材料力学习题及答案

第 一 章 绪论

1-1 图示圆截面杆，两端承受一对方向相反、力偶矩矢量沿轴线且大小均为M的力偶作用。试问在杆件的任一横截面m-m上存在何种内力分量，并确定其大小。

解：从横截面m-m将杆切开，横截面上存在沿轴线的内力偶矩分量Mx，即扭矩，其大小等于M。

1-2 如图所示，在杆件的斜截面m-m上，任一点A处的应力p=120 MPa，其方位角θ=20°，试求该点处的正应力σ与切应力τ。

解：应力p与斜截面m-m的法线的夹角α=10°，故

σ＝pcosα=120×cos10°=118.2MPa

τ＝psinα=120×sin10°=20.8MPa

1-3 图示矩形截面杆，横截面上的正应力沿截面高度线性分布，截面顶边各点处的正应力均为σmax=100 MPa，底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分量，并确定其大小。图中之C点为截面形心。

1

解：将横截面上的正应力向截面形心C简化，得一合力和一合力偶，其力即为轴力

FN=100×106×0.04×0.1/2=200×103

N =200 kN

其力偶即为弯矩

Mz=200×(50-33.33)×10-3

=3.33 kN·m

1-4 板件的变形如图中虚线所示。试求棱边AB与AD的平均正应变及A点处直角BAD的切应变。 解：

第 二 章 轴向拉压应力

2-1试计算图示各杆的轴力，并指出其最大值。

2

解：(a) FNAB=F,

FNBC=0,

FN，max=F

(b) FNAB=F, FNBC=－F, FN，max=F

(c) FNAB=－2 kN, FN2BC=1 kN, FNCD=3 kN, FN，max=3 kN

(d) FNAB=1 kN, FNBC=－1 kN, FN，max=1 kN

2-2 图示阶梯形截面杆AC，承受轴向载荷F1=200 kN与F2=100 kN，AB段的直径d1=40 mm。如欲使BC与AB段的正应力相同，试求BC段的直径。

解：因BC与AB段的正应力相同，故

2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500 mm2，载荷F=50 kN。试求图示斜截面m-m上的正应力与切

3

应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

解：

2－4（2-11） 图示桁架，由圆截面杆1与杆2组成，并在节点A承受载荷F=80kN作用。杆1、杆2的直径分别为d1=30mm和d2=20mm，两杆的材料相同，屈服极限

s=320MPa，安全因数

σns=2.0。试校核桁架的强度。

解：由A点的平衡方程

可求得1、2两杆的轴力分别为

由此可见，桁架满足强度条件。

2－5（2-14） 图示桁架，承受载荷F作用。试计算该载荷的许用值[F]。设各杆的

4

横截面面积均为A，许用应力均为[σ]。

解：由C点的平衡条件 由B点的平衡条件

1杆轴力为最大，由其强度条件

2－6（2-17） 图示圆截面杆件,承受轴向拉力F作用。设拉杆的直径为d，端部墩头的直径为D，高度为h，试从强度方面考虑，建立三者间的合理比值。已知许用应力[σ]=120MPa，许用切应力[τ]=90MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：由正应力强度条件由挤压强度条件

由切应力强度条件

式(1)：式(3)得

D：h：d=1.225：0.333：1

式(1)：式(2)得 故

5

2－7（2-18） 图示摇臂，承受载荷F1与F2作用。试确定轴销B的直径d。已知载荷F1=50kN，F2=35.4kN，许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力[σbs]=240MPa。

解：摇臂ABC受F1、F2及B点支座反力FB三力作用，根据三力平衡汇交定理知FB的方向如图（b）所示。

由平衡条件由切应力强度条件

由挤压强度条件

故轴销B的直径

6

第 三 章 轴向拉压变形

3-1 图示硬铝试样，厚度δ=2mm，试验段板宽b=20mm，标距l=70mm。在轴向拉F=6kN的作用下，测得试验段伸长Δl=0.15mm，板宽缩短Δb=0.014mm。试计算硬铝的弹性模量E与泊松比μ。

解：由胡克定律 3-2(3-5) 图示桁架，在节

点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应变分别为ε1=4.0×10-4与ε2=2.0×10-4。试确定载荷F及其方位角θ之值。已知杆1与杆2的横截面面积A1=A2=200mm2，弹性模量E1=E2=200GPa。

解：杆1与杆2的轴力（拉力）分别为

由A点的平衡条件

(1)2+(2)2并开根，便得

7

式(1)：式(2)得

3-3(3-6) 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板的轴向变形。已知板的厚度为δ，长为l，左、右端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。

解：

3-4(3-11) 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

解：设钢丝绳的拉力为T，则由横梁AB的平衡条件

8

钢丝绳伸长量 由图（b）可以看出，C点铅垂位移为Δl/3，D点铅垂位移为2Δl/3，则B点铅垂位移

为Δl，即 EA。

3-5(3-12) 试计算图示桁架节点A的水平与铅垂位移。设各杆各截面的拉压刚度均为

解：(a) 各杆轴力及伸长（缩短量）分别为 因为3

杆不变形，故A点水平位移为零，铅垂位移等于B点铅垂位移加2杆的伸长量，即

(b) 各杆轴力及伸长分别为

与铅垂位移分别为(注意AC杆轴力虽然为零，但对A位移有约束)

A点的水平

3-6(3-14) 图a所示桁架，材料的应力-应变关系可用方程σn=Bε表示（图b），其中n和B为由实验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。设各杆的横截面面积均为A。

9

(a) (b)

解：2根杆的轴力都为 2根杆的伸长量都为

则节点C的铅垂位移

3-7(3-16) 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在梁的中点C承受集中载荷F作用。试计算该点的水平与铅垂位移。已知载荷F=20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E=200GPa，梁长l=1000mm。

10

解：各杆轴力及变形分别为 梁BD作刚体平动，其上B、C、D三点位移相

等 3-8(3-17) 图示桁架，在节点B和C作用一对大小相等、方

向相反的载荷F。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点B和C间的相对位移ΔB/C。

解： 根据能量守恒定律，有

3-9(3-21) 由铝镁合金杆与钢质套管组成一复合杆，杆、管各载面的刚度分别为E1A1与E2A2。复合杆承受轴向载荷F作用，试计算铝镁合金杆与钢管横载面上的正应力以及杆的轴向变形。

解：设杆、管承受的压力分别为FN1、FN2，则

FN1+FN2=F (1)

变形协调条件为杆、管伸长量相同，即 联立求解方程(1)、(2)，

11

得 杆、管横截面上的正应力分别为

杆的轴向变形

3-10(3-23) 图示结构，杆1与杆2的弹性模量均为E，横截面面积均

为A，梁BC为刚体，载荷F=20kN，许用拉应力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=110MPa。试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1所受压力为FN1，杆2所受拉力为FN2，则由梁BC的平衡条件得

变形协调条件为杆1缩短量等于杆2伸长量，即 (2)得 件得

联立求解方程(1)、

因为杆1、杆2的轴力相等，而许用压应力小于许用拉应力，故由杆1的压应力强度条

12

3-11(3-25) 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为[σ1]=40MPa，[σ2]=60MPa，[σ3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1=A2=2A3，试确定各杆的横截面面积。

解：设杆1、杆2、杆3的轴力分别为FN1(压)、FN2(拉)、FN3(拉)，则由C点的平衡条件

杆1、杆2的变形图如图(b)所示，变形协调条件为C点的垂直

位移等于杆3的伸长，即

联立求解式(1)、(2)、

(3)得

由三杆的强度条件

13

注意到条件 A1=A2=2A3，取A1=A2=2A3=2448mm2。

3-12(3-30) 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40°，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es=200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为αl s=12.5×10

－６

℃

－１

与αl c=16×10

－６

℃

－１

。

解：钢杆受拉、铜管受压，其轴力相等，设为FN，变形协调条件为钢杆和铜管的伸长量相等，即

铆钉剪切面上的切应力

3-13(3-32) 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A、E与[σ]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设l+Δ。试问当Δ为何值时许用载荷最大，其值[Fmax]为何。

计长度l变为

解：静力平衡条件为

变形协调条件

14

为 联立求解式(1)、(2)、(3)得

杆3的轴力比杆1、杆2大，由杆3的强度条件

若将杆3的设计长度l变为l+Δ，要使许用载荷最大，只有三

杆的应力都达到[σ]，此时 变形协调条件为

15

16

第 四 章 扭转

4-1(4-3) 图示空心圆截面轴，外径D=40mm，内径d=20mm，扭矩T=1kN•m。试计算横截面上的最大、最小扭转切应力，以及A点处（ρA=15mm）的扭转切应力。

17

解：因为τ与ρ成正比，所以

4-2(4-10) 实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100 r/min，传递功率P=10 kW，许用切应力[τ]=80MPa，d1/d2=0.6。试确定实心轴的直径d，空心轴的内、外径d1和d2。

解：扭矩

由空心轴的切应力强度条件

由实心轴的切应力强度条件

4-3(4-12) 某传动轴，转速n=300 r/min，轮1为主动轮，输入功率P1=50kW，轮2、轮3与轮4为从动轮，输出功率分别为P2=10kW，P3=P4=20kW。

18

(1) 试求轴内的最大扭矩；

(2) 若将轮1与轮3的位置对调，试分析对轴的受力是否有利。

解：(1) 轮1、2、3、4作用在轴上扭力矩分别为

若将轮

最大扭矩变小，当然对轴的受力有利。

1

与轮

3

轴内的最大扭矩

的位置对调，则最大扭矩变为

4-4(4-21) 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度为已知常数。

解：(a) 由对称性可看出，MA=MB，再由平衡可看出MA=MB=M

19

(b)显然MA=MB，变形协调条件为 (d)由静力平衡方程得

解得(c)

联立求解式(1)、(2)得

变形协调条件为

4-5(4-25) 图示组合轴，由套管与芯轴并借两端刚性平板牢固地连接在一起。设作用在刚性平板上的扭力矩为M=2kN·m，套管与芯轴的切变模量分别为G1=40GPa与G2=80GPa。试求套管与芯轴的扭矩及最大扭转切应力。

解：设套管与芯轴的扭矩分别为T1、T2，则

T1+T2 =M=2kN·m (1)

变形协调条件为套管与芯轴的扭转角相等，即联立求解式(1)、(2)，得

套管与芯轴的最大扭转切应力分别为

20

4-6(4-28) 将截面尺寸分别为φ100mm×90mm与φ90mm×80mm的两钢管相套合，并在内管两端施加扭力矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力矩M0管横截面上的最大扭转切应力。

后，内、外

解：去掉扭力矩M0后，两钢管相互扭，其扭矩相等，设为T，

设施加M0后内管扭转角为φ0。去掉M0后，内管带动外管回退扭转角φ1（此即外管扭转角），剩下的扭转角(φ0-φ1)即为内管扭转角，变形协调条件为

内、外管横截面上的最大扭转切应力分别

为

4-7(4-29) 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在直径为D=100mm的圆周上，突缘的厚度为δ=10mm，轴所承受的扭力矩为M=5.0 kN·m，螺栓的许用切应力[τ]=100MPa，许用挤压应力 [σbs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。

21

解：设每个螺栓承受的剪力为FS，则 由切应力强度条

件 由挤压强度条件

故螺栓的直径

22

23

第 五 章 弯曲应力

1(5－1)、平衡微分方程中的正负号由哪些因素所确定?简支梁受力及Ox坐标取向如图所示。试分析下列平衡微分方程中哪一个是正确的。

24

解：B正确。

平衡微分方程中的正负号由该梁Ox坐标取向及分布载荷q(x)的方向决定。截面弯矩和剪力的方向是不随坐标变化的，我们在处理这类问题时都按正方向画出。但是剪力和弯矩的增量面和坐标轴的取向有关，这样在对梁的微段列平衡方程式时就有所不同，参考下图。当Ox坐标取向相反，向右时，相应(b)，A是正确的。但无论A、B弯矩的二阶导数在q向上时，均为正，反之，为负。

2(5－2)、对于承受均布载荷q的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关?试判断下列四种答案中哪一种是错误的。

解：A是错误的。梁截面上的弯矩的正负号，与梁的坐标系无关，该梁上的弯矩为正，因此A是错误的。弯矩曲线和一般曲线的凸凹相同，和y轴的方向有关，弯矩二阶导数为正时，曲线开口向着y轴的正向。q(x)向下时，无论x轴的方向如何，弯矩二阶导数均为负，曲线开口向着y轴的负向，因此B、C、D都是正确的。

25

3(5－3)、应用平衡微分方程画出下列各梁的剪力图和弯矩图，并确定|FQ|max和|M|max。（本题和下题内力图中，内力大小只标注相应的系数。）

解：

26

4(5－4)、试作下列刚架的弯矩图，并确定|M|max。

解：

5(5－5)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知A端弯矩M(0)=0，试确定梁上的载荷(包括支座反力)及梁的弯矩图。

解：

27

6(5－6)、已知静定梁的剪力图和弯矩图，试确定梁上的载荷(包括支座反力)。

解：

7(5－7)、静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知E端弯矩为零。请：（1）在Ox坐标中写出弯矩的表达式；

（2）试确定梁上的载荷及梁的弯矩图。

28

解：

8(5-10) 在图示梁上，作用有集度为m=m(x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力及弯矩间的微分关系。

解：用坐标分别为x与x+dx的横截面，从梁中切取一微段，如图(b)。平衡方程为

9(5-11) 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间

29

的微分关系。

解：(a) 用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图(c)。平衡方程为

(b) 用坐标分别为x与x+dx的横截面，从杆中切取一微段，如图

(d)。平衡方程为

10(5-18) 直径为d的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上。试求金属丝内的最大正应变与最大正应力。已知材料的弹性模量为E。

解：

30

11(5-23) 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：

(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值；

(2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b应分别为何值；

解：(1) 欲使梁的弯曲强度最高，只要抗弯截面系数

取极大值，为此令

(2) 欲使梁的弯曲刚度最高，只要惯性矩取极大值，为此令

12(5-24) 图示简支梁，由№18工字钢制成，在外载荷作用下，测得横截面A底边的纵向正应变ε=3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知钢的弹性模量E=200GPa，a=1m。

31

解

：

梁

的

剪

力

图

及

弯

矩

图

如

图

所

示

，

从

弯

矩

图

可

见

：

13(5-32) 图示槽形截面铸铁梁，F=10kN，Me=70kN·m，许用拉应力

[σt]=35MPa，许用压应力[σc]=120MPa。试校核梁的强度。

解：先求形心坐标，将图示截面看成一大矩形减去一小矩形

惯性矩

32

弯矩图如图所示，C截面的左、右截面为危险截面。

在C左截面，其最大拉、压应力分别为

在C右截面，其最大拉、压应力分

别为

故

14(5-35) 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成，试校核其强度。已知载荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面宽度b=50mm，高度h=80mm，木板的许用应力[σ]=7MPa，胶缝的许用切应力[τ]=5MPa。

解：从内力图可见木板的最大正应力

由剪应力互等定理知：胶缝的最大切应力等于横截面上的最大切应力

可见，该梁满足强度条件。

15(5-41) 图示简支梁，承受偏斜的集中载荷F作用，试计算梁内的最大弯曲正应力。已知F=10kN，l=1m，

33

b=90mm，h=180mm。

解：

16(5-42) 图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：

(1) 截面为矩形，h=2b；

(2) 截面为圆形。

解：(1) 危险截面位于固定端 (2)

17(5-45) 一铸铁梁，其截面如图所示，已知许用压应力为许用拉应力的4倍，即[σc]=4 [σt]。试从强度方面考虑，宽度b为何值最佳。

34

解：

又因y1+y2=400 mm，故y1=80 mm，y2=320 mm。将截面对形心轴z取静矩，得

18(5-54) 图示直径为d的圆截面铸铁杆，承受偏心距为e的载荷F作用。试证明：当e≤d/8时，横截面上不存在拉应力，即截面核心为R=d/8的圆形区域。

解：

19(5-55) 图示杆件，同时承受横向力与偏心压力作用，试确定F的许用值。已知许用拉应力[σt]=30MPa，许用压应力[σc]=90MPa。

35

解：故F的许用值为4.85kN。

36

37

第 七 章 应力、应变状态分析

7-1(7-1b) 已知应力状态如图所示（应力单位为 解：

与

截面的应力分别为：

），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。

；

；

；

MPa

7-2(7-2b)已知应力状态如图所示（应力单位为 解：

与

截面的应力分别为：

），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力。

；

；

；

38

7-3(7-2d)已知应力状态如图所示（应力单位为

），试用图解法计算图中指定截面的正应力与切应力。

解：如图，得：

指定截面的正应力

切应力

7-4(7-7) 已知某点A处截面AB与AC的应力如图所示（应力单位为 小及所在截面的方位。

），试用图解法求主应力的大

39

解：由图，根据比例尺，可以得到：

， ，

7-5(7-10c)已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，

力与最大切

并求主应力、最大正应应力。

解：对于图示应力状态， 在 和 再以

。

平面内，由坐标(

,

是主应力状态，其它两个主应力由

)与(

,

)分别确定

和

点，以

、

、

确定。

为直径画圆与 轴相交于

及

为直径作圆，即得三向应力圆。

由上面的作图可知，主应力为

， ，

，

7-6(7-12)已知应力状态如图所示（应力单位为 解：

与

截面的应力分别为：

），试求主应力的大小。

40

；

；

；

在

截面上没有切应力，所以

是主应力之一。

； ；

；

7-7(7-13)已知构件表面某点处的正应变求该表面处

方位的正应变

，

及其所在方位。

，切应变

，试

与最大应变

解：

41

得：

7-8(7-20)图示矩形截面杆，承受轴向载荷F作用，试计算线段AB的正应变。设截面尺寸b和h与材料的弹性常数E和μ均为已知。

解：

， ，

，

AB的正应变为

7-9(7-21)在构件表面某点O处，沿 为力

，

与

，

， 与

与

方位，粘贴三个应变片，测得该三方位的正应变分别

，该表面处于平面应力状态，试求该点处的应，泊松比

。已知材料的弹性模量

，

解：显然，

并令

，于是得切应变：

42

7-10(7-6)图示受力板件，试证明A点处各截面的正应力与切应力均为零。

证明：若在尖点A处沿自由边界取三角形单元体如图所示，设单元体 、和

、

，自由边界上的应力分量为

，则有

面上的应力分量为

、43

由于

态的应力圆缩为

、

，因此，必有

、 、

。这时，代表A点应力状

坐标的原点，所以A点为零应力状态。

7-11(7-15)构件表面某点 为

，

处，沿 ， ，

， 与

方位粘贴四个应变片，并测得相应正应变依次与

，试判断上述测试结果是

否可靠。

解：很明显，

，

得：

又

得：

根据实验数据计算得到的两个

结果不一致，所以，上述测量结果不可靠。

44

第 八 章 应力状态与强度理论

1、 (8-4)试比较图示正方形棱柱体在下列两中情况下的相当应力

，弹性常数E和μ均为已知。（a） 棱柱体轴向受压；

（b） 棱柱体在刚性方模中轴向受压。

解：对于图（a）中的情况，应力状态如图（c）

45

对于图（b）中的情况，应力状态如图（d）

所以，

，

2、 (8-6)图示钢质拐轴，承受集中载荷F作用。试根据第三强度理论确定轴AB的直径。已知载荷F=1kN，许用应力[σ]=160Mpa。

解：扭矩

弯矩

由

46

得：

所以，

3、 (8-10)图示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮Ⅰ上，作用有径向力在齿轮Ⅱ上，作用有切向力

理论确定轴径。

、径向力

、切向力

；

。若许用应力[σ]=100Mpa，试根据第四强度

解：计算简图如图所示，作

、

、

图。

从图中可以看出，危险截面为B截面。其内力分量为：

由第四强度理论

得：

47

4、8-4 圆截面轴的危险面上受有弯矩Ｍy、扭矩Ｍx和轴力ＦNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种。试判断哪一种是正确的。

请选择正确答案。

（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）

答：B

5、 （8-13)图示圆截面钢杆，承受载荷 已知载荷

N，

，

与扭力矩

作用。试根据第三强度理论校核杆的强度。，许用应力[σ]=160Mpa。

，扭力矩

解：弯矩

48

满足强度条件。

6、 (8-25)图示铸铁构件，中段为一内径D=200mm、壁厚δ=10mm的圆筒，圆筒内的压力p=1Mpa，两端的轴向压力F=300kN，材料的泊松比μ=0.25，许用拉应力[σt]=30Mpa。试校核圆筒部分的强度。

解：

，

，

由第二强度理论：

满足强度条件。

49

7、 (8-27)图薄壁圆筒，同时承受内压p与扭力矩M作用，由实验测得筒壁沿轴向及与轴线成 应变分别为

和

方位的正

。试求内压p与扭力矩M之值。筒的内径为D、壁厚δ、材料的弹性模量E与泊

松比μ均为已知。

解：

很显然，

，

，

，

8、 (8-22)图示，内径D=11mm，壁厚δ=0.5mm，内压p=7.5MPa，许用应力[σ]=100Mpa。试校核的强度。

50

解：

，

，

由第三强度理论，

满足强度条件。

9、 (8-11)图示圆截面杆，直径为d，承受轴向力F与扭矩M作用，杆用塑性材料制成，许用应力为[σ]。试画出危险点处微体的应力状态图，并根据第四强度理论建立杆的强度条件。

解：危险点的应力状态如图所示。

，

由第四强度理论，

，可以得到杆的强度条件：

10、(8-17)图示圆截面圆环，缺口处承受一对相距极近的载荷

作用。已知圆环轴线的半径为

，截面的

51

直径为

，材料的许用应力为

，试根据第三强度理论确定

的许用值。

解：危险截面在A或B

截面A：

，

，

截面B：

，

由第三强度理论可见，危险截面为A截面。

，

得：

即

的许用值为：

11、 (8-16)图示等截面刚架，承受载荷

与

作用，且

。试根据第三强度理论确定

52

的许用值 。已知许用应力为

，截面为正方形，边长为 ，且

。

解：危险截面在A截面或C、D截面，C截面与D截面的应力状态一样。

C截面：

由第三强度理论，

得：

A截面：

由第三强度理论，

得：

比较两个结果，可得：

的许用值：

53

12、(8-25)球形薄壁容器，其内径为

，壁厚为

，承受压强为p之内压。试证明壁内任一点处的主应力

为，

。

证明：取球坐标

，对于球闭各点，以球心为原点。

，

，

由于结构和受力均对称于球心，故球壁各点的应力状态相同。且由于球壁很薄。

，

对于球壁上的任一点，取通过该点的直径平面（如图），由平衡条件

对于球壁内的任一点，

因此，球壁内的任一点的应力状态为：

，

证毕。

54

55

第 九 章 压杆稳定问题

9-1(9-8) 图示正方形桁架，各杆各截面的弯曲刚度均为EI，且均为细长杆。试问当载荷F为何值时结构中的个别杆件将失稳？如果将载荷F的方向改为向内，则使杆件又为何值？

失稳的载荷F

解：(1) 此时，CD杆是压杆。

，

时，CD杆失稳。

(2) F的方向改为向内时，AC、CB、BD、DB杆均为压杆。

56

其受到的压力均为

时，压杆失稳。

9-2(9-22) 图示桁架，在节点C承受载荷F=100kN作用。二杆均为圆截面，材料为低碳钢Q275，许用压应力[σ]=180Mpa，试确定二杆的杆径。

解： 取结点C分析。

AC杆是拉杆，

57

得：

BC杆是压杆，

得：

考虑到压杆失稳，

由于

故：

得：

因此：

AC杆的直径为：

BC杆的直径为：

9-3(9-12) 图示活塞杆，用硅钢制成，其直径d=40mm，外伸部分的最大长度l=1m，弹性模量E=210Gpa，

=100。试确定活塞杆的临界载荷。

解：看成是一端固定、一端自由。此时

58

，而

，所以，

。

用大柔度杆临界应力公式计算。

9-4(9-7) 试确定图示细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度EI为常数。

解：由于右段可水平移动而不能转动，所以右端有力偶

。

取杆的左段为隔离体，得

令

得：

它的通解为：

当

时，

得：

得：

59

所以，当

时，

(n=1,2,3…)

即：

取n=1，

得最小值

所以，该细长压杆的相当长度

，临界载荷为

9-5(9-2) 图示刚杆弹簧系统，试求其临界载荷。图中的k为弹簧常量。

解：设弹簧伸长为

,则

，那么支反力为：

。

各力对弹簧所在截面取矩，则：

即得：

9-6(9-13) 图示结构，由横梁AC与立柱BD组成，试问当载荷集度q=20N/mm与q=40N/mm时，截面B的挠度分别为何值。横梁与立柱均用低碳钢制成，弹性模量E=200GPa，比例极限

=200MPa。

60

解：截面几何性质：No20b工字钢

， ，梁长

圆截面立柱：

， ，

，长

，

结构为一次静不定，由变形协调条件

（1） 当

时

（2） 当

时

61

9-7(9-15) 图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l=300mm，截面宽度b=20mm，高度h=12mm，弹性模量E=200Gpa，

=50，

=0，中柔度杆的临界应力公式为：

试计算它们的临界载荷，并进行比较。

解：

，

，

（a）

，

62

（b）

（c）

从计算结果看出，第三种支持方式的临界载荷最大。

9-8(9-5) 图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E=200Gpa。试用欧拉公式计算其临界荷载。（1） 圆形截面，d=30mm，l=1.2m；（2） 矩形截面，l=1.2m；（3） No14工字钢，l=1.9m。

解：(1)

(2)

(3)

9-9(9-17) 图示连杆，用硅钢制成，试确定其临界载荷。中柔度杆的临界应力公式为

在

平面内，长度因数

；在 平面内，长度因数

。

h=2b=50mm，

63

解：

考虑

平面失稳

考虑

平面失稳

采用中柔度杆的临界应力公式计算

9-10(9-19) 试检查图示千斤顶丝杠的稳定性。若千斤顶的最大起重量

丝杠总长

，衬套高度

，稳定安全因数

，丝杠内径 ，丝杠用

，

钢制成，中柔

度杆的临界应力公式为

解：看成是一端固定、一端自由。

，最大伸长长度

，

用中柔度杆的临界应力公式计算。

所以，千斤顶丝杠不会失稳。

65

第 十二 章 非对称弯曲

1( 12—1)在梁的图示截面上，弯矩 M=10 kN·m。试计算最大弯曲正应力。已知截面的惯性矩Iy=Iz= 4.75106mm4，Iyz=2.78106mm4。

题10－l图 解：

66

2(12－3)图示悬臂梁，承受载荷F1与 F2作用，试校核梁的强度。已知 F1= 5 kN，F2=30kN，许用拉应力[t]=30 MPa，许用压应力[c] = 90 MPa。

解：在固定端截面上

梁强度不满足要求。

3(12－8)图示用钢板加固的木梁，承受载荷 F=10 kN作用，钢与木的弹性模量分别为Es= 200 GPa与 Ew= 10 GPa。试求钢板与木梁横截面上的最大弯曲正应力以及截面 C的挠度。

67

解：

由上册附录E知

68

第 十三 章 能量法

13－1（11—1）图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。试计算梁的应变能及所加载荷的相应位移。 69

题13－l (a) 图

解： 题13－l (a) 利用对称性

梁的应变能：

题13－l (b) 图 题13－l (b) 解：

梁的应变能：

70

13－2（11—2）图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。试计算板件的总伸长。板件的厚度为，长度为l，左、右端的截面宽度分别为b1与b2 ，材料的弹性模量为E。

题13－2图 解：

注意：（1）该题为变截面，各截面横截面上正应力不同。

（2）各截面上正应力不同，故不能用

，只能用

计算。

13－3（11—3）图示等截面直杆，承受轴向载荷F作用。设杆的横截面面积为A，材料的应力－应变关系为

，其中c为已知常数。试计算外力所作之功。

71

解：

注意：该题为材料非线性

（1） 对轴向拉压，

仍适用；

（2） 不适用；

（3） 仍适用。

解法二：

13－4（11—4）图示圆柱形大螺距弹簧，承受轴向拉力F作用。试用能量法证明弹簧的轴向变形为 72

式中：D为弹簧的平均直径，d为弹簧丝的直径，n为弹簧的圈数，为螺旋升角，E为弹性模量，G为切变模量。 题13－4图 解

13－5（11—5）图示等截面直杆，承受一对方向相反、大小均为F的横向力作用。设截面宽度为b、拉压刚

度为EA，材料的泊松比为。试利用功的互等定理，证明杆的轴向变形为

状态Ⅰ 题13－5图 状态Ⅱ

解：用功（位移）互等定理关键:

(1)找出状态Ⅱ，使状态Ⅱ的外力在（状态Ⅰ）所求的位移上做功；

(2)状态Ⅱ的外力作用下，（状态Ⅰ）外力作用点、(状态Ⅰ）外力相应位移容易求出。

用功的互等定理,

73

13－6（11—6）图示纤维增强复合材料，轴1沿纤维方向，轴2垂直于纤维方向。当正应力l单独作用时（图

a），材料沿1和2方向的正应变分别为

式中，E1与12分别为复合材料的纵向弹性模量与纵向泊松比。当2单独作用时（图b），上述二方向的正应

变则分别为

式中，E1与21分别为复合材料的横向弹性模量与横向泊松比。试证明： 中，只有三个是的。

状态Ⅰ 题13－6图 状态Ⅱ

解：设垂直于纤维方向边长为b，纤维方向边长为a，厚度为t，用功互等定理

74

即上述四个弹性常数

13－7（11—7）试用卡氏第二定理解题13－1。

题13－l (a) 图

解： 由13－l (a)知梁的应变能：

题13－l (b) 图 解： 题13－l (b)

梁的应变能：

75

13－8（11—8）图示桁架，在节点B承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算该节点的铅垂位移B。各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题13－8图

解：

13－9（11—9）图示刚架，承受载荷F作用。试用卡氏第二定理计算截面C的转角。设弯曲刚度EI为常数。

题13－9图

解：由于截面没有转角相应的外力偶，故需虚加一个力偶m。

76

注意（1）用卡氏第二定理时，在求某点位移（转角）时，则在求位移点沿求位移方向（转角）必须有一相应的集中力（集中力偶）。若实际结构不存在相应的力（力偶），则需虚加相应力（力偶）。在对相应力（力偶）求偏导后，令虚加力（力偶）为零。

（2）卡氏第二定理可有二种形式（以弯曲为例）

、

（3）当求下梁A点的位移

时，必须先把A点外力记为FA，再用

求出的

求A 点位移

，最

后，FA用F表示。若直接用

物理意义为A点F方向位移与C点F方向位移代数和。

13－10（11—11）图示等截面杆，承受轴向均布载荷q及集中载荷F作用。试用卡氏第二定理计算杆端截面A的轴向位移。设拉压刚度EA为常数。

题13－11图

77

解：

1（13－3）图示圆截面钢杆，直径 d= 20 mm，杆长 l= 2 m，弹性模量 E=210GPa，一重量为P= 500 N的冲击物，沿杆轴自高度 h=100 mm处自由下落。试在下列两种情况下计算杆内横截面上的最大正应力。杆与突缘的质量以及突缘与冲击物的变形均忽略不计。

（1）冲击物直接落在杆的突缘上（图a）；

（2）突缘上放有弹簧，其弹簧常量k=200 N／mm（图 b）。

解：

2（13－5）图示等截面刚架，一重量为P=300 N的物体，自高度 h＝50 mm处自由下落。试计算截面A的最大铅垂位移与刚架内的最大正应力。材料的弹性模量 E= 200 GPa，刚架的质量与冲击物的变形均忽略不计。

78

题13－5图 M图 M0图

解：

3（13－6）图示悬臂梁，一重量为P的物体，以速度v沿水平方向冲击悬臂梁端部的截面A。试求该截面的最大水平位移与梁内的最大弯曲正应力。材料的弹性模量为物的变形均忽略不计。

E，梁的质量与冲击

解：

79

4（13－7）图示两根正方形截面简支架，一重量为P= 600 N的物体，自高度 h= 20 mm处自由下落。试在下列两种情况下计算梁内的最大弯曲正应力；

（1）二梁间无间隙；

（2）二梁间的间隙=2mm。

已知二梁的跨度 l= 1m，根截面的边宽 a= 30 mm，弹GPa。梁的质量与冲击物的变形均忽略不计。

性模量 E= 200

解：（1） 一次静不定问题。

设两梁相互作用为R，由变形协调条件：

（2）设上梁冲击点变形到最低点时动载荷为Pd ，两梁相互作用为Rd，由变形协调条件：

80

冲击物位能改变为

上梁的变形能为

下梁的变形能为

由能量守恒

由（1）、（2）解得：

第 十四 章 静不定问题

1(14－1)试判断图示各结构的静不定次数。

81

解：（a） 4次静不定问题（3次内力静不定，1次外力静不定）。

（b） 3次静不定问题（2次内力静不定，1次外力静不定）。

（c） 1次静不定问题（1次内力静不定）。

（d） 1次静不定问题（1次内力静不定）。

2(13—2)图示各刚架，弯曲刚度EI均为常数。试求支反力，并画弯矩图。

解：（a） 1次静不定问题。相当系统如上右图。

82

相当系统M图 单位载荷结构

3(14－3)图示圆弧形小曲率杆，弯曲剧度EI为常数。试求支反力。对于题（b），并计算截面A的水平位移。

解：（a） 1次静不定问题。

相当系统M图 单位载荷结构

83

解：（b）

次静不定问题。

相当系统 单位载荷结构

计算截面A的水平位移略。

84

1

4(14－4)图示桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA。试求杆BC的轴力。

解： 1次静不定问题。

相当结构 单位载荷结构

5(14－5)图示小曲率圆环，承受载荷F作用。试求截面A与C的弯矩以及截面A与B的相对线位移。设弯曲刚度EI为常数。

85

题14－5图 相当系统 解：（1）求截面A与C的弯矩

由对称性取相当系统如图

求A单位载荷结构 求AB单位载荷结构

（2）求截面A与B的相对线位移

14－6）图示结构，承受载荷F作用。试计算杆BC的轴力及节点B的铅垂位移。 86

(a) 题14－6图 解：（a）取相当系统如图

相当系统 M图 N图

87

单位载荷结构 M0图 N0图 （b）解略

7(14－7)试画图示刚架的弯矩图。设弯曲刚度EI为常数。

(a) (b) 题14－7图 （a） 提示：由对称性取相当系统如图，解略

（b） 提示：由反对称性取相当系统如图，解略

题14－7（a）相当系统 题14－7（b）相当系统 8(14－8)试画图示各刚架的弯矩图，并计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位移。设弯曲刚度EI为常数。

88

(a) (c) 题14－8图a） 提示：由对称性取相当系统如图，解略

b） 提示：由对称性取相当系统如图，解略

c） 提示：由反对称性取相当系统如图，解略

d） 提示：由反对称性取相当系统如图，解略 题14－8（a）相当系统 (b) (d) 题14－8（b）相当系统

（（（（

题14－8（c）相当系统 题14－8（d）相当系统 9(14－9)图示刚架，承受载荷 F＝80 kN作用，已知铰链 A允许传递的剪力［FS］= 40kN，l= 0.5 m。试求尺寸 a的允许取值范围。设弯曲刚度EI为常数。

解：由反对称性取相当系统如图。

题14－9图 相当系统 相当系统M图 单位载荷结构 M0图

90

10(14－11)图示桁架，承受载荷F=80 kN作用，各杆各截面的拉压刚度均为 EA。试求杆BC的角位移。

题14－11图 相当系统 单位载荷结构 解：由反对称性知：NDC=0，取相当系统如图，

解法二：参见题11—17（a）解。

11(14－12)图示结构（均为小曲率圆杆），弯曲刚度EI为常数。试计算截面A与B沿AB连线方向的相对线位

91

移。

题14－12（a）受力分析 题14－12图 解：由对称性，受力分析如图

12(3－13)图示两端固定杆，如果温度升高T，试计算杆内的最大正应力。材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l，截面宽度不变。

题14－13图 解：由对称性，受力分析如图

92

93

94

第十一章 交变应力

1(11－1)图示循环应力，试求其平均应力、应力幅值与应力比。

题11－1图 95

解：

2(11－2)图示旋转轴，同时承受横向载荷F 与轴向拉力Fx作用，试求危险截面边缘任一点处的最大正应力、最小正应力、平均应力、应力幅与应力比；已知轴径 d＝ 10 mm，轴长 l= 100 mm，载荷 Fy= 500 N，Fx= 2 kN。

解：

3(11－3)图示疲劳试样，由钢制成，强度极限b= 600 MPa，试验时承受对称循环的轴向载荷作用，试确定

96

试样夹持部位圆角处的有效应力集中因数。试样表面经磨削加工。

题11－3图 解:查表得:

计算:

查表得:

计算:

4(11－5)图示钢轴，承受对称循环的弯曲应力作用。钢轴分别由合金钢和碳钢制成，前者的强度极限b =1200 MPa，后者的强度极限’b = 700 MPa，它们都是经粗车制成。设疲劳安全因数nf=2，试计算钢轴的许用应力[-1]，并进行比较。

解: 合金钢 -1和碳钢-1没有给出,无法计算[-1]。

97

98

附录 截面图形几何性质

1、 试计算图示截面形心C的坐标

。

99

解：如图：

2、 图示平行四边形截面，高为 ，底为 ，试计算该截面对水平形心轴

的惯性矩。

解：如图：

3、 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。

解：可以看成是正方形对Z轴的惯性矩减去两个半圆对Z轴的惯性矩。

100

4、 试计算图示正六边形截面对形心轴

和

的惯性矩。

解：可以看成外面的矩形对Z轴的惯性矩减去四个小三角形对Z轴的惯性矩。

外面的矩形对Z轴的惯性矩为：

小三角形对Z轴的惯性矩为：

所以

5、 试计算图示截面对水平形心轴

的惯性矩。

解：可以看成外面的大矩形对Z轴的惯性矩减去里面的小矩形对Z轴的惯性矩。

形心坐标：

101

利用平行移轴公式，可得

外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：

里面的小矩形对Z轴的惯性矩为：

所以

6、 试计算图示截面对水平形心轴

的惯性矩。

解：可以看成外面的大矩形对Z轴的惯性矩减去里面的小矩形对Z轴的惯性矩。

形心坐标：

利用平行移轴公式，可得

外面的大矩形对Z轴的惯性矩为：

里面的小矩形对Z轴的惯性矩为：

102

所以

7、 试计算图示截面对水平形心轴

的惯性矩。

解：可以看成外面的大圆对Z轴的惯性矩减去里面的小圆对Z轴的惯性矩。

形心坐标：

利用平行移轴公式，可得

外面的大圆对Z轴的惯性矩为：

里面的小圆对Z轴的惯性矩为：

所以

附加 考虑塑性强度计算

1(17－1)图示结构，由刚性梁BC、钢杆1，2与3组成，在节点D承受载荷F作用。试根据许用载荷法计算该载荷的许用值[Fu]。已知杆 1，2与杆3的横截面面积分别为A1＝A2=200mm2， A3＝100 mm2，屈服应力

103

S=240MPa，安全因数 nu＝2。

题17－1图 解：

2(17－2)图示两端固定杆AB，截面C承受轴向载荷F作用。试确定极限截荷F 。已知AC与CB段的横截面面积分别为A1＝200mm2， A2＝150 mm2，屈服应力S=300MPa。

题17－2图 解：

104

3( 17－3)图示两端固定杆，试根据许用载荷法计算F的许用值[Fu］。已知各杆段的横截面面积分别为A1＝200mm2，A2＝100 mm2， A3＝200 mm2，屈服应力S=300MPa，安全因数 nu＝3。

题17－3图 （1） （2） 解：由图（1）

由图（2）

故：

；

4( 17－4)图示桁架，由三根钢杆所组成，在节点C承受载荷F作用。试求极限载荷Fu。已知三杆的横截面面积均为 A=150 mm2，屈服应力S = 360 MPa。

解：由对称性

5( 17－6)试求空心圆截面轴的极限扭矩Tp 与屈服扭矩Ts 之比值。设空心轴的外径为D、内径为d，材料的剪切屈服应力为s。

105

解：

6(17－7)空心圆截面轴承受扭力矩 M作用，已知轴的内、外径分别为 d= 20 mm，D＝40mm，剪切屈服应力为s = 100 MPa，切变模量 G= 80 GPa。试问当扭力矩 M为何值时，最大切应变 = 0.002。

解:

7(17－8)图示两端固定的圆截面轴，承受扭力矩M作用，试求其极限值Mu 。已知轴径d＝ 40 mm，剪切屈服应力s =100 MPa。

106

题17－8图 解:

8(17－11)一跨度为l=12 rn的简支梁，横截面如图所示，梁承受均布载荷 q作用。若屈服应力s =320 MPa，安全因数nu= 2.0。试根据许用载荷法确定 q的许用值[qu]。

题17－11图 解： ;

107

9(17－16)图示结构，由梁 BC与杆CD组成。试求极限载荷Fu 。梁用No32b工字钢制成，杆的横截面面积A= 250mm2，梁与杆的屈服应力均为s = 240 MPa，a= 8 m，b= lm。

题17－16图 解:(a) 图，

取BC为研究对象，

取DC为研究对象，

(b) 图，取BC为研究对象，

(a) (b) 108

故

109