2020-2021学年江西省抚州市八年级(下)期末数学试卷(解析版)

一、选择题(共6小题,每小题3分,共18分)

1．以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

2．若a＞b，则下列各式中不成立的是（ ） A．a+5＞b+5

B．a﹣1＞b﹣1

C．

D．﹣2a＜﹣2b

3．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后点A的对应点的坐标为（﹣2，5），则点B的对应点的坐标为（ ） A．（﹣1，3） 4．若关于x的分式方程A．1

B．2

B．（﹣1，﹣1）

C．（5，3）

D．（5，﹣1）

有增根，则m的值为（ ）

C．﹣1

D．﹣2

5．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+4相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2＜ax+4的解集为（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

6．C重合）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，，将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7．若分式

的值为0，则x＝ ．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为 ．

9．如图，两个全等的正五边形都有一条边在直线l上，且有一个共同顶点O，则∠AOB＝ ．

10．已知m+n＝3，则m2﹣n2+6n＝ ．

11．在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为 ．

12．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q

两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝ 时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13．（1）因式分解：m3﹣m； （2）解不等式组：

．

14．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB．

15．先化简值．

，再从﹣2＜x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求

16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点E为AD的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，在BC上求作一点F，使得∠AFD＝90°； （2）在图2中，作出AB边上的中点M．

17．近年来我国非常重视中学生的身体素质，体育成了中考的必考项目．如图是抚州某校一次体育训练中小强与小明两人的对话，请根据对话，求出小明这次训练中跑步的平均速度．

四.(本大题共3小题,每小题8分,共24分)

18．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．

（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A3B3C3； （4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 ．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE；

（2）若点F为BC的中点，求EF的长．

20．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接

分解多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．

例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by． 解：原式＝（ax+ay）+（bx+by） ＝a（x+y）+b（x+y） ＝（a+b）（x+y）．

例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2． 解：原式＝x2+2xy+y2﹣1 ＝（x+y）2﹣1

＝（x+y+1）（x+y﹣1）．

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式： ①x2﹣xy+5x﹣5y； ②m2﹣n2﹣4m+4；

（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状． 五.(本大题共2小题,每小题9分,共18分)

21．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是是非凡三角形．

（1）判断：等腰直角三角形 非凡三角形（填“是”或“不是”）； （2）若△ABC是非凡三角形，且AB＝3，BC＝6，则AC＝ ；

（3）如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，且△ABD是非凡三角形，求AC的值．

，2和3，因为

+32＝12＝3×22，所以这个三角形

22．疫情复学返校之前，为方便快速筛查体温异常学生，某校准备购买A，B两种型号的额

温，已知每支A型额温比每支B型额温贵50元，买1支A型额温和2支B型额温共500元．

（1）每支A型、B型额温的价格各是多少元？

（2）该校欲购进A，B型额温共100支，且A型额温的数量不少于B型额温的数量，购买的总金额不超过17600元，则共有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若购买A型额温m支，写出购买总费用w（元）与m的表达式，并求出w的最小值． 六.(本大题共12分)

23．如图，在▱ABCD中，AB＝1，BC＝

，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点O，

将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交AD，BC于点E，F．

（1）当旋转角为90°时，如图1，求证：四边形ABFE是平行四边形； （2）在旋转过程中，线段OE与OF是否总保持相等，并说明理由； （3）在旋转过程中，当EB＝ED时，如图2． ①求出此时AC绕点O顺时针旋转的锐角度数； ②直接写出OE的值．

参

一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)

1．以下四幅图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B．

C． D．

【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B．

2．若a＞b，则下列各式中不成立的是（ ） A．a+5＞b+5

B．a﹣1＞b﹣1

C．

D．﹣2a＜﹣2b

【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解：A．∵a＞b，

∴a+5＞b+5，故本选项不符合题意；

B．∵a＞b，

∴a﹣1＞b﹣1，故本选项不符合题意； C．∵a＞b， ∴

，故本选项符合题意；

D．∵a＞b，

∴﹣2a＜﹣2b，故本选项不符合题意； 故选：C．

3．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后点A的对应点的坐标为（﹣2，5），则点B的对应点的坐标为（ ） A．（﹣1，3）

B．（﹣1，﹣1）

C．（5，3）

D．（5，﹣1）

【分析】根据：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律即可解决问题．

解：将点A（2，﹣1）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点（﹣2，5），

∴点B的坐标为（2，1）向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到（﹣1，3）， 故选：A．

4．若关于x的分式方程A．1

B．2

有增根，则m的值为（ ）

C．﹣1

D．﹣2

【分析】根据分式方程有增根，确定出x的值，分式方程去分母转化为整式方程，把x的值代入整式方程计算即可求出m的值． 解：原分式，整理可得：去分母，得：x+1+x﹣1＝﹣m， ∵原分式方程有增根， ∴x﹣1＝0，即x＝1， 当x＝1时，1+1+1﹣1＝﹣m， ∴m＝﹣2， 故选：D．

5．如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+4相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2＜ax+4

，

的解集为（ ）

A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

【分析】将点P（m，3）代入y＝x+2，求出点P的坐标，结合函数图象即可求得关于x的不等式x+2＜ax+4的解集． 解：点P（m，3）代入y＝x+2， ∴m＝1， ∴P（1，3），

结合图象可知关于x的不等式x+2＜ax+4的解集为x＜1； 故选：B．

6．C重合）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D是BC边上一个动点（点D不与B，，将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB，过点F作BC的平行线交AC于点E，连接DF，下列四个结论中：①旋转角为60°；②△ADF为等边三角形；③四边形BCEF为平行四边形；④BF＝AE．其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据旋转的性质得到△AFB≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，求得∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，于是得到①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确；推出∠ABF＝∠BAC，根据平行线的判定定理得到FB∥AC，推出四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确；根据平行四边

形的性质得到BF＝CE，由于点E不一定是AC的中点，得到AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误，

解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度后得到△AFB， ∴△AFB≌△ADC，

∴∠BAF＝∠CAD，AF＝AD，

∴∠FAB+∠BAD＝∠BAD+∠CAD＝∠BAC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，

∴∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝60°，

∴①旋转角为60°正确；②△ADF为等边三角形正确； ∵△AFB≌△ADC， ∴∠ABF＝∠C＝60°． 又∵∠BAC＝∠C＝60°， ∴∠ABF＝∠BAC， ∴FB∥AC， 又∵BC∥EF，

∴四边形BCEF是平行四边形，故③四边形BCEF为平行四边形正确； ∴BF＝CE，

∵点E不一定是AC的中点，

∴AE不一定等于CE，故④BF＝AE错误， 故选：C．

二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 7．若分式

的值为0，则x＝ 2021 ．

【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求出x的值即可．

解：∵分式的值为0，

∴x﹣2021＝0且x+2020≠0， 解得：x＝2021． 故答案是：2021．

8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为 3 ．

【分析】由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD＝30°，结合已知条件和对角对等边推知AD＝BD＝6，所以在含有30度角的直角△ACD中来求CD的长度即可． 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝60°， 又AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴AD＝BD＝6， ∴CD＝AD＝3， 故答案是：3．

9．如图，两个全等的正五边形都有一条边在直线l上，且有一个共同顶点O，则∠AOB＝ 36° ．

【分析】求出正五边形的每个外角度数，再根据三角形的内角和求∠AOB． 解：∵正五边形的每个外角是360°÷5＝72°， ∴∠OAB＝∠OBA＝72°，

∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝36°，

故答案为：36°．

10．已知m+n＝3，则m2﹣n2+6n＝ 9 ．

【分析】将m2﹣n2+6n进行变形，再整体代入计算即可． 解：因为m+n＝3， 所以m2﹣n2+6n ＝（m+n）（m﹣n）+6n ＝3（m﹣n）+6n ＝3m﹣3n+6n ＝3（m+n） ＝3×3 ＝9， 故答案为：9．

11．在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为 ﹣1 ．

【分析】根据新运算法则得到不等式x﹣2m≤3，通过解不等式即可求m的取值范围，结合图象可以求得m的值．

解：根据图示知，不等式的解集是x≤1， ∵a*b＝a﹣2b，x*m≤3， ∴x﹣2m≤3， ∵x≤3+2m， ∴3+2m＝1， 解得m＝﹣1． 故答案是：﹣1．

12．在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B（﹣3，2），点C（0，2），点P从点B出发，以2个单位每秒的速度沿射线BC运动，点Q从点A出发，开始以1个单位每秒的速度向原点O运动，到达原点后立刻以原来3倍的速度沿射线OA运动，若P，Q两点同时出发，设运动时间为t秒，则当t＝ 1或3或13 时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形．

【分析】利用A、B、C的坐标可得到OA＝4，BC＝3，BC∥x轴，根据平行四边形的判定，当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形，讨论：若0＜t＜时，3﹣2t＝t；若＜t＜4时，2t﹣3＝t；若4＜t＜

时，2t﹣3＝4﹣3（t﹣4）；若t＞

时，2t﹣3＝3（t﹣4）﹣4，然后分别解方程可确定满足条件的t的值． 解：∵A（4，0），B（﹣3，2），C（0，2）， ∴OA＝4，BC＝3，BC∥x轴， ∵PC∥AQ，

∴当PC＝AQ时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形， 若0＜t＜时，BP＝2t，PC＝3﹣2t，AQ＝t，此时3﹣2t＝t，解得t＝1； 若＜t＜4时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，AQ＝t，此时2t﹣3＝t，解得t＝3； 若4＜t＜

时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝4﹣3（t﹣4），此时2t﹣3

（舍去）；

＝4﹣3（t﹣4），解得t＝若t＞

时，BP＝2t，PC＝2t﹣3，OQ＝3（t﹣4），AQ＝3（t﹣4）﹣4，此时2t﹣3＝3

（t﹣4）﹣4，解得t＝13；

综上所述，当t为1或3或13秒时，以点A，Q，C，P为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为1或3或13．

三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13．（1）因式分解：m3﹣m； （2）解不等式组：

．

【分析】（1）先提公因式m，再利用平方差公式即可； （2）根据解不等式组的方法求解即可．

解：（1）原式＝m（m2﹣1）＝m（m+1）（m﹣1）；

（2）

解：由①得，x＞﹣1， 由②得，x≥2，

两个不等式的解集在同一条数轴上表示为，

∴原不等式组的解集为x≥2．

14．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB．

【分析】（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC＝BD，AB＝BA，得出Rt△ABC≌Rt△BAD，

（2）根据Rt△ABC≌Rt△BAD，得出∠CAB＝∠DBA，从而证出OA＝OB，△OAB是等腰三角形．

【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠ADB＝∠ACB＝90°， 在Rt△ABC和Rt△BAD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， （2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD， ∴∠CAB＝∠DBA， ∴OA＝OB． 15．先化简值．

【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从﹣2＜x≤2中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可解答本题．

，再从﹣2＜x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求

解：

＝＝

，

∵（x+1）（x﹣1）≠0， ∴x＝±1，

又∵﹣2＜x≤2且x为整数， ∴x＝0或2， 当x＝0时，原式＝

＝﹣1．

16．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，点E为AD的中点，请仅用无刻度直尺完成以下作图： （1）在图1中，在BC上求作一点F，使得∠AFD＝90°； （2）在图2中，作出AB边上的中点M．

【分析】（1）如图1，先作平行四边形的对角线，则可确定BC边上的中点F，利用AD＝2AB可证明△ABF和△CDF都为等腰三角形，则可证明AF平分∠BAD，DF平分∠CDA，从而得到∠AFD＝90°；

（2）如图2，先作平行四边形的对角线，则可确定BC边上的中点F，则四边形ABFE为平行四边形，接着作平行四边形ABFE的对角线，然后利用对角线互相平分可确定AB的中点M．

解：（1）如图，点F为所作； （2）如图，点M即为所求．

17．近年来我国非常重视中学生的身体素质，体育成了中考的必考项目．如图是抚州某校一次体育训练中小强与小明两人的对话，请根据对话，求出小明这次训练中跑步的平均速

度．

【分析】设小明的平均速度为x米/秒，则小强的平均速度为1.2x米/秒，由小强的对话，列出分式方程，解方程即可．

解：设小明的平均速度为x米/秒，则小强的平均速度为1.2x米/秒， 根据题意：解得：x＝经检验，x＝

，

是原方程的解，

米/秒． ﹣

＝40，

即小明的平均速度为

四.(本大题共3小题,每小题8分,共24分)

18．如图，在平面直角坐标系中，即△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，2），B（﹣1，4），C（0，2）．

（1）将△ABC以点O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1．

（2）平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后对应的△A2B2C2；（3）将△ABC以点O为旋转中心顺时针旋转90°，画出旋转后对应的△A3B3C3； （4）若将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标为 （﹣1，﹣2） ．

【分析】（1）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△A1B1C1；

（2）根据平移的性质即可画出平移后对应的△A2B2C2； （3）根据旋转的性质即可画出旋转后对应的△A3B3C3；

（4）根据旋转的性质将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，即可得出旋转中心的坐标．

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； （3）如图，△A3B3C3即为所求；

（4）旋转中心的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）．

19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D． （1）求证：CE＝DE；

（2）若点F为BC的中点，求EF的长．

【分析】（1）根据ASA证明△AEC和△AED全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；

（2）根据勾股定理得出AB，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，

∴∠CAE＝∠BAE， ∵CE⊥AE，

∴∠AEC＝∠AED＝90°， 在△AEC和△AED中，

，

∴△AEC≌△AED（ASA）， ∴CE＝DE；

（2）在Rt△ABC中，∵AC＝6，BC＝8， ∴

∵△AEC≌△AED， ∴AD＝AC＝6， ∴BD＝AB﹣AD＝4，

∵点E为CD中点，点F为BC中点， ∴

．

，

20．阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．

例1：“两两分组”：ax+ay+bx+by． 解：原式＝（ax+ay）+（bx+by） ＝a（x+y）+b（x+y） ＝（a+b）（x+y）．

例2：“三一分组”：2xy+x2﹣1+y2． 解：原式＝x2+2xy+y2﹣1 ＝（x+y）2﹣1

＝（x+y+1）（x+y﹣1）．

归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： （1）分解因式：

①x2﹣xy+5x﹣5y； ②m2﹣n2﹣4m+4；

（2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，试判断△ABC的形状． 【分析】（1）①将原式进行分组，然后再利用提取公因式法进行因式分解； ②将原式进行分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解；

（2）将原式进行分组，然后利用平方差公式和提公因式法进行因式分解，然后结合三角形三边关系和多项式乘法的计算法则分析判断． 解：（1）①x2﹣xy+5x﹣5y ＝（x2﹣xy）+（5x﹣5y） ＝x（x﹣y）+5（x﹣y） ＝（x﹣y）（x+5）； ②m2﹣n2﹣4m+4 ＝（m2﹣4m+4）﹣n2 ＝（m﹣2）2﹣n2

＝（m﹣2+n）（m﹣2﹣n）； （2）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a2﹣b2）﹣（ac﹣bc）＝0， ∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b﹣c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b，

即△ABC是等腰三角形．

五.(本大题共2小题,每小题9分,共18分)

21．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的3倍的三角形叫做非凡三角形．例如：某三角形三边长分别是是非凡三角形．

（1）判断：等腰直角三角形 是 非凡三角形（填“是”或“不是”）；

，2和3，因为

+32＝12＝3×22，所以这个三角形

（2）若△ABC是非凡三角形，且AB＝3，BC＝6，则AC＝ ；

（3）如图，在▱ABCD中，AC⊥BD于点O，AB＝6，且△ABD是非凡三角形，求AC的值．

【分析】（1）令等腰直角三角形的三个边分别为a，a，知等腰直角三角形是非凡三角形；

a，由a2+（a）2＝3a2可

（2）根据非凡三角形定义及三角形三边关系求出AC即可；

（3）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AD＝AB＝6，由△ABD是非凡三角形，分情况计算AC的值即可．

解：（1）令等腰直角三角形的三个边分别为a，a，∵a2+（

a）2＝3a，

a，

∴等腰直角三角形是非凡三角形， 故答案为：是； （2）∵AB＝3，BC＝6， ∴3＜AC＜9，

又∵△ABC是非凡三角形， ∴AB2+BC2＝3AC2， ∴AC＝故答案为：

＝；

，

（3）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO＝BD， 又∵AC⊥BD， ∴AC垂直平分BD， ∴AD＝AB＝6，

∵△ABD是非凡三角形，

①当AB2+AD2＝3BD2时， 则BD2＝（AB2+AD2）＝24， ∴BD＝2

，

，

＝

，

∴BO＝BD＝

在Rt△AOB中，AO＝∴AC＝2AO＝2

；

②当AB2+BD2＝3AD2时， 则BD2＝3AD2﹣AB2＝2AD2＝72， ∴BD＝6

，

，

＝3

，

∴BO＝BD＝3

在Rt△AOB中，AO＝∴AC＝2AO＝6

；

③当AD2+BD2＝3AB2时，与②情况相同； ∴AC的值为2

或6

．

22．疫情复学返校之前，为方便快速筛查体温异常学生，某校准备购买A，B两种型号的额温，已知每支A型额温比每支B型额温贵50元，买1支A型额温和2支B型额温共500元．

（1）每支A型、B型额温的价格各是多少元？

（2）该校欲购进A，B型额温共100支，且A型额温的数量不少于B型额温的数量，购买的总金额不超过17600元，则共有哪几种购买方案？

（3）在（2）的条件下，若购买A型额温m支，写出购买总费用w（元）与m的表达式，并求出w的最小值．

【分析】（1）设每支A型额温x元，则每支B型额温（x﹣50）元，根据“买1支A型额温和2支B型额温共500元”列方程解答即可；

（2）设购买A型额温y支，则B型额温（100﹣y）支，根据“A型额温的数量不少于B型额温的数量，购买的总金额不超过17600元”列不等式组解答即可； （3）根据“总价＝单价×数量”得出w（元）与m的表达式，再根据一次函数的性质解答即可．

解：（1）设每支A型额温x元，则每支B型额温（x﹣50）元， 根据题意，得x+2（x﹣50）＝500， 解得x＝200，

∴每支A型额温200元，每支B型额温150元； （2）设购买A型额温y支，则B型额温（100﹣y）支， 由题意，解得50≤y≤52， ∵y为正整数， ∴y取50，51，52

∴共三种购买方案，分别为：

方案一：购进A型额温50支，B型额温50支； 方案二：购进A型额温51支，B型额温49支； 方案三：购进A型额温52支，B型额温48支； （3）w＝200m+150（100﹣m）＝15000+50m， ∵w随m的增加而增加，50≤m≤52，

∴当m＝50时，w有最小值，此时w＝15000+2500＝17500元． 六.(本大题共12分)

23．如图，在▱ABCD中，AB＝1，BC＝

，∠BAC＝90°，对角线AC，BD相交于点O，，

将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交AD，BC于点E，F．

（1）当旋转角为90°时，如图1，求证：四边形ABFE是平行四边形； （2）在旋转过程中，线段OE与OF是否总保持相等，并说明理由； （3）在旋转过程中，当EB＝ED时，如图2． ①求出此时AC绕点O顺时针旋转的锐角度数； ②直接写出OE的值．

【分析】（1）证AB∥EF，又AE∥BF可证四边形ABFE是平行四边形； （2）根据ASA证△AOE≌△COF，即可得证OE＝OF； （3）①根据AB＝1，BC＝90°，可得旋转角为45°；

②过点A作AM⊥BO，交BO于点M，交BC于点N，取OF的中点H，连接MH，证四边形AMHE是平行四边形，得EH＝AM＝BO＝，又OE＝OF＝2OH，可得OE＝EH

，可得AO＝AB，即∠ABO＝∠AOB＝45°，又∠BOE＝

＝

．

解：（1）证明：由题可知，∠AOE＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AOE＝∠BAC， ∴AB∥EF，

又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BF，

∴四边形ABFE是平行四边形；

（2）线段OE与OF总保持相等，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AO＝CO， ∴∠OAE＝∠OCF， 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴OE＝OF；

（3）①在Rt△ABC中，∵AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，

∴AO＝AC， ∴AO＝AB，

∴∠ABO＝∠AOB＝45°， ∵BE＝DE，BO＝DO， ∴EO⊥BD，

∴∠BOE＝90°，

∴∠AOE＝∠BOE﹣∠AOB＝45°， 即旋转的度数为45°；

②如图2，过点A作AM⊥BO，交BO于点M， 交BC于点N，取OF的中点H，连接MH，

由（3）①可知，AO＝AB＝1， ∴OB＝∴BM＝OM，

又∵点H为OF中点， ∴MH为△OBF中位线， ∴MH∥BF ∵BF∥AE， ∴MH∥AE，

∵AM⊥BD，EH⊥BD， ∴AM∥EH，

∴四边形AMHE是平行四边形， ∴EH＝AM＝BO＝又∵OE＝OF＝2OH， ∴OE＝EH＝

．

， ＝

，