2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 平均每天销售数量（件） 39 10 40 12 41 20 42 12 43 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A．平均数 B．众数
C．方差
D．中位数
2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A．0分 B．2分 C．4分 D．6分
3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
4．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（ ） A． B．
C．
D．
5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（ ） A．36πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2
6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．6
7．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ ） A．2r B．
C．
D．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．
D．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（2分）tan60°= ． 10．（2分）已知
，则xy= ．
11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为 ．
12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是 ．
13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 ．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为 ．
三、解答题（共9小题，满分68分） 17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2； （2）计算：
sin45°+3cos60°﹣4tan45°．
18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩； （2）哪个班的成绩比较整齐？
19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．
20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根：
（2）当k的值取 时，方程有整数解．（直接写出3个k的值）
22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上． （1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由
的中点，过点C作直线CD⊥
（2）若AD=2，AC=，求⊙O的半径．
25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 ； （2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值； （3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
2019-2020学年江苏省常州市九年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分） 1．（2分）美美专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码 平均每天销售数量（件） 39 10 40 12 41 20 42 12 43 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A．平均数 B．众数
C．方差
D．中位数
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：B．
2．（2分）如图，是小明的练习，则他的得分是（ ）
A．0分 B．2分 C．4分 D．6分 【解答】解：（1）x2=1， ∴x=±1，
∴方程x2=1的解为±1，所以（1）错误； （2）sin30°=0.5，所以（2）正确； （3）等圆的半径相等，所以（3）正确；
这三道题，小亮答对2道，得分：2×2=（4分）． 故选：C．
3．（2分）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【解答】解：∵OB=3OB′， ∴
，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′， ∴△A′B′C′∽△ABC， ∴=．
∴=，
故选：D．
4．（2分）在△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，则cosA的值是（ A． B．
C．
D．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=1，BC=2， ∴AB===
，
∴cosA==
=
，
故选：C．
5．（2分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为（A．36πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2 【解答】解：由勾股定理得：圆锥的母线长=
=10，
） ） ∵圆锥的底面周长为2πr=2π×6=12π， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为12π， ∴圆锥的侧面积为：×12π×10=60π． 故选：C．
6．（2分）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A．﹣3 B．﹣2 C．3
D．6
【解答】解：设方程的另一个根为t， 根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3， 即方程的另一个根是﹣3． 故选：A．
7．（2分）半径为r的圆的内接正三角形的边长是（ A．2r B．
C．
D．
【解答】解：如图所示，OB=OA=r；， ∵△ABC是正三角形，
由于正三角形的中心就是圆的圆心， 且正三角形三线合一， 所以BO是∠ABC的平分线； ∠OBD=60°×=30°， BD=r•cos30°=r•
；
根据垂径定理，BC=2×r=
r．
故选：B．
）
8．（2分）如图，在△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C．
D．
【解答】解：A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C．两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D．两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确． 故选：D．
二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分） 9．（2分）tan60°= ． 【解答】解：tan60°的值为故答案为：
．
．
10．（2分）已知，则xy= 6 ．
【解答】解：∵=， ∴xy=6． 故答案为：6．
11．（2分）一组数据6，2，﹣1，5的极差为 7 ． 【解答】解：极差=6﹣（﹣1）=7． 故答案为7．
12．（2分）如图，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率是
．
【解答】解：指针停止后指向图中阴影的概率是：故答案为：．
=；
13．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58 °．
【解答】解：如图，连接OB， ∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°， ∴∠C=58°． 故答案为58．
14．（2分）某超市今年l月份的销售额是2万元，3月份的销售额是2.88万元，从1月份到3月份，该超市销售额平均每月的增长率是 20% ．
【解答】解：设该超市销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元， 根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该超市销售额平均每月的增长率是20%． 故答案为：20%．
15．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：
①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有 ①②③④ ．
【解答】解：∵∠A=90°，AD⊥BC，
∴∠α+∠β=90°，∠B+∠β=90°，∠B+∠C=90°， ∴∠α=∠B，∠β=∠C， ∴sinα=sinB，故①正确； sinβ=sinC，故②正确； ∵在Rt△ABC中sinB=
，cosC=
，
∴sinB=cosC，故③正确； ∵sinα=sinB，cos∠β=cosC， ∴sinα=cos∠β，故④正确； 故答案为①②③④．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0），点P是直线y=2x+2上的一动点，当以P为圆心，PO为半径的圆与△AOB的一条边所在直线相切时，点P的坐标为 （0，2），（﹣1，0），（﹣，1） ．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别是（0，2）、（4，0）， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+2， ∵点P是直线y=2x+2上的一动点，
∴两直线互相垂直，即PA⊥AB，且C（﹣1，0）， 当圆P与边AB相切时，PA=PO， ∴PA=PC，即P为AC的中点， ∴P（﹣，1）；
当圆P与边AO相切时，PO⊥AO，即P点在x轴上， ∴P点与C重合，坐标为（﹣1，0）；
当圆P与边BO相切时，PO⊥BO，即P点在y轴上， ∴P点与A重合，坐标为（0，2）；
故符合条件的P点坐标为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）， 故答案为（0，2），（﹣1，0），（﹣，1）．
三、解答题（共9小题，满分68分） 17．（8分）（1）解方程：x（x+3）=﹣2； （2）计算：
sin45°+3cos60°﹣4tan45°．
【解答】解：（1）方程整理，得x2+3x+2=0， 因式分解，得 （x+2）（x+1）=0， 于是，得 x+2=0，x+1=0， 解得x1=﹣2，x2=﹣1； （2）原式==1+1.5﹣4 =﹣1.5．
18．（8分）体育老师对九年级甲、乙两个班级各10名女生“立定跳远”项目进行了检测，两班成绩如下：
甲班 13 11 10 12 11 13 13 12 13 12
乙班 12 13 13 13 11 13 6 13 13 13
（1）分别计算两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩； （2）哪个班的成绩比较整齐？ 【解答】解：（1）
=
=
（13+11+10+12+11+13+13+12+13+12）=12（分），
×
+3×﹣4×1
（12+13+13+13+11+13+6+13+13+13）=12（分）．
故两个班女生“立定跳远”项目的平均成绩均为12分；
（2）S甲2=S乙2=
×[4×（13﹣12）2+3×（12﹣12）2+2×（11﹣12）2+（10﹣12）2]=1.2，
×[7×（13﹣12）2+（12﹣12）2+（11﹣12）2+（6﹣12）2]=4.4，
∵S甲2＜S乙2，
∴甲班的成绩比较整齐．
19．（8分）校园歌手大赛中甲乙丙3名学生进入了决赛，组委会决定通过抽签确定表演顺序．
（1）求甲第一个出场的概率； （2）求甲比乙先出场的概率．
【解答】解：（1）∵甲、乙、丙三位学生进入决赛， ∴P（甲第一位出场）=；
（2）画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况， ∴P（甲比乙先出场）==．
20．（6分）如图，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上△ABC和△DEF相似吗？为什么？
【解答】解：△ABC和△DEF相似．理由如下： 由勾股定理，得AB=2，AC=2∵
=
，
=
=
，
，BC=2 =
=，DE=，
，DF=
，EF=2，
∴===，
∴△ABC∽△DEF．
21．（6分）已知关于x的方程（x﹣1）（x﹣4）=k2，k是实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根：
（2）当k的值取 ﹣2、0、2 时，方程有整数解．（直接写出3个k的值） 【解答】（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+4﹣k2=0． ∵△=（﹣5）2﹣4×1×（4﹣k2）=4k2+9＞0，
∴不论k为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：原方程可化为x2﹣5x+4﹣k2=0． ∵方程有整数解， ∴x=
为整数，
∴k取0，2，﹣2时，方程有整数解．
22．（6分）如图，为了测得旗杆AB的高度，小明在D处用高为1m的测角仪CD，测得旗杆顶点A的仰角为45°，再向旗杆方向前进10m，又测得旗杆顶点A的仰角为60°，求旗杆AB的高度．
【解答】解：设AG=x． 在Rt△AFG中， ∵tan∠AFG=∴FG=
，
，
在Rt△ACG中，∵∠GCA=45°，
∴CG=AG=x， ∵DE=10， ∴x﹣
=10，
， +1=16+5
．
）米．
解得：x=15+5∴AB=15+5
答：电视塔的高度AB约为（16+5
23．（8分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，矩形DEFG的顶点D、G分别在AC、BC上，边EF在AB上． （1）求证：△AED∽△DCG；
（2）若矩形DEFG的面积为4，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°， ∴∠B=∠A=45°，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠AED=∠DEF=90°，DG∥AB， ∴∠CDG=∠A， ∵∠C=90°， ∴∠AED=∠C，
∴△AED∽△DCG； （2）解：设AE的长为x，
∵等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4， ∴∠A=∠B=45°，AB=4∵矩形DEFG的面积为4，
∴DE•FE=4，∠AED=∠DEF=∠BFG=90°， ∴BF=FG=DE=AE=x， ∴EF=4即x（4
﹣2x， ﹣2x）=4，
． ．
，
解得x1=x2=∴AE的长为
24．（8分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O，C为AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由 （2）若AD=2，AC=
，求⊙O的半径．
的中点，过点C作直线CD⊥
【解答】解：（1）相切，连接OC， ∵C为
的中点，
∴∠1=∠2， ∵OA=OC， ∴∠1=∠ACO， ∴∠2=∠ACO， ∴AD∥OC， ∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切； （2）连接CE， ∵AD=2，AC=
，
∵∠ADC=90°， ∴CD=
=
，
∵CD是⊙O的切线， ∴CD2=AD•DE， ∴DE=1， ∴CE=∵C为
=
的中点，
，
，
∴BC=CE=
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴AB=
=3．
∴⊙O的半径为1.5．
25．（10分）如图，平面直角坐标系中有4个点：A（0，2），B（﹣2，﹣2），C（﹣2，2），D（3，3）．
（1）在正方形网格中画出△ABC的外接圆⊙M，圆心M的坐标是 （﹣1，0） ； （2）若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求DG的最大值； （3）点P在直线MB上，若⊙M上存在一点Q，使得P、Q两点间距离小于1，直接写出点P横坐标的取值范围．
【解答】解：（1）如图所示；M（﹣1，0）； 故答案为（﹣1，0）．
（2）连接MD，MG，ME， ∵点G为弦EF的中点，EM=FM=∴MG⊥EF， ∵EF=4， ∴EG=FG=2， ∴MG=
1，
，
∴点G在以M为圆心，1为半径的圆上，
∴当点G在线段DM延长线上时DG最大，此时DG=DM+GM， ∵DM=
=5，
∴DG的最大值为5+1=6；
（3）设P点的横坐标为x，
当P点位于线段MB及延长线上且P、Q两点间距离等于1，时， =，
∴
=
或=
解得|xp|=2+
或2﹣
，
∵此时P点在第三象限， ∴x＜0， ∴x=﹣2﹣
或﹣2+
，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣2﹣
＜x＜﹣2+
；当P点位于线段BM及延长线上且P、Q两点间距离等于1时，则PQ：AM=|x|：=，
解得|x|=
，
∵此时P点在第一或二象限， ∴x=±
，
即当P、Q两点间距离小于1时点P横坐标的取值范围为﹣＜x
；
综上所述，点P横坐标的取值范围为﹣＜x
或﹣2﹣
＜x＜﹣2+
；
M|，
|x
