第２８卷第３期 ２０１１年０６月 工 程 数 学 学 报 ｖ０１．２８ Ｎｏ．３ Ｊｕｎｅ ２０１１ ＣＨＩＮＥＳＥ ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ 文章编号：１００５—３０８５（２０１１）０３—０３８５—０８ 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条及其逼近性质术 谢进 ，一，檀结庆ｚ，李声锋３ （１一合肥工业大学计算机与信息学院，合肥２３０００９；２．合肥学院数学与物理系，合肥２３０６０１； ３一蚌埠学院数学与物理系，蚌埠２３３０００） 摘要：提高插值曲线曲面的逼近性是计算辅助几何设计中的一个重要问题．本文构建了一种带单参数的 分段有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条．讨论了该样条的逼近性，给出了一种提高插值曲线曲面逼近性 的方法，并且给出数值例子．结果表明，对于给定的插值条件，通过选择合适的参数，依本文方 法所生成的插值曲线曲面在逼近效果上好于标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线曲面． 关键词：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；三次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条；Ｐｅａｎｏ－Ｋｅｒｎｅｌ定理；形状参数；逼近性 分类号：ＡＭＳ（２０００１ ４１Ａ１５；６５Ｄ１７ 中图分类号：Ｏ１７４．４１ 文献标识码：Ａ １ 引言 插值法是计算机辅助几何设计中用于曲线曲面造型的一种重要工具．标准的分段三 次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值是其中的一个重要的方法．但是，在插值条件确定的情况下，分段三 次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线的形状完全确定的，插值曲线的逼近效果也随之确定，这种插值被称 之为确定性插值．如何在插值条件确定的情况下提高逼近效果，是计算机辅助几何设计中 的重要研究课题．近些年来，不少作者讨论了有理三次插值样条的逼近性［卜７］，这些插值样 条都具有标准的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值相似的性质．上述文献在讨论插值样条的逼近性时，应 用Ｐｅａｎｏ—Ｋｅｒｎｅｌ定理，证明了插值误差系数是有界的，从而，在理论上，当插值区间 趋于 无穷小时，插值曲线逼近于被插函数，但实际应用过程中，插值区间ｈ 不可能趋于无穷小， 否则会导致计算量的增加．至于在相同的插值条件下，这些样条在逼近效果上能否比标准三 次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条好，这些文献均没有作比较．另外，这些有理形式的插值样条含有多个参 数，使得对它们的有关逼近性讨论变得复杂． 本文提出一种分段有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线，每段只带一个参数，在讨论逼近性及计算 参数取值时都比较简单．对于被插函数，在插值区间不趋于无穷小的情况下，若参数取值合 适，生成的插值曲线在逼近效果上好于标准的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线．数值例子表明，这种参 数取值方法是有效的． ２ 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数和对应的Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线 我们知道，对于给定的节点０＝ｘｏ＜ １＜…＜ ｎ＝ｂ，记 ＝Ｘｉ＋ｌ— ｔ，ｔ＝ 收稿日期：２００９—０８—２４．作者简介：谢进（１９７０年１２月生），男，博士，副教授．研究方向：计算机辅助 几何设计与应用逼近论． 基金项目：国家自然科学基金（６１０７０２２７）；教育部科学技术研究重大项目（３０９０１７）；教育部博士点基 ，在 金（２００７０３５９０１４）安徽省教育厅教研重点项目（２０１００９３５）；合肥学院科研重点项目（１１ＫＹ０２ＺＤ）． 工 程 数 学 学 报 第２８卷 区间 ， 件１］上的标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数具有如下形式 （￡）＝１—３ｔ ＋２ｔ。， ＋１（ ）＝３ｔ。一２ｔ。， Ｇ （ｔ）＝ｔ一２ｔ。＋ｔ。， Ｇｉ＋ｌ（ｔ）＝一ｔ ＋ｔ。， （１） 它们满足 （０）＝Ｆｉ＋ｌ（１）＝１， （１）＝Ｆｉ＋ｌ（０）＝０， （０）＝ （ ）：硌１（０）＝ １（ ）：０， ｆ２１ Ｇｔ（０）＝Ｇｔ（１）：Ｖｉ＋ｌ（０）＝Ｇｉ＋Ｉ（１）＝０， Ｇ：（０）＝ ＋１（１）＝１， （１）＝Ｇ：＋１（０）＝０， 且有 （ｔ）＋Ｅｌ＋１（ｔ）＝１，Ｇｉ（ｔ）＝一Ｇｉ＋ｌ（１一ｔ）． 基于这组基函数的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线具有 连续性，但插值曲线的形状是固定不变 的．带有参数的有理形式的插值样条可以改变插值曲线的形状［１－７１． 下面构建具有三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线性质的有理形式的插值样条曲线．先构建有理形式的 基函数． 定义１对任意实数 ｉ＞一２，０ ｔ １，称 ＲＦｄｔ）＝ 攀黯 ， ＲＧｔ（￡）：再 丽ｔ－２ｔ￣＋（ｔ２３ ， 为带有参数九的有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数． 经简单计算知有 Ｒ （０）＝Ｒ ＋１（１）＝１， Ｒ只（１）＝Ｒ ＋１（０）：０， Ｒ （０）＝Ｒ （ ）＝Ｒ １（０）＝Ｒ ｌ（ ）＝０’ （４） ＲＧｄＯ）＝ＲＧｉ（１）＝ＲＧｉ＋ａ（０）＝ＲＧｉ＋Ｉ（１）＝０， Ｒａ￣（Ｏ）＝ＲＧ：＋１（１）＝１，ＲＧ￣（１）＝ＲＧ：＋１（０）＝０， 且Ｒ （￡）＋Ｒ ＋１（￡）＝１，ＲＧｄｔ）＝－ＲＧｉ＋Ｉ（１一ｔ）． 由上面性质可知，上面的基函数具有与标准三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数相同的特性．特别地， 当 ｔ＝２时，有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数退化为三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数．因此，可用来作两点 的Ｈｅｍｉｔｅ插值．对应的带有参数的有理三次Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线定义为 ＲＨｉ（ｔ）＝ＲＦｉ（ｔ）ｐｉ十Ｒ ＋１（ｔ）仇＋１＋ＲＧｉ（ｔ）ｐ：＋ＲＧｉ＋Ｉ（ｔ）ｐ￣＋１＝０， （５） 其中Ｐｔ，Ｐｉ＋１和 ， ＋】为两个插值端点和端点切矢．在端点及端点切矢不变的情况下，利用 参数 ｉ的不同取值，可以得到不同形状的Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线．图１为有理三次Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线，其 中虚线为标准的三次Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线． 从图象上看，参数具有明显的几何意义，即当参数取值大于或小于２时，对应的图象 在三次Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线的下面或上面．这样，有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线就能比标准的三 次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线更能逼近或偏离被插曲线．因而有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线有更好的 实用性． 第３期 谢进，等：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条及其逼近性质 ３８７ 图１：有理三次Ｆｅｒｇｕｓｏｎ曲线 ３ 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线 定义２给定数据（Ｘｉ，Ｙｉ， ），ｉ＝０，１，…，ｎ，此处，ａ＝ＸＯ＜ １＜…＜ 划点，Ｙｉ和ｄｉ为分划点Ｘｉ处的函数值及一阶导数值．记 ＝Ｘｉ＋ｌ—Ｘｉ，ｔ＝ 数 ＞一２．称 ＝ｂ是分 ，且令参 Ｒ日 （ ）ｌ ，。件 】＝ｙｉＲＦｉ（ｔ）＋ ＋１Ｒ ＋１（ ） ＋ｄｉｈｉＲＧｉ（ｔ）＋ｄｉ＋ｌｈｉＲＧｉ＋ｌ（ ）， ｉ＝０，１，…，ｎ， （６） 为【ａ，ｂ】上的分段有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条．其中ＲＥ（ｔ），Ｒ ＋１（ｔ），ＲＧｉ（ｔ）及ＲＧ￣＋Ｉ（ｔ）为有 理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ基函数． 显然，对给定的数据（ ｉ，Ｙｉ，ｄｉ），ｉ：０，１，…，ｎ，ＲＨ￣（ｘ）满足 Ｒ （ｚｔ）：Ｙｉ， Ｒ （ ｔ）＝ｄｉ， ｉ＝０，１，…，佗． 容易验证，当九＝２时，即为标准的分段三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条．因而有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插 值样条是三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的一种推广． ：假如我们选择适当的参数九，Ｒ巩（ ）还能够变成ｃ。连续的插值样条．事实上，令ＲＨ （ ｔ＋） ＲＨ （ 一），ｉ＝１，２，…，ｎ—ｌ，可以得到如下连续性方程 ｈ ［（ ｔ一１一 ｔ）（１＋ ｔ一１）＋ｈｉ—ｌ（ｄｔ一１＋Ａｔ一１ｄｔ）］ ＝ｈｉ２＿１［（ｙｉ＋１一玑）（１＋九）＋ｈｉ（ ＋１＋九ｄｔ）］， ｉ＝１，２，…，ｎ一１， （７） 称上式为Ｃ 连续性约束条件． 由此，可由［Ｘｏ，Ｘｌ】上的 通过式（７）确定 ｌ，再由 １，通过式（７）确定 ２，依此类推，逐 段构造出［ａ，ｂ］上的Ｃ 连续的有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线． ４ 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线／曲面的逼近性 设被插函数ｆ（ｘ）在插值区间上是 。连续可微的，对有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线，有如下的 误差估计定理． 工 程 数 学 学 报 第２８卷 定理１设ｆ（ｘ）∈ａ＇６］，ａ＝ｘｏ＜ １＜…＜ ＝ｂ是区间【ａ，ｂ］上的一个分划，Ｒｇ（ｘ）为 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，对任意给定的参数 ｔ，当 ∈【Ｘｉ，Ｘｉ＋１］时，有 Ｒ ＬｓＪｌｌ＝ＩＩｆ（ ）一ＲＨ（ ）ｌｌ＜ １ ２ｌ１，（２ （ ） 证明 因为这种插值具有局部性质，只需考虑在［ａ，ｂ】的子区间上的误差即可．容易验证： 该种插值对一次多项式精确成立，于是当 ∈［Ｘｉ，Ｘｉ＋１］时，利用Ｐｅａｎｏ—Ｋｅｒｎｅｌ定理［８］，有 Ｒ［，］＝，（ ）一ＲＨ（ｘ）＝／ｆ ｘｉ １ ，（。 （丁） ［ｘ一 ）＋］ｄ７－， ＋ 此处 Ｒ ｃ 一丁 ＋ ＝ （ｘ － Ｔ）－ （ １ － ｔ ）［３ （Ｘ ｉ ＋１－ｔ ２ ３ （ｘ ｉ＋ｈ ｉ） ］ｔ－ 一，３一一。＋＋一，１一 ’ 二 ， ｐ（７．）， ｔ＜ ＜ ， 一 ｑ（７－）， ＜７－＜ ＋ ． 首先考察ｑ（７．）在 ，Ｘｉ＋１】上的性质．容易得到ｑ（ｘ）＝２ｔ （ 一１）（ 件１一 ）＜０，且由ｑ（ｘｉ＋１） ＝ｔ２ Ｘｉ十１一 ）＞０可知口（７－）在（Ｘ，Ｘｉ＋１）有一个根，可求得该根为 一 接下来，考察ｐ（７－）在（Ｘｉ，Ｘ）上的性质．因为ｐ（７－）＝（ 一７－）＋ｑ（Ｔ），于是ｐ（ｘ）＝ｑ（ｘ）＜０， Ｒｐ（ｘｉ）＝（Ｘ—Ｘｉ）＋ｑ（ｘｉ）＝ｔ（１一ｔ） ｈｉ＞０． 同样可求得ｐ（７－）在（ ，Ｘｉ＋１）的根为 一 一 ． 于是就有 ＩＩ— Ｉ Ｉｆ（ｘ）ＲＨ（— ｘ）Ｉ ｌＩ ｌＩｓ（＝。Ｊ ＋ ）ｌｄ丁ｆＸ／ ｐ（Ｔ）ｄＴ ＋／ｌｐ（丁） ｉ＋ｌｑ（＇ｒ）ｄＴ Ｊ …ＩＩｆ（２）ｌｌｈ ． ）＝ 易求得 ｍａｘ 、０＜ｔ＜１（ ） 一１６‘ ＜ｔ＜， ０１ 证毕 定理１说明，当插值区间ｈ 一０时，插值曲线能很好地逼近于被插函数．在实际应用过程 中，这种逼近条件还可以适当地放宽，比如：插佰区间ｈ 可以不需要很小，只要参数取信得 第３期 谢进，等：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条及其逼近性质 ３８９ 当，有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条也能很好地逼近被插函数．甚至比三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条逼近 效果还好．这里，我们先给出“好的逼近”的定义． 定义３设［ｘｔ，ｘ件１】上的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条为 （ ），有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条Ｒ （ ）， 被插函数为ｙ（ｘ）．定义 ＲＨｅ ｍａｘ ＩＲ （ｘ）一ｙ（ｘ）１．Ｈｅｉ＝ｚｔ ｚ‘、ｚｔ＋１ ｍ，ａ，ｘ， Ｉ ｘ）一ｙ（ｘ）Ｉ， ｔ＼山＼山ｔ十１ 则当ＲＨｅ ＜日￡ 时，称Ｒ巩（ ）比玩（ ）在 ，Ｘ件１］上对ｙ（ｘ）有好的逼近． 根据定义３，可由不等式兄 例１设被插函数为 ＜日￡ｔ解得在每个区间上参数九的取值范围，在参数九取 值范围内任取一个值，都可保证在整个插值区间上生成一条“好的逼近”曲线． ）＝ ｓ ｎ（ ）， 节点取 ＝ｉ（ｉ＝１，２，…，１０），即插值区间ｈｔ＝１（ｉ＝１，２，…，９），由不等式ＲＨｅｉ＜Ｈｅｉ可 计算出在各区间上参数九的取值范围．表１给出了对于给定的插值条件， ｔ的取值与各区间的 误差最大值．图２在同一个坐标系画出了ＲＨ（ｘ），Ｈ（ｘ）和ｙ（ｘ），实际上三者在区间［０，２］上几 乎重合，为了便于区别观察，图２中的ＲＨ（ｘ）整体上升０．０４个单位，Ｈ（ｘ）整体下降０．０４个单 位．图３表示ＲＨ（ｘ）与Ｈ（ｘ）相对于ｙ（ｘ）的误差曲线，由此可见，只要参数选择的得当，有理 三次样条插值曲线比三次样条插值曲线相对于被插值曲线有好的逼近． 表１：对给定的插值条件， ｔ的取值与各区间的误差最大值 ． 图２：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线（上）、被插曲线（中）和三次Ｈｅｒｍｉｔｅ￣－条曲线（下） ３９０ 工 程 数 学 学 报 第２８卷 ： ． … Ｏ ＼／ ，，．．．．．．．０ ０ １旭 图３：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线（蓝）和三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线（红）的误差曲线 ０ １旭肥采用张量积的方法，我们可以构建分片有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面．有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值 曲面与三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条曲线相似的性质． 定义４设ｆ（ｘ，Ｙ）为定义在【ａ，ｂ］×【ｃ，ｄ］的二元函数，ａ＝ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜ Ｙｏ＜Ｙｌ＜…＜Ｙ ＝ｄ是分划点，记 一 一 ，一 ＝ｂ，ｃ＝ 删 川 ㈤ （８） 给定函数的端点、端点的一阶偏导数及二阶混合偏导数的值，当选择适当的参数时，有理 三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值衄面比三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面有好的逼近． 例２取被插函数为 ，（ ， ）＝ｓｉｎ（ ）ｃ。ｓ（ ）， 分划点为ａ＝０＜１＜２＝ｂ，ｃ＝一１＜０＜１＝ｄ，即插值区域为［０，２】×［一１，１］，当参数取值 为 １＝ ２＝１．７９２２，可计算出被插函数与有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面在［０，２】×［一１，１】上的最 大误差为３．８×１０＿。。，如图４．而被插函数与三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面在【０，２】×『一１，１１上的最大 误差为１．６×１０＿。，如图５． 第３期 谢进，等：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条及其逼近性质 Ｌ ｍ ｎ ３９１ 注：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面、三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面及被插函数的图象几乎重合， 为了观察方便，图６和图７中的有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面与三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲面分别下降 了１个单位． Ｌ ｎ ｍ ｎ Ｌ 图４： 有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲面与被插函数的误差 图５： 三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲面与被插函数的误差 图６：有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲面（下）与被插函数（上） 图７：三次Ｈｅｒｍｉｔｅ曲面（下）与被插函数（上） ５ 结论 本文提出了一种有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线．利用Ｐｅａｎｏ—Ｋｅｒｎｅｌ定理，证明了其逼近性 质．只要参数选择得当，有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线比标准的三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线具有较好 的逼近效果．值得一提的是，每一段插值曲线只含有一个参数，计算比较简单． 如果选择参数的合理，这种有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值曲线的形状具有良好的可约束性，可另 行文研究． 参考文献： 【１】Ｈａｌｌ Ｃ Ａ，Ｍｅｙｅｒ Ｗ Ｗ．Ｏｐｔｉｍａｌ ｅｒｒｏｒ ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ，１９７６，１６（２）：１０５—１２２ ３９２ 工 程 数 学 学 报 第２８卷 ［２】Ｄｕａｎ Ｑ，Ｄｊｉｄｊｅｌｉ Ｋ，Ｐｒｉｃｅ Ｗ Ｇ，ｅｔ ａＪ．Ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，１９９８，２２（４）：４７９—４８６ ［３］Ｄｕａｎ Ｑ，Ｄｊｉｄｊｅｌｉ Ｋ，Ｐｒｉｃｅ Ｗ Ｇ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｏｍｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ＠ｌｉｎｅｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９９，７２（２）：１５５—１６６ 【４】Ｓａｒｆｒａｚ Ｍ．Ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｃｕｒｖｅｓ ｗｉｔｈ ｓｈａｐｅ ｃｏｎｔｒｏｌ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｎｄ Ｇｒａｐｈｉｃｓ，１９９４，１８（５）：７０％７１３ ［５】Ｄｕａｎ Ｑ，Ｌｉｕ Ａ Ｋ，Ｃｈｅｎｇ Ｆ Ｈ．Ｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ ｕｓｉｎｇ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ｌｉｎｅａｒ ｄｅｎｏｍｉｎａ－ ｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｋｏｒｅａｎ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ ａｎｄ Ａｐｐｉｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１９９９，６（１）：２０３—２１５ 【６］刘爱奎，段奇，单沪军，等．加权有理三次插值的逼近性质及其应用［Ｊ］．高校应用数学学报Ａ辑，２０００，１５（２）： ２１１．２１８ Ｌｉｕ Ａ Ｋ，Ｄｕａｎ Ｑ，Ｓｈａｎ Ｈ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｗｅｉｇｈｔｅｄ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ：Ａ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｉｅｓ，２０００，１５（２）：２１１—２１８ 【７］来翔，刘爱奎，段奇．一类具有线性分母的有理插值样条的逼近问题ｒＪ］．工程数学学报，２００２，１９（１）：９４—９８ Ｌａｉ Ｘ，Ｌｉｕ Ａ Ｋ，Ｄｕａｎ Ｑ．Ｔｈｅ ｅｒｒｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ ｓｐｌｉｎｅ［Ｊ１．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，２００２，１９（１）：９４—９８ 【８１黄友谦，李岳生．数值逼近（第二版）【Ｍ１．北京：高等教育出版社，１９８７ Ｈｕａｎｇ Ｙ Ｑ，Ｌｉ Ｙ Ｓ．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ（２ｎｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ）［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｈｉｇｈｅｒ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｐｒｅｓｓ，１９８７ Ｒａｔｉｏｎａｌ Ｃｕｂｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ Ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ Ｓｐｌｉｎｅ ａｎｄ ｉｔｓ Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ＸＩＥ Ｊｉｎ ，一，ＴＡＮ Ｊｉｅ－ｑｉｎｇ。，ＬＩ Ｓｈｅｎｇ—ｆｅｎｇ。 （１一Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｏｍｐｕｔｅｒ＆Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ、Ｈｅｆｅｉ ２３０００９； ２一Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ ２３０６０１； ３一Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｂｅｎｇｂｕ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｂｅｎｇｂｕ ２３３０００） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｃｕｒｖｅｓ／ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｓ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｉｓｓｕｅ ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔｅｒ ａｉｄｅｄ ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ｄｅｓｉｇｎ．Ａ ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｓｐｌｉｎｅ ｗｉｔｈ ａ ｓｉｎｇｌｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒ ｉｓ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．Ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｓｐｌｉｎｅ ａｒｅ ｓｔｕｄｉｅｄ ａｎｄ ａ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｉｍｐｒｏｖｉｎｇ ｔｈｅ ａｐｐｒｏｘｉｍａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅｓ／ｓｕｒｆａｃｅｓ ｉｓ ｉｎｔｒｏ－ ｄｕｃｅｄ．Ｅｘａｍｐｌｅｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅ ｔｈｅ ａｄｖａｎｔａｇｅｓ ｏｆ ｏｕｒ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ，ｆｏｒ ｇｉｖｅｎ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ，ｉｆ ｔｈｅ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ ａｒｅ ｃｈｏｓｅｎ ｐｒｏｐｅｒｌｙ，ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｃｕｒｖｅｓ／ｓｕｒｆａｃｅｓ ｃａｎ ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｔｅｒ ｔｈａｎ ｔｈｅ ｓｔａｎｄａｒｄ ｃｕｂｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｉｎｔｅｒｐｏｌａｔｉｎｇ ｃｕｒｖｅｓ／ｓｕｒｆａｃｅｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒａｔｉｏｎａｌ ｃｕｂｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｓｐｌｉｎｅ；ｃｕｂｉｃ Ｈｅｒｍｉｔｅ ｓｐｌｉｎｅ；Ｐｅａｎｏ－Ｋｅｒｎｅｌ ｔｈｅｏｒｅｍ；ｓｈａｐｅ ｐａｒａｍ． ｅｔｅｒ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ：２４ Ａｕｇ ２００９． Ａｃｃｅｐｔｅｄ：２１ Ａｐｒ ２０１０． Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｉｔｅｍ：Ｔｈｅ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（６１０７０２２７）；ｔｈｅ Ｋｅｙ Ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆ３０９０１７）；ｔｈｅ Ｄｏｃｔｏｒａｌ Ｐｒｏｇｒａｍ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ（２００７０３５９０１４）；ｔｈｅ Ｋｅｙ Ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ａｎｈｕｉ Ｐｒｏｖｉｎｃｉａｌ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ（２０１００９３５）；ｔｈｅ Ｋｅｙ Ｐｒｏｊｅｃｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｔｉｉｆｃ Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｈｅｆｅｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（１１ＫＹ０２ＺＤ）．
