2018-2019学年天津市滨海新区高一(上)期末数学试卷

副标题

题号

一 二 三 总分 得分 、选择题（本大题共 12小题，共 60.0 分）

1. 已知集合 A={-2 ，-1，0，1}，B={0 ， 1，2} ，则 A∩B=（

）

A. {0， 1} C. {-2 ， -

0，1，2}

=ln （1-x）的定义域是（

B. {0 ，1，-1} D. {-2 ，-1，2}

）

2. 函数 f （ x） 0，A. （

B. [0， 1）

x

C. （ 1， +∞）

D. （ -∞，

）

f 函数3. ）（ x） 0，A. （

x

=e+x-4 的零点所在的大致区间是（ ）

B. （1， 2） C. （ 2， 3）

D. （ 3，4） D. 2

4.

函数 f

（ x）

=x+x 在区间 [-1，1]上的最小值是（

2

）

A. B. 0

x

C.

5. 下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（ ）

A. f（ x） = （ ） C. f（ x） =log x

6. 设 a=3，

0.5

B. f（x） = log x D. f（x） =x

b=log32，c=cos ，则（ ）

A. c）

7. 已知 ， 都为单位向量，且 ， 夹角的余弦值是 ，则| -2 |=（

A.

8.

B. C. D.

函数 y=Asin

在一个周期内的图象如图，此

（ ωx+φ） 数的解析函

A. y=2sin

2x+ ）

B. y=2sin（ 2x+ ）

C. y=2sin

D. y=2sin（ 2x- ）

9. 对于函数 的图象， 关于直线 对称； 关于点 对称； 可看作是把 的图象向左平移 个单位

而得到； 可看作是把 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 倍而得到 以上 叙述正确的个数是

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A. 1 个

3

B. 2 个

）

C. 3 个 D. 4 个

10. 已知函数 f（x）=x，x∈R，若当 时， f（ msin θ）+f（1-m）> 0恒成立，则

实数 m 的取值范围是（

A. （ 0，1） B. （-∞，0） C. （1，+∞） D. （ -∞，1）

）

11. 平行四边形 ABCD 中，AB=4，AD=2， =-4，点 M 满足 =3 ，则 ? =（

A. 1

12. 已知函数 f（x）=

B. -1 C. 4 D. -4

，g（ x）= sinx+cosx+4，若对任意 t∈[-3，

3]，总存在 s∈[0， ]，使得 f（t）+a≤g（s）（a>0）成立，则实数 a 的取值范围为

（（ ）

A. （0，1] B. （0，2] C. [1，2] D. [2，9]

二、填空题（本大题共 8 小题，共 40.0 分）

13. tan225 的°值为 _____ ．

14. 已知幂函数 y=f（ x）的图象过点（ 2， ），则 f（ ） = _________ ．

15. 已知一个扇形的弧长为 πcm，其圆心角为 ，则这扇形的面积为 _________ cm． 16. 若 xlog4=1，则 4+4的值为 _______ ．

3

2

x-x

17. 已知 < α< π，且 cos（ ）=- ，则 cos α的值为 _______ ．

18. 已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（ 0，+∞）上单调递减，若实数 a满

足 f（3 ）> f（-3），则 a的取值范围是 ________ ．

19. 在△ABC中，H为 BC上异于 B，C的任一点， M为 AH的中点，若 ， 则 λ +μ = ．_ 20. 已知函数 f（x）=

，若函数 g（x）= -f（ x）+b在区间 [-2， 6]

内有 3 个零点，则实数 b的取值范围是 _______ ． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分）

21. 已知 0< α< ， sin α=．

（Ⅰ）求 tan α的值； （ Ⅱ）求 cos（ 2

）的值；

（Ⅲ）若 0<β< 且 cos（ α+β） =- ，求 sin β的值．

22. 已知平面直角坐标系中， A（0，4）， B（ 2， 0）， P（3，t） （Ⅰ）若 A， B， P三

点共线，求实数 t 的值 （Ⅱ）若 ⊥ ，求实数 t 的值；

（Ⅲ）若 ∠BAP 是锐角，求实数 t的取值范围．

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23. 已知向量 =（ sin2x+2， cosx）， =（ 1，2cosx），设函数 f（x）= ．

Ⅰ）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； Ⅱ）求函数 f（x）在区间 [0 ， ]的最大值和最小值．

24. 已知 x=1 是函数 g（ x）=ax-2ax+1 的零点， f（x） = ，

2

Ⅰ）求实数 a 的值；

2

Ⅱ）若不等式 f（ ln x）-kln x≥0在 x∈[e，e2]上恒成立，求实数 k的取值范围； Ⅲ）若方程 f（|2x-1|）+k

-3k=0 有三个不同的实数解，求实数 k的取值范围．

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答案和解析

1. 【答案】 A

【解析】

解：集合A={-2，-1，0，1}，B={0，1，2}，则 A∩B={0 ，1}． 故选：A．

直接利用交集的运算法 则化简求解即可． 本题考查交集的求法， 是基 础题．

2. 【答案】 D

【解析】

解：要使f（x）有意义，则 1-x>0； ∴x<1；

∴f （x ）的定义域为（-∞，1）． 故选：D．

可看出，要使得函数 f（x）有意义，则需满足 1-x>0，解出x 的范围即可． 考查函数定义域的定义及求法，以及对数函数的定 义域．

3. 【答案】 B

【解析】

解：∵函数 f（x）=e+x-4 是连续 函数，

x

2

f（1）=e-3<0，f（2）=e-2>0，

2

∴根据零点存在定理，可得函数 f（x）=e+x-4 的零点所在的大致区 间是（1，2） 故选：B．

确定 f（1）<0，f（2）>0，根据零点存在定理，可得 结论． 本题考查零点存在定理，考查学生的 计算能力，属于基础题．

x

4. 【答案】 A

【解析】

解：根据题意，函数 f（x）=x+x=（x+ ）- ， 其对称轴为 x=- ，在区间［-1 ，1］内部，

22

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则当 x=- 时 ，f（x）=x+x 在区间［-1，1］上取得最小 值，其最小值为- ； 故选：A．

根据 题意，分析可得函数 f（x）=x+x=（x+ ）- ，结合二次函数的性 质可得 f （x）的对称轴为 x=- ，进而分析可得答案．

本题考查二次函数的最 值，注意分析 f（x）的对称轴，属于基础题．

2

2

2

5. 【答案】 C

【解析】

解：根据题意，依次分析选项：

对于 A，f（x）=（ ），是指数函数，在整个定义域内单调递 增，不符合题意； 对于 B，f（x ）= log x，有f（2）= ×log 2=- ，f（4）= ×log 4=- ，不是减函 数，不符合题意；

对于 C，f（x）=log x 为对数函数，整个定义域内单调递减，符合题意；

对于 D，f（x）=x = ，为偶函数，整个定义域内不是 单调 函数，不符合题意； 故选：

x

C．

根据 题意，依次分析选项中函数的 单调性，综合即可得答案． 本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常 见函数的单调性．

6. 【答案】 A

【解析】

解：∵在 ，三个数字中， 第一个数字 3> 3=1，

第二个数字 0=log31< log32首先根据所 给的三个数字，按照 对数函数和指数函数的性 质进行比较，第一 个数字第一个数字 3>3=1，第二个数字=log310.5

00.5

0

0，最后总结 最后 结果．

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本题考查对数值大小的比较，考查对数函数与指数函数 对于底数不同 时的单

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调性不同，比较三个数字与 1，0 的关系，对 于底数不同的 对数或指数一般找 一个中 间量进行比 较大小．

7. 【答案】 D

【解析】

解：依题意 | |=| |=1，∴| -2 |= = =

=

=

故选：D．

根据 | -2 |= = 可得．

本题考查了平面向量数量 积的性 质及其运算，属基础题．

8. 【答案】 A

【解析】

解：由已知可得函数 y=Asin （ωx+?）的图象经过（- ，2）点和（- ，2） 则 A=2 ，T=π即 ω=2

则 函数的解析式可化 为 y=2sin（2x+?），将-（ ，2）代入得

- +?= +2kπ，k ∈Z，

即 φ= +2kπ，k ∈Z ， 当 k=0 时 ，φ= 此时 故选：A．

根据已知中函数 y=Asin （ωx+?）在一个周期内的图象经过（- ，2）和（- ，

2），我们易分析出函数的最大 值、最小值、周期，然后可以求出 A，ω，φ值后， 即

可得到函数 y=Asin （ωx+?）的解析式．

本题考查的知识点是由函数 y=Asin （ωx+?）的部分图象确定其解析式，其中

A= |最大值-最小值|，| ω|= ，φ=L?ω（L 是函数图象在一个周期内的第一点 的向左平

移量）．

9. 【答案】 B

【解析】

解：对 于函数 f（x）=sin（2x+ ）的图象，令x=- ，求得f（x）=0，不是最值，故 ① 不正确；

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令 x= ，求得f（x）=0，可得f（x）的图象关于点（ ，0）对称，故② 正确； 把 y=sin2x 的图象向左平移 个单位，得到 y=sin（2x+ ）的图 象，故③ 不正确； 把

y=sin（x+ ）的图象上所有点的 纵坐标不变，横坐标缩 短到原来的 倍， 得到函数 f

（x）=sin（2x+ ）的图象，故④ 正确， 故选：B．

利用正弦函数的 图象和性 质，函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规 律，得出结论． 本题主要考查正弦函数的 图象和性质，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律， 属于基 础题．

10. 【答案】 D

【解析】

解：函数f（x）=x，x∈R，可得f（x）时奇函数， 由 f（msinθ）+f （1-m）＞0， 可得：f（msinθ）＞f（m-1），

3

3

f（x）=x，在R 上递增， ∴msin θ＞ m-1，

那么 m（1-sin θ）＜1；

∵，

∵

∴0≤ sin＜θ1．

则 0＜ 1-sin θ≤．1

∴f（msin θ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数 m 的取值范围是：m＜1； 故选：D． 根据 f（x）=x，可得f（x）时奇函数，在 R上递增，可得f（msinθ）＞f（m-1），脱去 “f，”即可求解．

本题主要考查了函数恒成立 问题的求解，转化思想的 应用，三角函数闭区间 是的最 值的应用．

3

11. 【答案】 B

【解析】

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解：∵ = + =- - =-

- =- - ， = - = + = - - = - ，

∴ ?

=（- - ）?（ - ）=-

2

+

2

+ =- ×16+4-2

=-1

故选：B．

选取 ， 为基向量，将 ， 用基向量表示后，再得数量 积 ?

本题考查了平面向量 积的性质及其运算，属中档 题．

12. 【答案】 B

【解析】

解：对于函数 f（x），当x≤0时，f（x）= x+3，由-3≤x≤，0可得f（t）∈［-4 ，

3］，

当 x>0 时，f（x ）=-x+2x+3=-（x-1）+4，由02

2

4］，

∴对任意 t∈［-3，3］，f（t）∈［-4，4］， 对 于函数 g（x）= sinx+cosx+4=2sin（x+ ）+4， ∵x∈［0， ］，

∴（x+ ）∈［ ， π，］

∴g（x ）∈［4+ ，6］，

∴对于 s∈［0， ］，使得 g（s）∈［4+ ，6］，

∵对任意 t∈［-3，3］，总存在 s∈［0， ］，使得 f（t）+a≤g（s）（a>0）成立，

∴a+4 ≤，6 解得 0故选：B．

分别求出 f（x）在［-3，3］的值域，以及 g（x）在［0， ］的值域，对任意 t∈［-

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3，3］， 总存在 s∈［0， ］，使得 f（t）+a≤g（s）（a>0）成立，得到a的关系

式，解出即可

本题考查 分段函数的 值域，函数的单调性及运用，同 时考查任意的，总存在 的类型的解法，注意转化为求函数的 值域，以及? 的包含关系，本题属于中 档题．

13. 【答案】 1

【解析】

解：∵tan225 °=tan（180°+45°）=tan45 °=1， 故答案为：1． 利用诱导公式即可求得答案．

本题考查正切函数的 诱导公式，属于基础题 ．

14. 【答案】 2

【解析】

解：设幂 函数为：f（x）=x a

，

幂函数 f（x）的图 象过点 可得 =2a

．解得 a= 则 =

=2 ．

故答案 为：2．

求出 幂函数的解析式，然后求解函数 值即可．

本题考查幂 函数的解析式的求法，函数 值的求法，考查计算能力．

15. 【答案】 2π

【解析】

解：∵弧长为 πcm的弧所 对的圆心角为 ， ∴半径 r= =4，

∴这条弧所在的扇形面 积为 S= ×π× 4=22

π．cm 故答案 为：2π．

根据弧长公式求出 对应的半径，然后根据扇形的面 积公式求面 积即可．扇形的面 积公式和弧 长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较 基础．

16.【答案】

解析】

解：∵xlog

43

3=1

∴x=log4

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本题主要考查 则

x-x4+4=

=3+

故答案为： 由已知，若 xlog34=1，解方程易得 x的值，代入即可求出 4+4 的值． 本题考查对数的运算，指数的运算，函数值的求法．掌握常用的 对数式的性 质是解决本 题的关键：如

，

x-x

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考 查三角函数和角公式等基 础知识及运算能力．已知一个角的某一 个三角函数 值，便可运用基本关系式求出其它三角函数 值，角的变换 是解题 的关 键，属于中档题．根据同角的三角函数的关系 结合两角和的余弦公式即 可求出． 【解答】 解：∵ <α< π， ∴ < <

∵cos（ ）=- ， ∴sin（

）= ，

∴cos α =co（sα[- ）+ ]=cos（α- ）cos -sin（α- ）sin =- × - × =

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故答案为

18.【答案】 （ 0， ）

【解析】

解：根据题意，函数f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区 间（0，+∞）上单调递 减，

又由 log2a=-

，

则 原不等式 变形可得：log2a< ， 解可得：0）>f（3）? log2a-

）>f（-3）? f（3

<1，结合对数的运算性 质变 形可得 log2a< ，

解可得 a的取 值范围，即可得答案．

本题考查函数的单调性与奇偶性的 综合应用，关键是得到关于 x 的不等式， 属于基 础题．

19.【答案】

【解析】

解：设 ，则

=（1-k） +k ．

=，

∴ 故答案为：

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设 ，则

= （1-k） +k .

= ，即可

本题考查了向量的 线性运算，属于中档 题．

20.

【答案】 （ ］

【解析】 解：若0≤x≤，2则

-2≤x-2≤0，

∴f（x）=f（x-2） =1-|x-2+1|=1-|x-1|， 0≤x≤．2

若 2≤ x≤，4则 0≤x-

2≤2，

∴f（x）=f（x-2）=1-|x-2-1|=1-|x-3|，

2≤x≤．4

若 4≤ x≤，6则 2≤x-2≤4，

∴f（x）=f（x-2）=1-|x-2-3|=1-|x-5|，4≤ x≤．6 ∴f（1）=1，f（2）=0，f（3）=1，f（5）=1，

设 y=f （x）和y= x+b，则方程 f（x）= x+b 在区间［-2，6］内有 3个不等实根， 等价为函数 y=f （x）和y= x+b 在区间［-2，6］内有 3个不同的零点． 作出函数 f（x）和y= x+b 的图 象，如图：

当直线经过点 F（4，0）时，两个图象有 2个交点，此时直线y= x+b为 y= x-

，

当直线经过点 D（5，1），E（2，0）时，两个图象有 3个交点；

当直线经过点 O（0，0）和C（3，1）时，两个图象有 3个交点，此时直线 y= x+b 为

y= x ，

当直线经过点 B（1，1）和A（-2，0）时，两个图象有 3个交点，此时直线 y=

x+b 为 y= x+ ，

∴要使方程 f（x）= x+b，两个图象有 3 个交点， 在区间[-2，6]内有 3个不等 实根， 则 b∈（

] ，

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故答案 为：（

]．

作出函数 y=f （x）和y= x+b 的图象．利用两个图象的交点个数 问题确定 b的 取值范围．

本题主要考 查方程根的个数的 应用，将方程转化为函数，利用数形结合是解 决此类问题 的基本方法．

21. 【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵0< α< ， sin α=，

∴cos α=

= ，

∴tan α= = ，

22

（ Ⅱ ） ∵sin2 α=2sin αcosα，=cos2α =cosα-sin α=- ∴cos（2

）= （ cos2 α-sin2 ）α= （- - ）=- ，

（ Ⅲ ） ∵0<α< ， 0< β< ， ∴0< α +<β π， ∵cos（α +）β=- ， ∴sin（α +）β = ，

∴sin β =s（in[α +）β-α ]=sin（ α +）βcos α-cos（ α +）βsin α=

【解析】

（Ⅰ）根据同角的三角函数的关系即可求出， （Ⅱ）根据二倍角公式和两角差的余弦公式即可求出，

（Ⅱ）根据同角的三角函数的关系结合两角差的正弦公式即可求出

本题主要考 查三角函数和角公式等基 础知识及运算能力．已知一个角的某一 个三角函数 值，便可运用基本关系式求出其它三角函数 值，角的变换 是解题 的关 键，属于中档题．

22. 【答案】 解：（ Ⅰ）∵A，B，P三点共线；

∴； ∴；

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∴2t+4=0； ∴t=-2； （ Ⅱ）∵

；

∴； ∴；

（ Ⅲ ）若 ∠BAP 是锐角，则

；

；

，且 不共线；

∴6-4（t-4）＞ 0，且 t≠-2； 解得 ，且 t≠-2；

∴实数 t的取值范围为 {t|t ，且 t≠-2} ． 【解析】

（Ⅰ）根据A，B，P 三点共 线，即可得出 从而得出 2t+4=0，求出 t=-2；

，并求出 ，

（Ⅱ）根据 即可得出 ，进行数量 积的坐标运算即可求出 t 的 值； （Ⅲ）根据∠BAP 是锐角即可得出

，并且

不共 线，可求出

，从而得出 6-4（t-4）＞0，且t ≠-2，解出t 的范围即可．

考查向量平行 时的坐 标关系，向量平行的定 义，根据点的坐标可求向量的坐 标，以及向量垂直的充要条件，向量数量 积的坐 标运算．

23. 【答案】 解：（ Ⅰ ）∵f（ x）= ? =（ sin2x+2，cosx）?（ 1，2cosx）= sin2x+2+2cosx =

2

sin2x+cos2x+3

=2（ sin2x? +cos2x? ）+3 =2sin （2x+ ）+3 ∴T= =π， ∴T= =π，

由 - +2 kπ≤x2+ ≤ +2kπ，得 - +kπ≤x≤kπ+， 所以 f（ x）的增区间为 [- +kπ， +kπ]，k∈Z；

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（ Ⅱ ） ∵x∈[0， ] ， ∴2x+ ∈[ ， ]

f（x）∈[4，5]

f （x）的最大值为 5，最小值为 4．

【解析】

（Ⅰ）根据向量数量积得 f （x）=2sin（2x+ ）+3，由此可得最小正周期和增区 间； （Ⅱ）根据x 的范围得 2x+ 的范围，得f （x）的范围，从而得 f （x）的最大最小 值． 本题考查了平面向量数量 积的性质及其运算，属中档 题．

2

2

24. 【答案】 解：（ Ⅰ ） ∵x=1 是函数 g（ x）=ax-2ax+1 的零点， ∴g（1）=a-2a+1=1-a=0，得 a=1；

2

（ Ⅱ）g（x）=x2-2x+1， f（x）= =x-2+ ， 则不等式 f（lnx） -klnx≥0在 x∈[e，e2]上恒成立， 等价为 lnx+ -2≥klnx，

∵1≤ lxn≤2，

2

∴同时除以 lnx，得 1+（ ） 2-2（ ）≥k， 令 t= ，则 k≤t2-2t+1 ，

2

∵x∈[e， e2] ， ∴t∈[ ， 2]， 故 h（ t）的最小值为 0，

则 t≤0，即实数 k 的取值范围（ -∞， 0]；

x

（ Ⅲ ）原方程等价为 |2x-1|+

∵x≠0，

-2-3k=0 ，

∴两边同乘以 |2x-1|得|2x-1|2-（2+3k）|2x-1|+1+3k=0， 此方程有三个不同的实数解， 令 u=|2x-1|，则 u> 0， 则 u2-（2+3k）u+1+3k=0， 得 u=1 或 u=1+3k，

当 u=1 时， |2x-1|=1 ，得 x=1， 当|2x-1|=1+3k，要使方程 f（|2x-1|）+k 则必须有 |2x-1|=1+3 k有两个解， 则 0<1+3k<1，得 - -3k=0 有三个不同的实数解，

（Ⅰ）利用x=1 是函数 g（x）=ax-2ax+1的零点，代入即可求 实数 a的值； （Ⅱ）若不等式f（lnx）-klnx ≥0在 x∈[e，e] 上恒成立，利用参数分 类法，转化求 最值问

2

2

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题即可求实数 k的取值范围；

（Ⅲ）利用换元法，转 化为一元二次方程根的个数 进行求解即可．

本题主要考 查函数与方程根的 问题，利用换元法 结合一元二次方程根的个数， 以及利结合是解决本 题的关 键．

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16 用数形