江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题(解析版)

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考

试数学试题

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 平面内，若⊙O的半径为2，OP=3，则点P在（ ）

A. ⊙ 内 B. ⊙ 上 C. ⊙ 外 D. 以上都有可能 2. 方程x（x-1）=4（x-1）的解是（ ）

A. 4和1 B. 1 C. 0和1 D. 4和

3. 在某校“我的”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不

相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这7名学生成绩的（ ）

A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数

4. 下列线段中，能成比例的是（ ）

A. 3cm、6cm、8cm、9cm B. 3cm、5cm、6cm、9cm C. 3cm、6cm、7cm、9cm D. 3cm、6cm、9cm、18cm 5. 如图，在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4．沿

虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（ ）

A.

B.

C.

D.

6. 如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 7. 如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O

上的两点，∠BAC=30°，弧BC等于弧CD，则∠DAC的度数是______．

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8. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半

径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______． 9. 某产品出现次品的概率为0.05，任意抽取这种产品400件，那么大约有______件次10. 11. 12. 13.

品．

已知线段AB=10，点C是线段AB上的黄金分割点（AC＞BC），则AC长是______（精确到0.01）．

2

若m，n是一元二次方程x+x-12=0的两根，则m+n+mn=______． 一个正n边形内接于⊙O，若它的一边长等于半径，则n=______． 如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=______．

2

14. 关于x的一元二次方程（m-1）x-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根，则m的取值范

围是______．

15. 在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），以原点O为位似中心，

相似比为1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是______． 16. 如图所示是一块含30°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB⊥x轴，

x＞0）x＞0）顶点A在函数y=（的图象上，顶点B在函数y=（的图象上，∠ABO=30°， 则k=______．

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分） 17. 计算：

-2

+（ +1）0 （1）（ ）-2cos30°

（2）已知：a= +1，b= -1，求a-ab+b．

四、解答题（本大题共9小题，共90.0分）

22

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版） 18. 为了解某校九年级学生的理化实验操作情况，随机抽查了40名同学实验操作的得

分．根据获取的样本数据，制作了如下的条形统计图和扇形统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）扇形 ①的圆心角的大小是______；

（Ⅱ）求这40个样本数据的平均数、众数、中位数；

（Ⅲ）若该校九年级共有320名学生，估计该校理化实验操作得满分（10分）有多少人．

19. 将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质

地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；

（2）搅匀后先从中摸出1个盒子，放回后再从中摸出一个盒子，求2次摸出的盒

子里的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．

20. 如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．

（1）若AB=3，BC=4，CE=2，求CG的长；

2

FE． （2）证明：AF=FG×

3 / 20

21. 随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速

发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．

（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；

（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.7万件，那么该公司现有的22名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？

22. 已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．

（1）如图①，若∠P=35°，连OC，求∠BOC的度数；

（2）如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版） 23. 小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了650米到达点B，且sinα= ．然后又沿着坡度i=1：3的斜坡向上走了500米达到点C． （1）小明从A点到B点上升的高度是多少米？

（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）

24. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P在AB上，点Q在DC的延长线上，连

接DP，QP，且∠APD=∠QPD，PQ交BC于点G． （1）求证：DQ=PQ；

（2）当tan∠APD= 时，求：①CQ的长；②BG的长．

25. 若某个一元二次方程的两根都是整数，且其中一根是另一根的整数倍，则称该方程

22

x2=-1，是倍根方程．例如x-2x-3=0的两根为x1=3，因为x1是x2的-3倍，所以x-2x-3=0

是倍根方程．

2

（1）说明x-8x+12=0是倍根方程；

（2）请写出一个倍根方程，使其中一根为1；

2

（3）已知关于x的一元二次方程x-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程，其中m是整数，试探索m的取值条件．

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26. 【操作体验】

如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O； 第二步：连接OA，OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于P1，P2；所以图中P1，P2即为所求的点．

（1）在图②中，连接P1A，P1B，试说明∠AP1B=30°； 【方法迁移】

（2）已知矩形ABCD，如图③，BC=2 ，AB=m． ①若P为AD边上的点，且满足∠BPC=60°的点P恰有1个，求m的值． ②当m=4时，若P为矩形ABCD外一点，且满足∠BPC=60°，求AP长的取值范围．

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：由题意，得d=3，r=2． ∵d＞r，

∴点P在⊙O外， 故选：C．

根据半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内，可得答案．

本题考查了点与圆的位置关系．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内． 2.【答案】A

【解析】

解：移项，得x（x-1）-4（x-1）=0 ∴（x-1）（x-4）=0 x-1=0或x-4=0 ∴x1=1，x2=4． 故选：A．

可用因式分解法求解方程得结论，也可通过代入试验法得结论

本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法．解决本题的关键是掌握因式分解法的一般步骤． 3.【答案】D

【解析】

解：因为7名学生进入前3名肯定是7名学生中最高成绩的3名， 而且7个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有3个数， 故只要知道自己的成绩和中位数就可以知道是否进入前3名． 故选：D．

由于其中一名学生想要知道自己能否进入前3名，共有7名选手参加，故应根据中位数的意义分析．

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此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 4.【答案】D

【解析】

解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

18=6×9，故选D． 所给选项中，只有D符合，3×

如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．

理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 5.【答案】B

【解析】

解：在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4． A、∵

==，对应边

==，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B、∵

=，对应边

=，即：

=

，∠C=∠C，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； C、∵

=，对应边

==，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D、∵=

=，

=，≠，

故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； 故选：B．

根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版）

此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等切夹角相等的两三角形相似是解题关键． 6.【答案】D

【解析】

解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于：2π×2=解得：n=120°；

连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． 由AB=6，可求得BD=3，

， ∴AD═3AC=2AD=6

，即这根绳子的最短长度是6

，

，

故这根绳子的长度可能是11， 故选：D．

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断；

此题考查了圆锥的计算，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

7.【答案】30°【解析】

解：∵=，

∴∠BAC=∠DAC， ， ∵∠BAC=30°， ∴∠DAC=30°故答案为30°．

根据等弧所对的圆周角相等即可解决问题；

本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 8.【答案】x＜3

【解析】

解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3， 则BD=

=5．

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∵点A、B、C三点都在圆外， ∴x＜3． 故答案为：x＜3；

要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 此题主要考查了点与圆的位置关系，解决本题要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． 9.【答案】20

【解析】

0.05=20． 解：由题意可得：次品数量大约为400×故答案为：20．

利用总数×出现次品的概率=次品的数量，进而得出答案． 此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键． 10.【答案】6.18

【解析】

解：由于C为线段AB=10的黄金分割点， 且AC＞BC，AC为较长线段； 则AC=10×故答案为6.18．

根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC=得出AC的值．

本题考查了黄金分割的定义，理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算． 11.【答案】-13

【解析】

2

解：∵m，n是一元二次方程x+x-12=0的两根，

=5（-1）≈6.18．

AB，代入数据即可

∴m+n=-1，mn=-12， 则m+n+mn=-1-12=-13，

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故答案为：-13．

根据根与系数的关系得到m+n=-1，mn=-12，再利用整体代入的方法计算．

2

本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的两

根时，x1+x2=-，x1x2=． 12.【答案】6

【解析】

解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等， ， ∴这个多边形的中心角=60°∴

=60°，

∴n=6， 故答案为：6；

因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角=60°，构建方程即可解决问题；

本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13.【答案】 【解析】

解：过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，如图所示． 设BC=a，则BD=CD=∴tan∠BAC=故答案为：．

过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设BC=a，利用勾股定理可得出BD=CD=

a、AC=

a，将其代入tan∠BAC=

中即可求出结论．

=

a，AC==

a， =．

本题考查了解直角三角形以及勾股定理，构造直角三角形，利用正切的定义求出tan∠BAC的值是解题的关键．

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14.【答案】m≥- 且m≠1

【解析】

2

解：∵一元二次方程（m-1）x-（2m+1）x+（m+1）=0有实数根， 2

∴△≥0，即（2m+1）-4（m-1）（m+1）≥0，

解得：m≥-， ∵m-1≠0， ∴m≠1，

则m的取值范围是m≥-且m≠1， 故答案为：m≥-且m≠1．

22

根据一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b-4ac的意义得△≥0，2

即（2m+1）-4（m+1）（m-1）≥0且m-1≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 22

本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b-4ac：当△＞0，

方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

15.【答案】（-2，1）或（2，-1）

【解析】

解：∵顶点E的坐标是（-4，2），以原点O为位似中心相似比为1：2将△EFO缩小得到它的位似图形△E′F′O，

2），[-×2]， （-4），×（-4），-×∴点E′的坐标是：（×即（-2，1）或（2，-1）． 故答案为：（-2，1）或（2，-1）．

根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k得出是解题关键． 16.【答案】-6

【解析】

解：如图，Rt△AOB中，∠B=30°，∠AOB=90°， ， ∴∠OAC=60°

∵AB⊥OC，

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， ∴∠ACO=90°， ∴∠AOC=30°

设AC=a，则OA=2a，OC=∴A（

a，a），

（x＞0）的图象上， a2，

a， a，

∵A在函数y=∴2=

a•a=

Rt△BOC中，OB=2OC=2∴BC=∴B（

a，-3a），

=3a，

∵B在函数y=∴k=-3a•

a=-3

（x＞0）的图象上， a2=-3×2=-6，

故答案为：-6．

设AC=a，则OA=2a，OC=

a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分

别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k的值即可．

本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A、B两点的坐标是关键．

17.【答案】解：（1）原式=9- +1=10- ；

（2）当a= +1，b= -1时，原式=3+2 -1+3-2 =5．

【解析】

（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；

（2）把a与b的值代入原式计算即可求出值．

此题考查了分母有理化，零指数幂、负整数指数幂，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18.【答案】36°【解析】

×解：（Ⅰ）360°（1-15%-27.5%-30%-17.5%）

=360°×10%

13 / 20

=36°；

故答案为：36°． （Ⅱ）∵=∴平均数是8.3；

∵9出现了12次，次数最多， ∴众数是9；

∵将40个数字按从小到大排列，中间的两个数都是8， ∴中位数是

（Ⅲ）∵320×

=56， =8；

=8.3，

∴满分约有56人．

（Ⅰ）用360°乘以①所占的百分比，计算即可得解；

（Ⅱ）根据平均数的定义；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数分别解答；

（Ⅲ）用九年级总人数乘以满分的人数所占的份数计算即可得解．

本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

19.【答案】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，

所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为 ；

（2）画树状图如下：

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版） 由树状图知，共有9种等可能结果，其中2次摸出的盒子里的纸片能拼成一个新矩形的有7种结果，

所以2次摸出的盒子里的纸片能拼成一个新矩形的概率为 ． 【解析】

（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．

此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20.【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴△EGC∽△EAB， ∴ = ，即 = ， 解得，CG=1；

（2）证明：∴AB∥CD， ∴△DFG∽△BFA， ∴ = ， ∴AD∥CB，

∴△AFD∽△EFB， ∴ = ，

2

FE． ∴ = ，即AF=FG×

【解析】

（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；

（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明． 本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

21.【答案】解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，

2

根据题意得：10（1+x）=14.4，

解得x1=0.2，x2=-2.2（不合题意舍去）， ∴x=0.2=20%．

15 / 20

答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%；

（2）今年4月份的快递投递任务是14.4×（1+20%）=17.28（万件）． ∵平均每人每月最多可投递0.7万件，

22=15.4＜17.28， ∴22名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.7×

∴该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务， ∴需要增加业务员（17.28-15.4）÷0.7≈2.7≈3（人）．

答：该公司现有的22名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务，至少需要增加3名业务员． 【解析】

（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年1月份与3月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同”建立方程，解方程即可；

（2）首先求出今年4月份的快递投递任务，再求出22名快递投递业务员能完成的快递投递任务，比较得出该公司不能完成今年4月份的快递投递任务，进而求出至少需要增加业务员的人数．

本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 22.【答案】解：（1）如图①中，连接OC．

∵PA是⊙O的切线， ∴PA⊥AB， ∴∠PAB=90°， ∵∠P=35°， ∴∠B=55°， ∵OB=OC，

∴∠B=∠OCB=55°，

-55°-55°=70°∴∠BOC=180°．

（2）如图②中，连接OC，OD，AC．

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版）

∵AB是直径，

∴∠ACB=∠ACP=90°， ∵AD=DP， ∴DC=DA=DB，

∵OA=OC，OD=OD，

∴△ODC≌△ODA（SSS）， ∴∠OCD=∠OAD=90°， ∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切线． 【解析】

（1）连接OC．由AP是⊙O的切线，推出∠PAB=90°，求出∠B，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；

（2）如图②中，连接OC，OD，AC．由△ODC≌△ODA（SSS），推出即可解决问题； ∠OCD=∠OAD=90°

本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

（1）如图所示：过点B作BF⊥AD23.【答案】解：

于点F，过点C作CD⊥AD于点D， 由题意得：AB=650米，BC=1千米， ∴sinα= = = ， =200米， ∴BF=650×

∴小明从A点到点B上升的高度是200米；

（2）∵斜坡BC的坡度为：1：3， ∴CE：BE=1：3， 设CE=x，则BE=3x，

222

由勾股定理得：x+（3x）=500解得：x=50 ，

∴CD=CE+DE=BF+CE=250+50 ，

答：点C相对于起点A升高了（50 +200）米． 【解析】

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（1）根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数关系分别求出BF；

（2）利用坡度的定义求得CE的长，即可得出点C相对于起点A升高的高度． 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数得出BF，CE的长是解题关键．

24.【答案】（1）证明：∵四边形ABDF是正方

形，

∴AB∥CD，

∴∠APD=∠QDP． ∵∠APD=∠QPD， ∴∠QPD=∠QDP， ∴DQ=PQ；

（2）①过Q作QE⊥PD于E， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=90°， ∵tan∠APD=

，AD=2， ∴AP=1.5，

∴PD= =

， ∵DQ=PQ， ∴DE=PE=

， ∵∠APD=∠QPD，

∴tan∠APD=

=tan∠QPD= ， ∴QE=

，

∴DQ= =

， ∴CQ=DQ-CD=

； ②∵AB=2，AP=1.5， ∴PB=

，

∵CQ∥PB，

∴△CQG∽△BPG， ∴

= ， ∴ =

，

∴BG=

． 【解析】

江苏省泰兴市实验初级中学2019届九年级上学期期中考试数学考试试题（解析版）

（1）根据正方形的性质得到AB∥CD，根据平行线的性质得到

∠APD=∠QDP．等量代换得到∠QPD=∠QDP，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①过Q作QE⊥PD于E，解直角三角形得到AP=1.5，根据勾股定理得到PD=

=，DQ=

=

，于是得到结论；②根据相似三

角形的性质列方程即可得到结论．

本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 25.【答案】解：（1）∵x2-8x+12=0

（x-2）（x-6）=0， x1=2，x2=6， ∵6是2的3倍， 2

∴x-8x+12=0是倍根方程；

2

（2）x-3x+2=0的两根分别为1和2， 2

∴x-3x+2=0是一个倍根方程，使其中一根为1；

2

（3）x-（m+3）x+2m+2=0 x2-（m+3）x+2（m+1）=0 （x-2）（x-m-1）=0 x1=2，x2=m+1，

2

则m为0，-2或一切不为-1的奇数时，方程x-（m+3）x+2m+2=0是倍根方程． 【解析】

（1）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义判断即可； （2）根据倍根方程的定义写出方程；

（3）利用因式分解法解出方程，根据倍根方程的定义探索m的取值条件． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

26.【答案】解：（1）由作法，可得OA=OB=AB，

∴△OAB为等边三角形， ∴∠AP1B= ∠AOB=30°；

（2）①如图1，在矩形内作∠BOC=120°，OB=OC，作直线OM⊥BC于M，交AD于P，

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则PM⊥AD，∠BPC= ∠BOC=60°

当⊙O与AD相切于点P时，满足∠BPC=60°的点P恰有1个，

∵BC=2 ，AB=m． ∴OB=OC=2，

∵OM= BO=1，OP=OB=2，

∴m=OP+OM=2+1=3；

②如图2，设⊙O与AB，CD的另一个交点分别为R，S， 当点P在弧BR和弧SC上（不含端点）运动时，满足∠BPC= ∠BOC=60°， 当P在弧BR上运动时，

P与R重合时，BR= BC=2，AP=2，

P与B重合时，AP=4， 当P在弧SC上运动时，

P与S重合时，AP= ， P与C重合时，AP= ，

∴当m=4时，P为矩形ABCD外一点，且满足∠BPC=60°，AP长的取值范围为2＜AP＜4或4＜AP＜ ． 【解析】

（1）由圆周角定理可知∠AP1B=∠AOB=30°；

时，满足（2）①由题意可画出图形，当⊙O与AD相切且圆心角∠BOC=120°的点P恰有1个，此时可构造直角三角形，通过勾股定理，求出m∠BPC=60°的值；

②由题意可画出图形，当点P在弧BR和弧SC上（不含端点）运动时，满足，分别求得AP长的范围即可得出答案． ∠BPC=∠BOC=60°

本题是圆的综合题，也是阅读材料问题，运用类比的思想依次解决问题，本题熟练掌握圆周角定理是关键，是一道不错的几何压轴题．