土压力的计算理论分析

土压力的计算理论

一、静止土压力、主动土压力与被动土压力的概念

1、静止土压力

当建筑在坚实地基上的挡土墙具有足够大的断面，墙在墙后土体的推力作用下，不产生任何位移和变形，即挡土墙绝对不动时，墙后土体因墙背的作用而牌弹性平衡状态。此时，作用于墙背上的土压力就是静止土压力。

2、主动土压力

当挡土墙在土压力作用下产生向着离开填土方向的移动或绕墙根的转动时，墙后土体因侧面所受的放松而有下滑趋势。为阻止其下滑，土内潜在滑动面上剪应力(向上)增加，从而使作用在墙背上的土压力减小。当墙的移动或转动达到某一数量时，滑动面上的剪应力等于土的抗剪强度，墙后土体达到主动极限平衡状态，这时作用在墙上的土推力达到最小值，称为主动土压力Ea。

注：关于主动土压力“最小、最大”问题。在主动土压力的概念中，当墙的移动或转动达到某一数量时，滑动面上的剪应力等于土的抗剪强度，当墙后土体达到主动极限平衡状态时，墙后土体的抗剪强度已充分发挥，作用在墙上的土推力达到最小值，这个最小值称为主动土压力(最小值只是一个概念、一个土压力变化过程的最小，而不是指具体数值，是相对静止土压力、被动土压力而言)；

为了求这个主动土压力的大小，需要求得墙后土体的最危险破裂面的方向，即需求在墙后所有有可能的破裂面中，有可能产生的对挡土墙压力最大的一组破裂面 ，这时所需求的最大土压力指的是数值，需要求在所有可能的斜面中所可能产生的最大土压力的破裂面的方位，而这个最大土压力的值即为主动土压力的值(这里的最大指的是数值，主动土压力的数值)。

- 1 - 土压力的计算理论

3、被动土压力

当墙在外力作用下产生向着填土方向移动或转动时(例如拱桥桥台)，墙后土体受到挤压，有上滑趋势。为阻止其上滑，土内剪应力反向增加，使得作用在墙背上的土压力加大。直到墙的移动量足够大时，滑动面上的剪应力(向下)又等于土的抗剪强度，墙后土体达到被动极限平衡状态，土体发生向上滑动，这时作用在墙上的土抗力达到最大值，称为被动土压力Ep。

二、静止土压力——E0

静止土压力可根据半无限弹性体的应力状态求解。在土体表面以下任意深度z处M点取一单元体，作用在该单元体上的力有两个：

1、竖直方向上的自重应力z

zz

2、侧向压应力，是由于挡土墙约束了土体的侧向变形，所以土体会对挡土墙有一个侧向压应力，这就是静止土压力。

侧向压应力的求解如下：

设1z、23E0，由材料力学中的广义胡克定律：

11231E1213 (1) 2E13123E由于挡土墙的侧限作用，230，又有23，将两式代入(1)式有

23111z

因此，在半无限弹性体在无侧移的条件下，静止土压力为

p0K0z (2)

- 2 - 土压力的计算理论

其中K01为静止土压力系数。

三、朗肯土压力理论

1、朗肯理论的基本假定与适用范围

若忽略墙背与填土之间的摩擦作用，即假定墙背与填土之间的摩擦角为零(δ=0)，对于挡土墙墙背竖直(α=0)，墙后填土面水平(β=0)的情况，作用于其上的土压力大小可用朗肯土压力计算。

2、朗肯主动土压力的计算

当作用于任意z深度处土单元上的竖直应力Vz为大主应力1，而作用在墙背的水平土压力pa为小主应力3时。根据土的极限平衡状态条件可知，当土体中任一点处于极限平衡状态时，大主应力1与小主应力3存在以下关系。

对于主应力的分析：根据材料力学及弹性力学分析，假设在地下z深度处某点P的一个单元某一斜面的切应力为零，则该斜面上的正应力称为P点的一个主应力，同一点的各主应力应相互垂直。由之前分析可知，作用在P点的两个力——自重应力和土压力相互垂直且均无剪应力存在，所以这两个应力均为主应力：

在主动土压力作用下：自重应力为大主应力、主动土压力为小主应力； 在被动土压力作用下：自重应力为小主应力、被动土压力为大主应力。

对破裂面的分析(结合力学): 在材料力学中，往往材料的破坏是抗压、抗拉、最大剪应力条件的不足而导致材料破坏，相应的破坏条件主要是最大拉应力、最大压应力和最大切应力低于许用应力而导致材料破坏；而在土力学中，土体不允许抗拉，而墙后填土的压应力(主动土压力pa)一般均不会达到土体的抗压强度，所以在土压力的分析中一般只考虑土体的最大剪应力应小于土体的抗剪强度τf，所以根据以下莫尔应力圆，当主动土压力pa达到一定数值时，P点的莫尔应力圆与土体的抗剪强度包络线相切，即此时的主动土压力pa与自重应力组合的应力状态产生的最大剪应力达到了土体的抗剪强度τf，这时土体即将破坏，破裂面OA的方向为大主应力—自重应力所在面的方向(水平面)

- 3 - 土压力的计算理论

逆时针旋转

90，具体的图件参考边坡与滑坡工程治理(第二版中)图3-6a。 2a、对于粘性土

现研究挡土墙后土体表面以下深度z处M点的土单元体的应力状态。竖直方向应力为γz，侧向水平压力为K0γz(即静止土压力)代表的小圆，两者均为主应力。此时应力圆与土的强度包络线不相切，如图2(K0γz)，即墙后土体处于弹性状态。

当挡土墙在土压力作用下，离开土体向前位移，作用于单元体上竖向应力仍为γz，但侧向水平应力逐渐减小。如果墙的位移达到一定数值，墙后土体就处于极限平衡状态，

图1 朗肯主动土压力计算图

此时，应力圆(O2)与土的强度包线相切，作用在单元体上的两个主应力，一个为γz，另一个pa就是所求主动土压力强度。由图1可知AO2所代表的面即为滑动面，由莫尔圆的性质可知，AO2所代表的面与CO2所代表的面的夹角为可通过图1中的几何关系：

BCzccot (3)

90。求解主动土压力pa2式中c为粘聚力。

圆O2的半径

RCDcot45BCtancot45

22

- 4 - 土压力的计算理论

RBCtan45

tan9021tan245RBC22tantan452

452RBC21tan2452 那么所求的主动土压力

pBC2RccotBCtan2a452ccot 将(1)式代入(3)式可得

pzccottan2a452ccot

paztan2452ccottan2452ccot

pztan2452ccot1tan2452a 根据二倍角公式

2tan45cottan90tan224521tan2452将(7)式代入(6)式可得主动土压力

pztan2a4522ctan452 b、对于非粘性土

令式(8)中c0，可得非粘性土的朗肯主动土压力计算公式

4)

5)

6)

7) 8)

- 5 - ( ( ( ( (土压力的计算理论

paztan245 (9)

23、朗肯被动土压力的计算

当作用于任意z深度处土单元上的水平土压力pb为大主应力3，而竖直应力

Vz为小主应力1时。根据以上理论同样可以求得被动土压力。

a、对于粘性土

pbztan2452ctan45 (10)

22b、对于非粘性土

令式(10)中c0，可得非粘性土的朗肯被动土压力计算公式

pbztan245 (11)

2四、库仑土压力理论

1、库仑理论的基本假定与适用范围

a、刚体滑动假设及墙填料假设：将破坏土楔ABC视为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件，墙后填料为均质的散粒体，粒间仅有摩阻力而无粘结力存在(即粘聚力为0)。

b、平面滑裂面假设：当墙向前或向后移动，使墙后填土达到破坏时，填土将两个平面同时下滑或上滑；一个是墙背AB面，另一个是土体内某一滑动面BC，BC与水平面成角。平面滑裂面假设是库仑理论最主要的假设，库仑在当时已认识这一假设与实际情况不符(实际应为近似圆弧形)，但它可使计算工作大大简化，在一般情况下精度能满足工程要求。

c、楔体ABC整体处于极限平衡状态：在AB和BC滑动面上，抗剪强度均已充分发挥，即滑动面上的剪应力均已达到抗剪强度f。

2、库仑主动土压力的计算

a、计算模型

- 6 - 土压力的计算理论

取单位长度的挡土墙，设墙高为H，墙背俯斜并与竖直面之间夹角为,墙后土体为砂土，土体表面与水平面成角，土体内摩擦角为，墙背与土体的摩擦角为。挡土墙在主动土压力作用下向前移动，使墙后土体处主动极限平衡状态时，土体内产生一滑裂平面BC，假设其与水平面之间的夹角为(未知)，此时，形成一滑动楔体ABC，见图2。

图2 库仑主动土压力计算图(左a、右b)

b、受力分析

楔体ABC主要受三个力，楔体自重G [大小GABC，方向竖直向下]、挡土墙对楔体的反力E (大小未知，相当于土压力的反作用力) [方向与墙背法向逆时针成角]和滑裂面BC上的反力R [大小未知，作用方向与滑裂面BC法向顺时针成角]——图1。

(1)楔体自重G

1G=BCAD (12)

2首先求BC，在ABC中应用正弦定理有

BCAB sin(90)sin()又

ABH cos所以

- 7 - 土压力的计算理论

cos() (13)

cossin()BCH其次求AD，在ABD中有

ADABcos()Hcos() (14)

cos将(13)式和(14)式代入(12)式可得自重G为

1cos()cos() (15) G=G()=H222cossin()(2)土压力E

在受力矢量三角形中应用正弦定理，有

EG (16) sin()sin[()]其中

90

将(12)式代入(16)式，可得土压力

1cos()sin()cos() (17) EE()H222sin()cossin()c、求解主动土压力Ea

式(17)中、H、、、、和均为已知常数，所以所求的土压力E为的一元函数，E随滑裂面倾角的变化而变化。

由主动土压力的概念可知，主动土压力Ea为土压力一元函数E()的最小值，令

dE0 (18) d得到最危险滑裂面的角θ0，此时求得的θ0所代表的滑裂面AC的土压力为最大。 将θ0代入(17)式，可得主动土压力Ea 1EH2Ka(19)2

- 8 - 土压力的计算理论

其中

Kacos2sin()sin()coscos1cos()cos()22

(20)

以上式中

Ka——库仑主动土压力系数，可以看出其只与α、β、δ、φ有关，而与γ和H无关，因而可以编成相应表格，供计算时查用；

γ、φ——墙后填土的容重与内摩擦角；

α——墙背与竖直线之间的夹角，以竖直线为准，逆时针为正，称为俯斜墙背；顺时针为负，称为仰斜式墙背；

β——填土面与水平面之间的夹角，水平面以上为正，水平面以下为负； δ——墙背与填土之间的摩擦角，其值可以由试验确定，无试验资料时，一般取为

12，也可参考表1中的数值。 33表1 土对挡土墙墙背的摩擦角

挡土墙情况 墙背平滑、排水不良 墙背粗糙、排水良好

摩擦角δ (0～0.33)φ (0.33～0.5)φ

挡土墙情况 墙背很粗糙、排水良好 墙背与填土间不可能滑动

摩擦角δ (0.5～0.67)φ (0.67～1.0)φ

3、库仑被动土压力的计算

用以上同样的方法可以求出元粘性土总的被动土压力Ep为

1EpH2Kp(19)2

其中

Kpcos2sin()sin()2coscos1cos()cos()2

(20)

- 9 - 土压力的计算理论

五、库仑土压力与朗肯土压力的关系——以主动土压力为例

1、由前述，朗肯主动土压力系数为

Kaltan245

2库仑主动土压力系数为

Kakcos2sin()sin()cos2cos1cos()cos()2

当库仑主动土压力公式α=0、β=0、δ=0时，库仑主动土压力系数为

Kakcos21sin2cos 1sin2由二倍角公式

2sinsinsin22cos22tan2

2cos2sin2sin221tan21tan21tan22cos2coscos2所以

2222 22221tancos2Kak1sin12tantan2221tan21tan222tan45Kal

22可见，当库仑主动土压力公式α=0、β=0、δ=0时，库仑主动土压力与朗肯主动土压力完全相同。

- 10 - 土压力的计算理论

2、朗肯土压力理论应用半无限空间中的应力状态和极限平衡理论的概念比较明确，对于粘性土和无粘性土都可以用该公式直接计算，但为了使墙后的应力状态符合半空间的应力状态，必须假设墙背竖直、光滑、墙后填土水平，因而使应用范围受到。

由于该理论忽略了墙背与填土之间摩擦的影响，使计算的主动土压力偏大、被动土压力偏小。

3、库仑土压力理论根据墙后滑动土楔发生滑动时的静力平衡条件推导得出土压力计算公式，考虑了墙背与土之间的摩擦角，并可用于墙背倾斜、填土面倾斜的情况，但由于该理论设墙后填土破坏时破裂面为一平面，而实际上却是曲面。实验证明，在计算主动土压力时，只有当墙背的斜度不大，墙背与填土的摩擦角较小时，破裂面才接近一个平面，因此，库仑理论计算结果与按曲线滑动面计算的有出入。通常情况下，这种偏差在计算主动土压力时约为2%～10%，可以认为已满足工程所要求的精度；但在计算被动土压力时，由于破裂面接近于对数螺线，因此计算结果误差较大，有时可达2、3倍，甚至更大，因而不宜采用库仑公式计算被动土压力。

4、库仑公式是根据土体整体或局部发生破坏时的极限平衡条件得到的，这些较符合实际破坏状况，同时滑动面上的强度得到了充分发挥，因而作用在挡土墙上的土压力最小。而朗肯理论依据质点的极限平衡条件而得到，而土体并非每个质点都达到极限平衡状态，例如靠地表的一些质点，由于存在c值而没有达到极限平衡状态，这时土体强度没有被充分利用，因而作用在墙上的土压力就比较大。

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