湖北省随州市2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年湖北省随州市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（ ）个元素． A．1 B．4 C．5 D．6 2．下列两个函数相同的是（ ）

22

A．f（x）=lnx，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（） C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx

D．f（x）=x2，g（x）=

3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（ ）

2x

A．y=x B．y=2 C．y=log2x D．y=sin2x 4．若函数f（x）=A．0

B．2

C．﹣3 D．﹣4 ，b=log

，c=sin，则（ ）

，则f[f

5．已知a=log

A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 6．tan2016°的值所在的大致区间为（ ） A．（﹣1，﹣

） B．（﹣

，0） C．（0，

） D．（

，1）

7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（ ） A．（0.5，1） B．（1，1.5） C．（1.5，2） D．（2，2.5）

8．已知平面向量，满足||=，||=2， •=﹣3，则|+2|=（ ） A．1 B． C．4+ D．2 9．已知角α的终边上一点P的坐标为（sinA．

B．π C．π D．

π

，cos

），则角α的最小正角为（ ）

10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（ ） A．f（0）＜f（） B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4） 11．P是△ABC所在平面上一点，满足A．4 B．6 C．8 D．16 12．已知f（x）=

+

+

=2

，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（ ）

，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.

13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y= ． 14．化简（log43+log83）（log32+log92）= ．

1

15．若f（x）=e﹣ae为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为 ． 16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是 （填上正确结论的序号）． ①[﹣x]=﹣[x]； ②[x]+[y]≤[x+y]； ③{x}+{y}≥{x+y}； ④{x}是周期函数．

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）． （1）求+﹣；

（2）若+λ与垂直，求λ的值． 18．已知函数f（x）=

定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x+mx+4）定义域为集

2

x﹣x

合B．

（1）若m=3，求A∩（∁RB）；

（2）若A∪B=A，求m的取值范围．

19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜（1）直接写出f（x）表达式；

（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移g（x）图象，求g（x）的单调区间．

得到

）的图象如图所示．

20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）

=．

（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润． 21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+

，h（x）=f[g（x）]．

（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数； （2）若（x+

）（y+

）=，求证：x+2y=0． ，g（x）=2sin（2x﹣

）．

22．已知f（x）=1﹣

2

（1）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围； （2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣成立，求实数m的取值范围．

，

]，使不等式f（x1）﹣m•2

＞g（x2）

3

2015-2016学年湖北省随州市高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.

1．设集合A={4，5，6}，B={2，3，4]，则A∪B中有（ ）个元素． A．1 B．4 C．5 D．6 【考点】并集及其运算．

【分析】根据集合的运算性质求出A∪B即可． 【解答】解：∵集合A={4，5，6}，B={2，3，4]， 则A∪B={2，3，4，5，6}， 有5个元素， 故选：C．

2．下列两个函数相同的是（ ）

22

A．f（x）=lnx，g（x）=2lnx B．f（x）=x，g（x）=（） C．f（x）=cosx•tanx，g（x）=sinx

D．f（x）=x，g（x）=

2

【考点】判断两个函数是否为同一函数．

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数．

2

【解答】解：对于A，f（x）=lnx的定义域为{x|x≠0}，g（x）=2lnx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；

对于B，f（x）=x的定义域为R，g（x）=不是相同函数；

对于C，f（x）=cosx•tanx的定义域为{x|x≠kπ+定义域不同，不是相同函数；

对于D，f（x）=x2的定义域为R，g（x）=

=x2的定义域为R，定义域相同，对应关系也

，k∈Z}，g（x）=sinx的定义域为R，=x的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，

相同，所以是相同数． 故选：D．

3．下列四个函数中，在闭区间[﹣1，1]上单调递增的函数是（ ）

2x

A．y=x B．y=2 C．y=log2x D．y=sin2x 【考点】函数单调性的判断与证明．

【分析】根据y=x2，y=2x，y=log2x，y=sin2x性质判断即可． 【解答】解：①y=x2在[﹣1，0]单调递减，故A不正确； ②y=2x在闭区间[﹣1，1]上单调递增，故B正确； ③y=log2x在[﹣1，0]无意义，故C不正确； ④y=sin2x在[故选；B

4

，1]单调递减，故D不正确；

4．若函数f（x）=

，则f[f

A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣4 【考点】对数的运算性质；函数的值．

【分析】根据分段函数的表达式进行转化求解即可．

【解答】解：由分段函数的表达式得f=﹣22+1=﹣4+1=﹣3， 则f[f=﹣3， 故选：C

5．已知a=log

，b=log

，c=sin，则（ ）

A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】对数值大小的比较．

【分析】利用对数的运算性质比较a，b的大小，且得到a知c=sin

【解答】解：∵a=logb=logc=sin

=log23＞1，

，

，则答案可求． =log32＜1，且

，

，利用三角函数的单调性可

∴c＜a＜b． 故选：A．

6．tan2016°的值所在的大致区间为（ ） A．（﹣1，﹣

） B．（﹣

，0） C．（0，

） D．（

，1）

【考点】运用诱导公式化简求值．

【分析】由条件利用诱导公式、正切函数的单调性，得出结论． 【解答】解：∵tan2016°=tan=tan36°， 又∵tan30°=

，tan45°=1，36°∈（30°，45°），

函数y=tanx在（0°，90°）上单调递增， 故tan36°∈（

，1），

故选：D．

7．方程log2x+x=2的解所在的区间为（ ） A．（0.5，1） B．（1，1.5） C．（1.5，2） 【考点】函数零点的判定定理．

D．（2，2.5）

5

【分析】判断f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出：f（1）•f（1.5）＜0，可得出f（x）的零点在（1，1.5）区间 内，即可得出答案． 【解答】解：设f（x）=log2x+x﹣2，在（0，+∞）上单调递增． ∵f（1）

=0+1﹣2=﹣1＜0，

f（1.5）=log21.5﹣0.5=log21.5﹣log2＞0

∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（1，1.5）区间 内 ∴方程log2x+x=2的解所在的区间为（1，1.5） 故选：B．

8．已知平面向量，满足||=，||=2， •=﹣3，则|+2|=（ ） A．1 B． C．4+ D．2 【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】运用向量的数量积的性质，向量的平方即为模的平方，代入计算即可得到． 【解答】解：由于||=，||=2， •=﹣3， 则|+2|==故选B．

9．已知角α的终边上一点P的坐标为（sinA．

B．π C．π D．

π

，cos

），则角α的最小正角为（ ）

=

．

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】先α的终边上一点的坐标化简求值，确定α的正余弦函数值，再确定角α的取值范围．

【解答】解：由题意可知角α的终边上一点的坐标为（sin∴sinα=﹣，cosα=∴α=

，

，cos

），即（

，﹣），

+2kπ（k∈Z），

．

故角α的最小正值为：

故选：D．

10．已知定义在R上的函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，且f（x+1）为偶函数，则（ ） A．f（0）＜f（） B．f（﹣2）＞f（2） C．f（﹣1）＜f（3） D．f（﹣4）=f（4） 【考点】奇偶性与单调性的综合．

【分析】根据条件判断函数f（x）关于x=1对称，利用函数对称性和单调性的关系将不等式进行转化即可得到结论．

6

【解答】解：∵f（x+1）为偶函数， ∴f（x+1）=f（﹣x+1），

即函数f（x）关于x=1对称，

∵f（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴f（x）在（﹣∞，1]上单调递减，

∴f（0）＞f（），f（﹣2）=f（4）＞f（2），f（﹣1）=f（3），f（﹣4）=f（6）＞f（4）， 故选：B． 11．P是△ABC所在平面上一点，满足++=2，若S△ABC=12，则△PAB的面积为（ ） A．4 B．6 C．8 D．16 【考点】向量在几何中的应用．

【分析】根据++=2，可得3=，所以∥并且方向一样，由此可求S△PAB． 【解答】解：∵ ++=2=2（+） ∴3=

∴∥并且方向一样 设AP与BC的距离为h，则 ∵S△PAB=|∵|

|=3|

|h，S△ABC=||，S△ABC=12

|h

∴S△PAB=S△ABC=4 故选A．

12．已知f（x）=

，则方程2f2（x）﹣3f（x）+1=0的解的个数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】法1：利用换元法设t=f（x），求出t的大小，利用分段函数进行求解；法2：作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：法1．设t=f（x），由2f2（x）﹣3f（x）+1=0得2t2﹣3t+1=0得t=1或t=， 若x＞0，则由|lgx|=1得lgx=±1，则x=10或

，由|lgx|=得lgx=±，则x=

或

，

若x≤0，则由2|x|=1得|x|=0，则x=0，由2|x|=得|x|=﹣1．不成立，

7

综上方程根的个数为5个，

法2：作出函数f（x）的图象如图，当f（x）=1时，有3个根， 当f（x）=时，有2个根， 故方程根的个数为5个， 故选：D．

二、填空题:本大题共4个小题，每小题5分.、共20分. 13．A={2，lnx}，B={x，y}，若A∩B={0}，则y= 0 ． 【考点】交集及其运算．

【分析】由A与B，以及两集合的交集，确定出y的值即可． 【解答】解：∵A={2，lnx}，B={x，y}，且A∩B={0}， ∴lnx=y=0，

解得：x=1，y=0， 故答案为：0．

14．化简（log43+log83）（log32+log92）= ．

【考点】对数的运算性质．

【分析】根据对数的运算法则进行计算； 【解答】解：（log43+log83）（log32+log92）=（

）（

）

=（）（+）=×=，

故答案为：．

15．若f（x）=ex﹣ae﹣x为奇函数，则f（x﹣1）＜e﹣的解集为 （﹣∞，2） ． 【考点】函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

【分析】根据函数奇偶性的性质先求出a的值，结合函数单调性的性质进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ex﹣ae﹣x为奇函数， ∴f（0）=0，即f（0）=1﹣a=0，

8

则a=1，

即f（x）=ex﹣e﹣x，则函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数， 则f（1）=e﹣，

则不等式f（x﹣1）＜e﹣等价为f（x﹣1）＜f（1），

即x﹣1＜1， 解得x＜2，

即不等式的解集为（﹣∞，2）， 故答案为：（﹣∞，2）．

16．定义[x]与{x}是对一切实数都有定义的函数，[x]的值等于不大于x的最大整数，{x}的值是x﹣[x]，则下列结论正确的是 ②③④ （填上正确结论的序号）． ①[﹣x]=﹣[x]； ②[x]+[y]≤[x+y]； ③{x}+{y}≥{x+y}； ④{x}是周期函数．

【考点】命题的真假判断与应用；函数解析式的求解及常用方法；函数的值． 【分析】根据已知中，[x]和{x}的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

【解答】解：当x为整数时，[﹣x]=﹣[x]，当x不是整数时，[﹣x]=﹣[x]﹣1，故①错误； 当{x}+{y}＜1时，[x]+[y]=[x+y]；

当{x}+{y}≥1时，[x]+[y]=[x+y]﹣1＜[x+y]； 故[x]+[y]≤[x+y]，即②正确； 当{x}+{y}＜1时，{x}+{y}={x+y}； 当{x}+{y}≥1时，{x}+{y}＞{x+y}； 故{x}+{y}≥{x+y}，即③正确；

{x+1}={x}恒成立，故{x}是周期为1的周期函数．故④正确， 故答案为：②③④

三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知A（1，﹣2），B（2，1），C（3，2），D（2，3）． （1）求+﹣；

（2）若+λ与垂直，求λ的值． 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】（1）利用向量的坐标运算性质即可得出；

（2）利用向量的坐标运算性质、向量垂直与数量积运算性质即可得出． 【解答】解：（1）+﹣=++==（1，5）+（﹣1，1）=（0，6）． （2）=（2，4），=（1，3），=（﹣1，1）． ∴+λ=（2+λ，4+3λ）， ∵+λ与垂直，

∴（+λ）•=﹣（2+λ）+4+3λ=0， 解得λ=﹣1．

9

18．已知函数f（x）=定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x+mx+4）定义域为集

2

合B．

（1）若m=3，求A∩（∁RB）；

（2）若A∪B=A，求m的取值范围．

【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算． 【分析】（1）先分别求出函数f（x）和g（x）的定义域，再求出集合B的补集，再根据交集的定义求出所求；

2

（2）若A∪B=A，B⊆A，﹣x+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立，即可求m的取值范围． 【解答】解：函数f（x）=

的定义域为集合A={x|﹣1＜x≤5}

（1）若m=3，函数g（x）=lg（﹣x2+3x+4）的定义域为集合B={x|﹣1＜x＜4} CRB={x|x≤﹣1或x≥4} ∴A∩（∁RB）=[4，5]

（2）∵A∪B=A，∴B⊆A，

∴﹣x2+mx+4＞0在（﹣1，5]上恒成立， ∴

19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ＜（1）直接写出f（x）表达式；

（2）将f（x）图象上所有点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，然后再向右平移g（x）图象，求g（x）的单调区间．

得到

）的图象如图所示．

，∴m∈∅．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】（1）由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=

时取得最大值，求出

φ，得到函数的解析式，即可得解．

（2）由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再根据正弦函数的图象的单调性，求得g（x）的单调区间． 【解答】解：（1）由题意可知A=2，T=2（由A+k=，﹣A+k=﹣，解得：A=，k=1， 当x=

时取得最大值，所以=sin（2×

+φ）+1， ﹣

）=π，ω=2，

10

所以：2×+φ=2kπ+．

，k∈Z，

因为：|φ|＜所以φ=

，

函数f（x）的解析式：f（x）=sin（2x+）+1．

（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍， 可得函数y=sin（3x+

）+1的图象．

个单位，得到函数y=g（x）=sin[3（x﹣

）+

]+1=sin

再将所得函数图象向右平移（3x﹣令 2kπ+kπ+

）+1， ≤3x﹣]，k∈z． ≤3x﹣

≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递减区间为[kπ+，

令 2kπ﹣kπ+

≤2kπ+，k∈z，求得g（x）的单调递增区间为[kπ﹣，

]，k∈z．

20．随州市汽车配件厂，是生产某配件的专业厂家，每年投入生产的固定成本为40万元，每生产1万件该配件还需要再投入16万元，该厂信誉好，产品质量过硬，该产品投放市场后供应不求，若该厂每年生产该配件x万件，每万件的销售收入为R（x）万元，且R（x）

=．

（1）写出年利润关于年产量x（万件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少万件时，该厂获得的利润最大？并求出最大利润． 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）利润=收入﹣成本

（2）由分段函数，在各个段上讨论．利用基本不等式，可得最值． 【解答】解：（1）设年利润为w万元， 则年利润=年收入﹣年成本

∴w（x）=xR（x）﹣16x﹣40=

（2）∵利润与产量的函数为分段函数

11

①0＜x≤40时，w（x）=﹣6x2+384x﹣40 x=32时，w（x）取最大，最大值为11634 ②x＞40时，w（x）=﹣16x﹣

+7360≤﹣1600+7360=6000

当且仅当x=50时，取等号．

由①，②得，当x=50时，即产量我50万件时，利润取得最大，最大利润为6000万元．

21．已知f（x）=lgx，g（x）=x+

，h（x）=f[g（x）]．

（1）证明h（x）既是R上的奇函数又是R上的增函数； （2）若（x+

）（y+

）=，求证：x+2y=0．

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的判断；根式与分数指数幂的互化及

其化简运算． 【分析】（1）先求出

，容易得到h（﹣x）=﹣h（x），即得到h

（x）为奇函数，可以求导数h′（x）＞0，从而得出h（x）为R上的增函数； （2）由

便可得到

，两边取以10为底的对数，根据h（x）的解

析式可得到h（x）+h（2y）=0，而由h（x）为奇函数且为增函数便可得到x+2y=0． 【解答】证明：（1）

恒成立；

∴h（x）的定义域为R，且

；

=

∴h（x）为R上的奇函数；

=﹣h（x）；

又=；

∴h（x）为R上的增函数； （2）∴∴=

=

；

；

=h（x）+h（2y）=0；

12

∴h（x）=﹣h（2y）；

∵h（x）为R上的奇函数且是增函数； ∴h（x）=h（﹣2y）； ∴x=﹣2y； ∴x+2y=0．

22．已知f（x）=1﹣

x

，g（x）=2sin（2x﹣）．

（1）若函数g（x）=（2+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围； （2）对任意x1∈（0，1），总存在x2∈[﹣

，

]，使不等式f（x1）﹣m•2

＞g（x2）

成立，求实数m的取值范围．

【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．

x

【分析】（1）由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2，由指数函数的值域，即可得到所求范围； （2）当x2∈[﹣

，

]，可得2x﹣

∈[﹣

，

]，运用正弦函数的图象和性质可得

g（x2）的最小值为g（﹣）=﹣2，由题意可得f（x1）﹣m•2＞﹣2，即m＜

=+在（0，1）恒成立，运用指数函数的单调性，可得右边函数的值域，再由恒成立

思想即可得到所求范围．

xx

【解答】解：（1）g（x）=（2+1）•f（x）+k=2﹣1+k， 由题意可得g（x）=0，即为1﹣k=2x，由2x＞0， 可得k＜1； （2）当x2∈[﹣

，

]，可得2x﹣

∈[﹣

，

]，

则g（x2）的最小值为g（﹣即有不等式f（x1）﹣m•2即为f（x1）﹣m•2

）=﹣2， ＞g（x2）成立，

＞﹣2，

即m＜=+在（0，1）恒成立，

由h（x）=可得m≤．

+在（0，1）递减，可得h（x）的值域为（，2），

13