【专题制作】数线段技巧的妙用

原始题：

A-----B-----C------D

不考虑方向性，如图线段中，共有多少个线段？ 方法是：线段长为1的有AB BC CD 线段长为2的有AC BD 线段长为3的有AD 总计有：3+2+1=6

同理，可以推出，如果线段中有4条成直线的线段，则总共有4+3+2+1=10

先来设定概念：

如果一个直线上有N 条连着的线段，那么这N 条线段叫基本线段 这N 条线段共有N+1个端点，这些端点叫基本端点 可以发现一个规律：

如果条直线上有N 条连着的线段，那么这条直线上共有N+（N-1）+...1条线段 如果条直线上有M 个端点的连着的线段，那么这条直线上共有（M-1）+（M-2）.....+1条线段因为M=N+1

引申举例题：

4个人参加乒乓球比赛，每两个人之间都要进行一场比赛，则总共需要进行多少场比赛？

解法：参考原始题的图形，我们可以把四个人设定为ABCD 那么这个题就演变为数A 到D 之间总共有多少条线段 这时候人数为4，即基本端点数=4，基本线段数=3 所以总共需要3+2+1=6场比赛

扩展题：

几个球队参加比赛，每两个队之间都要进行一场比赛，最后总共比赛了36场，那么有几个球队参加比赛？

解法：根据引申举例题，我们可以知道这个题可以演变为数线段问题 由最终线段数求出基本线段数，进而求出基本端点数 设36=N+N-1+...+1 则N=8

注意：这时求出的8是基本线段数，而我们需要求的是基本端点数 根据基本端点数=基本线段数+1

所以总共有N+1=9个队伍参加了比赛

这个简便方法还可以应用到很多题目中去，希望我的这点方法能抛砖引玉，给大家点帮助！

数算之比较大小专题

核心知识要点提示：

1．作差法：对任意两数a、b，如果a－b﹥0则a﹥b；如果a－b﹤0则a﹤b；如果a－b＝0则a＝b。

2．作比法：当a、b为任意两正数时，如果a/b﹥1则a﹥b；如果a/b﹤1则a﹤b；如果a/b＝1则a＝b。当a、b为任意两负数时，如果a/b﹥1则a﹤b；如果a/b﹤1则a﹥b；如果a/b＝1则a＝b。

3．中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值c，如果a﹥c而c﹥b，则我们说a﹥b。

4171013151、、、、中最大的一个是： 9203730135417101151A． B． C． D． （2005年甲类真题）

9203301351【解析】选用中间值法。取中间值和原式的各个分数进行比较，我们可以发现：

211117111131114101151－＝；－＝；－＝；－＝；－＝－ 918220330123570271424062602111511通过一个各个分数与中间值的比较，我们可得比大，其余分数都比小，

301222151所以，最大，正确答案为D。

301【例1 】 分数

【例2】比较大小：a315,b6

A．ab C．a=b D．无法确定性 （2004年江苏真题）

解析：选用作比法。

33a15153151515＝＝＝＝3＝3＝333b3666666225216﹥1

所以， ab,选择A。

【例3 】 π，3.14，10，10/3四个数的大小顺序是： A．10/3﹥π﹥10﹥3.14 B．10/3﹥π﹥3.14﹥10 C．10/3﹥10﹥π﹥3.14 D．10/3﹥3.14﹥π﹥10

【解析】显然可知10/3﹥π﹥3.14，所以此题的关键是比较10和10/3的大小以及10和π的大小。

首先观察10和10/3是两个正数，可以运用作比法也可以运用作差法，但显然作差法不宜判断，故选用作比法，10/10/3﹤1。

2

对于10和π的大小比较，我们选取中间值3.15，显然3.15﹥π而 （3.15） ＝

9.9225﹤10，所以3.15﹤10，由此可知10﹥π，由此可知10/3﹥10﹥π﹥3.14，故选C。

【例4】比较11111231/22222468与11111233/22222472的大小（ ）。 A.大于 B.小于 C.无法比较 D.等于 【答案】B。

【解析】使用化简法。

方法一：设A=11111231/22222468，B=11111233/22222472， 则2A=11111231/11111234，2B=11111233/11111236，

所以1-2A=3/11111234, 1-2B=3/11111236,即1-2A大于1-2B，所以A小于B，选B。

方法二：设A=11111231/22222468，B=11111233/22222472，a=11111231, 则A=a/（2a+6），B =（a+2）/(2a+10),

A/ B=[a(a+5)] /[(a+2)(a+3)] =(a2+5a) /(a2+5a+6) <1,所以A

数算之比例问题专题

关键提示：

比例问题是公必考题型，也是数算中最重要的题型； 解决好比例问题，关键要从两点入手：第一，“和谁比”；第二，“增加或下降多少”。

【例1 】 b比a增加了20%，则b是a的多少？ a又是b的多少呢？

【解析】可根据方程的思想列式得 a×（1＋20%）＝b，所以b是a的1.2倍。 A/b＝1/1.2＝5/6，所以a 是b的5/6。

【例2】 养鱼塘里养了一批鱼，第一次捕上来200尾，做好标记后放回鱼塘，数日后再捕上100尾，发现有标记的鱼为5尾，问鱼塘里大约有多少尾鱼?

A．200 B．4000 C．5000 D．6000 （2004年B类真题） 解析：方程法：可设鱼塘有X尾鱼，则可列方程，100/5＝X/200，解得X=4000，选择B。

【例3 】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20%，而每台的价格比上一年度下降了20%。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少?

A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元（2003年A类真题） 【解析】方程法：可设2000年时，销售的计算机台数为X，每台的价格为Y，显然由题意可知，2001年的计算机的销售额=X（1+20%）Y（1-20%），也即3000万=0.96XY，显然XY≈3100。答案为C。 特殊方法：对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100。

【例4 】 生产出来的一批衬衫中大号和小号各占一半。其中25%是白色的，75%是蓝色的。如果这批衬衫总共有100件，其中大号白色衬衫有10件，问小号蓝色衬衫有多少件? A．15 B．25 C．35 D．40 （2003年A类真题） 【解析】这是一道涉及容斥关系（本书后面会有专题讲解）的比例问题。 根据已知 大号白=10件，因为大号共50件，所以，大号蓝=40件； 大号蓝=40件，因为蓝色共75件，所以，小号蓝=35件；

此题可以用另一思路进行解析（多进行这样的思维训练，有助于提升解题能力） 大号白=10件，因为白色共25件，所以，小号白=15件； 小号白=15件，因为小号共50件，所以，小号蓝=35件； 所以，答案为C。

【例5】 某企业发奖金是根据利润提成的，利润低于或等于10万元时可提成10%；低于或等于20万元时，高于10万元的部分按7.5%提成；高于20万元时，高于20万元的部分按

5%提成。当利润为40万元时，应发放奖金多少万元?

A．2 B．2.75 C．3 D．4.5 （2003年A类真题） 【解析】这是一个种需要读懂内容的题型。根据要求进行列式即可。 奖金应为 10×10%+（20-10）×7.5%+（40-20）×5%=2.75 所以，答案为B。

【例6】 某校在原有基础（学生700人，教师300人）上扩大规模，现新增加教师75人。为使学生和教师比例低于2：1，问学生人数最多能增加百分之几?

A．7% B．8% C．10.3% D．115% （2003年A类真题） 【解析】根据题意，新增加教师75人，则学生最多可达到（300+75）×2=750人，学生人数增加的比列则为 （750-700）÷700≈7.1% 所以，选择A。

【例7】 某企业去年的销售收入为1000万元，成本分生产成本500万元和广告费200万元两个部分。若年利润必须按P％纳税，年广告费超出年销售收入2％的部分也必须按P%纳税，其它不纳税，且已知该企业去年共纳税120万元，则税率P％为

A．40％ B．25％ C．12％ D．10％ （2004年江苏真题） 【解析】选用方程法。根据题意列式如下：

（1000-500-200）×P％+（200-1000×2%）×P％=120 即 480×P％=120 P％=25%

所以，答案为B。

【例8】 甲、乙两盒共有棋子108颗，先从甲盒中取出 放人乙盒，再从乙盒取出 放回甲盒，这时两盒的棋子数相等，问甲盒原有棋子多少颗? A．40颗 B．48颗

C．52颗 D．60颗 （2004年浙江真题） 『答案』 B

【解析】 此题可用方程法，设甲盒有X颗，乙盒有Y颗，则列方程组如下，参见辅助资料。此题运用直接代入法或逆推法更快捷。

【例 9 】甲乙两名工人8小时共加736个零件，甲加工的速度比乙加工的速度快30%，问乙每小时加工多少个零件?

A．30个 B．35个 C．40个 D．45个 （2002年A类真题） 【解析】选用方程法。设乙每小时加工X个零件，则甲每小时加工1.3X个零件，并可列方程如下：

（1+1.3X）×8=736 X=40

所以，选择C。

【例 10】已知甲的12%为13，乙的13%为14，丙的14%为15，丁的15%为16，则甲、乙、丙、丁4个数中最大的数是：

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 （2001年真题）

【解析】显然甲=13/12%；乙=14/13%；丙=15/14%；丁=16/15%，显然最大与最小就在甲、乙之间，所以比较甲和乙的大小即可，甲/乙=13/12%/16/15%＞1， 所以，甲＞乙＞丙＞丁，选择A。

【例11】某单位召开一次会议，会期10天。后来由于议程增加，会期延长3天，费用超过了预算，仅食宿费一项就超过预算20%，用了6000元。已知食宿费用预算占总预算的25%，那么，总预算费用是：

A．18000元 B．20000元 C．25000元 D．30000元 （2001年真题） 【解析】设总预算为X，则可列议程为， 25%X=6000÷（1+20%），解得X=20000 所以，答案为B。

【例12】 一种收录机，连续两次降价10%后的售价是405元，那么原价是：

A．490元 B．500元 C．520元 D．560元 （2001年真题） 【解析】连续涨（降）价相同幅度的基本公式如下：

a =c a表示涨（降）价前的价格；b表示涨（降）价的百分比；c表示涨（降）价后的价格；n连续涨（降）价的年数。

如果设原价为X，那么由以上公式可列如下方程： X =405，解得X=500

所以，答案为B。此题可以选择代入法快速得到答案。

【例13】某企业1999年产值的20%相当于1998年产值的25%，那么，1999年的产值与1998年相比：

A．降低了5% B．提高了5% C．提高了20% D．提高了25%（2001年真题） 【解析】此题可采用直接作比的方法。设1998年的产值为a，1999年的产值为b，则根据题意事列方程，a25%=b20%，则1999年的产值与1998年的比=b/a=25%/20%=1.25，也即1999年的产值比1998年提高了25%。 所以，答案为D。

【例 14】 某人用4410元买了一台电脑，其价格是原来定价相继折扣了10%和2%后的价格，则电脑原来定价是

A．4950元 B．4990元 C．5000元 D．5010元 （2000年真题） 【解析】采用方程法即可，设电脑原来定价是X，则可列方程为 X×（1-10%）×（1-2%）=4410，解得X=5000。 所以，正确答案为C。

注，此题不能用例11的基本公式，因为降价幅度不同。

【例15】某机关共有干部、职工350人，其中55岁以上共有70人。现拟进行机构改革，总体规模压缩为180人，并规定55岁以上的人裁减比例为70%。请问55岁以下的人裁减比例约是多少?

A．51% B．43% C．40% D．34% （2000年真题） 解析：设55岁以下的人裁减比例为X，则可列方程为： 70×（1-70%）＋（350－70）×（1-X）=180 解得X≈43%

所以，正确答案为B。

【例16】某储户于1999年1月1 日存人银行60000元，年利率为2.00%，存款到期日即2000

年1月1 日将存款全部取出，国家规定凡1999年11月1日后孳生的利息收入应缴纳利息税，税率为20％，则该储户实际提取本金合计为

A．61 200元 B．61 160元 C．61 000元 D．60 040元 【解析】如不考虑利息税，则1999年1月1 日存款到期日即2000年1月1可得利息为60000×2%=1200，也即100元/月，但实际上从1999年11月1日后要收20%利息税，也即只有2个月的利息收入要交税，税额=200×20%=40元

所以，提取总额为60000+1200-40=61160，正确答案为B。1/1.2=5/6。再比如，一件商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，第二次调价时又下降了80%，问现在的价格是调价前的多少？（30%）像这样的反复变化的比例关系并无难点，关键是一定要弄清楚和谁比增加或者下降，现在是多少，以上题为例，商品的价格为a元，第一次调价时上涨了50%，则此时商品的价格为1.5a元，第二次调价时又下降了80%，则此时的价格为1.5a×（1－80%）＝0.3a元。

【例18】 甲、乙、丙三人买书共花费96元钱，已知丙比甲多花16元，乙比甲多花8元，则甲、乙、丙三人花的钱的比是（ ）。（2002年B类真题） A．3：5：4 B．4：5：6 C．2：3：4 D．3：4：5

【解析】我们通常采用方程法，即设甲的花费为X元，则3X+16+8＝96，则X＝24，尽而可算出比例关系为3：4：5即为选项D。这里请注意，我们在进行数算的答题时应尽量避免采用方程法，应将这一方程运算过程用习惯性思维替代，具体思维过程如下，用96－16－8＝72，所得到就应该是3倍甲的花费，由此得到甲的花费是24元。

【例19】 2001年，某公司所销售的计算机台数比上一年度上升了20％，而每台的价格比上一年度下降了20％。如果2001年该公司的计算机销售额为3000万元，那么2000年的计算机销售额大约是多少 ( ) ?

A．2900万元 B．3000万元 C．3100万元 D．3300万元

【解析】对一商品价格而言，如果上涨X后又下降X，求此时的商品价格原价的多少？或者下降X再上涨X，求此时的商品价格原价的多少？只要上涨和下降的百分比相同，我们就可运用简化公式，1－X 。但如果上涨或下降的百分比不相同时则不可运用简化公式，需要一步一步来。对于此题而言，计算机台数比上一年度上升了20％，每台的价格比上一年度下降了20％，因为销售额＝销售台数×每台销售价格，所以根据乘法的交换律我们可以看作是销售额上涨了20%又下降了20%，因而2001年是2000年的1－（20%） ＝0.96，2001年的销售额为3000万，则2000年销售额为3000÷0.96≈3100，所以选择C。

数算之抽屉原理专题

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。

假设有3个苹果放入2个抽屉中，则必然有一个抽屉中有2个苹果，她的一般模型可以表述为：

第一抽屉原理：把（mn+1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至少有（m+1）个物体。

若把3个苹果放入4个抽屉中，则必然有一个抽屉空着，她的一般模型可以表述为：

第二抽屉原理：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

制造抽屉是运用原则的一大关键

例1、一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？ A．12 B．13 C．15 D．16

【解析】根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。

例2、从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？

A．7 B．10 C．9 D．8

【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。

例3、有红、黄、蓝、白珠子各10粒，装在一只袋子里，为了保证摸出的珠子有两粒颜色相同，应至少摸出几粒？（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

【解析】这是一道典型的抽屉原理，只不过比上面举的例子复杂一些，仔细分析其实并不难。解这种题时，要从最坏的情况考虑，所谓的最不利原则，假定摸出的前4粒都不同色，则再摸出的1粒（第5粒）一定可以保证可以和前面中的一粒同色。因此选C。

传统的解抽屉原理的方法是找两个关键词，“保证”和“最少”。

保证：5粒可以保证始终有两粒同色，如少于5粒（比如4粒），我们取红、黄、蓝、白各一个，就不能“保证”，所以“保证”指的是要一定没有意外。 最小：不能取大于5的，如为6，那么5也能“保证”，就为5。

例4、从一副完整的扑克牌中至少抽出( )张牌.才能保证至少 6 张牌的花色相同。

A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 解析：2+5*4+1=23

数算之传球问题专题

例：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式【国2006一类-46】【国2006二类-39】

A.60种 B.65种 C.70种 D.75种

【解一】五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类：

第一类：传球的过程中不经过甲，甲→ → → → →甲，共有方法3×2×2×2=24种

第二类：传球的过程中经过甲，

①甲→ → →甲→ →甲，共有方法3×2×1×3=18种 ②甲→ →甲→ → →甲，共有方法3×1×3×2=18种 根据加法原理：共有不同的传球方式24+18+18=60种

【解二】注意到：N次传球，所有可能的传法总数为3N（每次传球有3种方法），第N次传回甲手中的可能性就是第N－1次不在甲手中的可能性。

球在甲手中的传球方球不在甲手中的传球方法 0 3 6 21 60 法 3 6 21 60 183 第n次传球 传球的方法 1 2 3 4 5 3 9 27 81 243 从表中可知，经过5次传球后，球仍回甲手的方法共有60种，故选A项。

【解三】我们很容易算出来，四个人传五次球一共有35=243种传法，由于一共有4个人，所以平均传给每一个人的传法是243÷4=60.75，最接近的就是60，选择A。

传球问题核心注释

这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。【解一】是最直观、最容易理解的，但耗时耗力并且容易错，稍微变动数字计算量可能陡增；【解二】操作性强，可以解决这种类型的各种问题，但理解起来要求比较高，具体考场之上也比较耗时；【解三】不免投机取巧，但最有效果（根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案），也给了一个启发----

传球问题核心公式

N个人传M次球，记X=(N－1)M/N，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。大家牢记一条公式，可以解决此类至少三人传球的所有问题。

比如说上例之中，X=(4－1)5/4=60.75，最接近的整数是61，第二接近的整数是60，所以传回甲自己的方法数为60种，而传给乙（或者丙、丁）的方法数为61。 题：某人去A、B、C、D、E五个城市旅游，第一天去A城市，第七天到E城市。如果他今天在某个城市，那么他第二天肯定会离开这个城市去另外一个城市。那么他一共有多少种旅程安排的方式？

A.204 B.205 C. 819 D.820

【答案】C

【解析】相当于五个人传六次球，根据“传球问题核心公式”， X=(5－1)6/5=819.2，与之最接近的是819，第二接近的是820。因此若第七天回到A城市则有820种方法，去另外一个城市则有819种方法。

数算之工程问题专题

1．由于工程问题解题中遇到的不是具体数量，与学生的习惯性思维相逆，同学们往往感到很抽象，不易理解。

2．比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多次参与工作的情况，数量关系难以梳理清晰。

3．一些较复杂的分数应用题、流水问题、工资分配、周期问题等，其实质也是工程问题，但同学们易受其表面特征所迷惑，难以清晰分析、理解其本质结构特征是工程问题，从而未按工程问题思路解答，误入歧途。 工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系：工作效率×工作时间=工作总量；工作总量÷工作效率=工作时间；工作总量÷工作时间=工作效率。那我们应该怎样分析工程问题呢？

1．深刻理解、正确分析相关概念。

对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。通常工作总量的具体数值是无关紧要的，一般利用它不变的特点，把它看作单位“1”；工作时间是指完成工作总量所需的时间；工作效率是指单位时间内完成的工作量，即用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示工作效率。

分析工程问题数量关系时，运用画示意图、线段图等方法，正确分析、弄请题目中哪个量是工作总量、工作时间和工作效率。

2．抓住基本数量关系。 解题时，要抓住工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。这是解工程问题的核心数量关系。

3．以工作效率为突破口。

工作效率是解答工程问题的要点，解题时往往要求出一个人一天（或一个小时）的工作量，即工作效率（修路的长度、加工的零件数等）。如果能直接求出工作效率，再解答其他问题就较容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔细分析单独或合作的情况，想方设法求出单独做的工作效率或合作的工作效率。 工程问题中常出现单独做、几人合作或轮流做的情况，分析时要梳理、理顺工作过程，抓住完成工作的几个过程或几种变化，通过对应工作的每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。也常常将问题转化为由甲（或乙）完成全部工程（工作）的情况，使问题得到解决。

要抓住题目中总的工作时间比、工作效率比、工作量比，及抓住隐蔽的条件来确定工作效率，或者确定工作效率之间的关系。

总之，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。

【例1】一件工作，甲单独做12小时完成，乙单独做9小时可以完成。如果按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，完成这件工作需要几小时？

【解析】设这件工作为“1”，则甲、乙的工作效率分别是1/12和1/9。按照甲先乙后的顺序，每人每次1小时轮流进行，甲、乙各工作1小时，完成这件工作的7/36，甲、乙这样轮流进行了5次，即10小时后，完成了工作的35/36，还剩下这件工作的1/36，剩下的工作由甲来完成，还需要1/3小时，因此完成这件工作需要31/3小时。

【例2】一份稿件,甲、乙、丙三人单独打各需20、24、30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时全部完成。那么，甲只打了几小时？

【解析】设打这份稿件的总工作量是“1”，则甲、乙、丙三人的工作效率分别1/20、1/24和1/30。在甲中途撤出前后，其实乙、丙二人始终在打这份稿件，乙、丙12小时打了这份稿件的9/10，还剩下稿件的1/10，这就是甲打的。所以，甲只打了2小时。

【例3】 一件工程，甲、乙合作６天可以完成。现在甲、乙合作２天后，余下的工程由乙独做又用８天正好 做完。这件工程如果由甲单独做，需要几天完成？

［解析］甲、乙合作２天，甲2乙2，剩下应该是甲4乙4=乙8.则甲=乙，所以甲单独完成需要12天。

【例4 】一个游泳池，甲管放满水需6小时，甲、乙两管同时放水，放满需4小时。如果只用乙管放水，则放满需：

A 8小时 B 10小时 C 12小时 D 14小时 （2001年A类真题）

【解析】：设游泳池放满水的工作量为1，甲管放满水需6小时，则甲每小时完成工作量的1/6甲、乙两管同时放水，放满需4小时，则甲乙共同注水，每小时可注游泳池的1/4，则乙每小时注水的量为1/4－1/6＝1/12，则如果只用乙管放水，则放满需12小时。

另法：甲乙同时放水需要4小时=甲4乙4=甲6 则乙=0.5甲，需要12小时。

【例5】 一个水池有两个排水管甲和乙，一个进水管丙.若同时开放甲、丙两管，20小时可将满池水排空；若同时开放乙、丙两水管，30小时可将满池水排空，若单独开丙管，60小时可将空池注满.若同时打开甲、乙、丙三水管，要排空水池中的满池水，需几小时？

【解析】工程问题最好采用方程法。

由题可设甲X小时排空池水，乙Y小时排空池水，则可列方程组 1/X-1/60=1/20 解得X=15 1/Y-1/60=1/30 解得Y=20

则三个水管全部打开，则需要1÷（1/15+1/20-1/60）=10 所以，同时开启甲、乙、丙三水管将满池水排空需10小时。

【例6】 铺设一条自来水管道，甲队单独铺设8天可以完成，而乙队每天可铺设50米。如果甲、乙两队同时铺设，4天可以完成全长的2／3，这条管道全长是多少米?

A 1000米 B 1100米 C 1200米 D 1300米 （2002年B类真题）

【解析】设乙需要X天完成这项工程，依题意可列方程 （1/8+1/X）×4=2/3 解得X=24

也即乙每天可完成总工程的1/24，也即50米，所以管道总长为1200米。 所以，正确答案为C。

另法：甲4天完成1/2，乙4天完成200米=1/6，全长1200米。

【例7】一项工程甲乙丙合作5天完成，现在三人合作2天后，甲调走，乙丙继续合作5天后完工，问甲一人独做需几天完工？

【解析】三人合作2天完成2/5，剩余3/5需要乙丙5天，效率为3/25，则甲的效率为1/5-3/25=2/25，所以甲单独做需要12.5天。

【例8】制作一批零件，甲车间要10天完成；茹果甲车间和乙车间一起做只要6天就能完成，乙车间和丙车间一起做需要8天。现在三个车间一起做，完成后发现甲比乙多做2400个。丙制作零件多少个？

【解析】效率比 甲：乙=3：2，则乙单独需要15天，则乙：丙=8：7，则甲：乙：丙=12：8：7，假设丙做了7X个，则甲比乙多做4X=2400,7X=4200个。

【例9】蓄水池有甲丙两条进水管和乙丁两台排水管。要注满一池水，单开甲管要3小时，单开丙管要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有1/6池水，如果按甲乙丙丁、甲乙丙丁……的顺序轮流各开一小时，问多少时间后，水开始溢出水池？

【解析】甲乙丙丁四条水管各开一个小时以后，也就是一个轮回，水池的水量是： （1/3+1/5）-（1/4+1/6）=7/60；

当N个轮回结束，水池水量超过2/3时候，再单独开甲就要有水溢出。 1/6+N*7/60=2/3 解得N=4.。。2，取N=5

1-1/6-5*7/60=1/4 需要3/4小时。则总时间为4*5+3/4=20又3/4