是等腰或直角三角形 故选：D． 【点评】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题． 24．C 【分析】

根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】

由|OP，可知点O是PP12P3的外心， 1||OP2||OP3|1PP又OP12P3的重心， 1OP2OP30，可知点O是

所以点O既是PP12P3的外心，又是PP12P3的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C

【点睛】

本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 25．D 【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC． 【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15， 在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15， 在RtBSD中，

BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米， BCBDCD1000米，

故选：D． 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．

26．无

27．B 【分析】

先根据正弦定理化边得C为直角，再根据余弦定理得角B，最后根据直角三角形解得a. 【详解】

因为sin2Asin2Bsin2C0，所以a2b2c20, C为直角，

a2c2b21因为acbac0，所以cosB,B,

2ac23222因此accos【点睛】

31选B.

解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.

28．B 【分析】

由向量相等的坐标表示，列方程组求解即可. 【详解】

解：设P(x，y)，则MP＝ (x－3，y＋2)，而

111MN＝(－8,1)＝4,，

222x34x13P1,所以，解得，即13，

2y2y22故选B. 【点睛】

本题考查了平面向量的坐标运算，属基础题. 29．D 【分析】

先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】

因为BCBAACBCBABCBABCBAAC，所以

222a2c2b2，即ABC是直角三角形，选D.

【点睛】

判断三角形形状的方法

①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABCπ这个结论．

30．C 【分析】

不妨设b(2,0)，a(2cos,2sin)，[0,2]，c(x,y)，则求cb的最大值，即求x的最大值，然后将问题转化为关于y的方程

y2ysinx2x(cos2)2cos0有解的问题，最后求出x的最值即可. 【详解】

根据题意，不妨设b(2,0)，a(2cos,2sin)，[0,2]，c(x,y)， 则bc2x，所以求bc的最大值，即求x的最大值，

2cacb0可得2cac2bcab0， 由 2即y2ysinx2x(cos2)2cos0，

因为关于y的方程有解，所以sin4x4x(cos2)8cos0，

2222令tcos(1t1)，则4x4x(t2)t8t10，

所以

t254tt254t， x22t254t(m2)217令54tm(1m3)，则， 28t254t(m2)21717当m2时，，

288所以x1717，所以bc， 84所以bc的最大值为故选：C. 【点睛】

17， 4思路点睛：该题考查了平面向量的数量积的问题，解题思路如下： （1）先根据题意，设出向量的坐标； （2）根据向量数量积的运算律，将其展开； （3）利用向量数量积的坐标公式求得等量关系式；

（4）利用方程有解，判别式大于等于零，得到不等关系式，利用换元法求得其最值，在解题的过程中，关键点是注意转化思想的应用，属于难题. 31．D 【分析】

由正弦定理可得，sinB【详解】

由正弦定理可得，sinB3，根据ba，可得B角的大小. 2bsinA3， a2又0B,ba,BA，B60或B120. 故选：D 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基础题目. 32．C 【分析】

根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】

解：BFBAAFBA111AEABADABCE 222111ABADABCB

223AB111ADABCB 246ABAB111ADABCDDAAB 2461111ADABABADAB 2462AB1111ADABABAD 2412621ABAD 33故选：C. 【点睛】

本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 33．B 【分析】

由题意可得2bac，平方后整理得a2c24b22ac，利用三角形面积可求得ac的值，代入余弦定理可求得b的值. 【详解】

解：∵a，b，c成等差数列， ∴2bac，

平方得a2c24b22ac，① 又ABC的面积为由S△ABC3，且B30， 21113acsinBacsin30ac，解得ac6， 2242代入①式可得a2c24b212，

a2c2b2由余弦定理得cosB，

2ac4b212b23b2123， 26122解得b2423， ∴b13. 故选：B. 【点睛】

本题考查等差数列的性质和三角形的面积公式，涉及余弦定理的应用，属于中档题. 34．B 【分析】

利用两角和与差公式化简原式，可得答案．

【详解】

因为sinB2sinAcosC， 所以sin(AC)2sinAcosC

所以sinAcosCcosAsinC2sinAcosC 所以sinAcosCcosAsinC0 所以sin(AC)0, 所以AC0, 所以AC.

所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】

本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题． 35．A 【解析】

分析：先利用三角形的面积公式求得c的值，进而利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在ABC中， 利用三角形的面积公式可得SABC解得c4，

又由余弦定理得abc2bccosA11621422211bcsinA1csin6003， 22113，解得a13， 2a2bca13239由正弦定理得sinA2sinBsinCsinA3，故选A. 32点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.