2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}）
2．抛物线y2
=2x的准线方程是（）A．y=﹣1
B．
C．x=﹣1
D．
3．“k=1是“”直线与圆x2+y2
=9相切”的（
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．执行如图所示的程序框图，输出的
k值为（
）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0C．lnx+lny＞0 D．2x
﹣2y
＞0
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则为（
）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（﹣∞，1]
C．[﹣1，+∞）
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（
）
D．[1，+∞）
）
f（x+1）≥0的解集
A．B．C．2 D．
n天的日增长率rn=0.6
8．数列{an}表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第（rn=
*
．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率rn会发生变化．如图，n∈N）
Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实规律描
述
正
确的是
（
）
描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量际
条件
下日
增长
率
rn
的
A
．
B
．
C．
D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若复数（2﹣i）（a+2i）是纯虚数，则实数a=
．
10．若x，y满足，则x+2y的最大值为．
11．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为1，则a=
；若AD⊥BC，则AD=，延长BP交AC于点D，若
．．
，
12．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，则BC=13．在△ABC所在平面内一点P，满足则λ＝
．
14．关于x的方程g（x）=t（t∈R）的实根个数记为f（t）．若g（x）=lnx，则f（t）=若g（x）=
；
（a∈R），存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，则a的取值范围
是．
三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
15．已知{an}是等比数列，满足a1=3，a4=24，数列{an+bn}是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．16．已知函数
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及图中（Ⅱ）求f（x）在区间[0，
x0的值；
部分图象如图所示．
]上的最大值和最小值．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，BC=1，AB=2，
，E为PA中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值；
（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BM⊥AC？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
18．设函数．
（Ⅰ）若f（0）为f（x）的极小值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的最大值．
19．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为
，O为坐标原点．
．A，B是椭圆C上
两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求
的值．
，xn）|xi∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）}．x，y∈An，x=（x1，20．已知集合An={（x1，x2，…
…，xn），y=（y1，y2，…，yn），其中xi，yi∈{﹣1，1}（i=1，2，…，n）．定义x⊙y=x1y1+x2y2+…+xnyn．若x2，
x⊙y=0，则称x与y正交．
（Ⅰ）若x=（1，1，1，1），写出A4中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令B={x⊙y|x，y∈An}．若m∈B，证明：m+n为偶数；（Ⅲ）若A?An，且A中任意两个元素均正交，分别求出元素．
n=8，14时，A中最多可以有多少个
2016-2017学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）
参与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）
1．已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（A．{x|1＜x＜3}B．{x|1＜x＜4}C．{x|2＜x＜3}D．{x|2＜x＜4}【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A，由集合交集的定义，即可得到所求．
【解答】解：集合A={x|（x﹣1）（x﹣3）＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}．故选：C．
）
2．抛物线y=2x的准线方程是（A．y=﹣1
B．
C．x=﹣1
2
）D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程写出准线方程即可．【解答】解：抛物线y=2x的准线方程是：x=﹣故选：D．
2
．
3．“k=1是“”直线A．充分而不必要条件C．充分必要条件
2
+y与圆x=9相切”的（
2
）
B．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线和圆相切得到关于【解答】解：若直线则由
2
22
1kx得：（+）﹣6
k的方程，解出即可．与圆x2+y2=9相切，kx+9=0，
故△=72k﹣36（1+k）=0，解得：k=±1，
2
故“k=1是“”直线与圆x+y=9相切”的充分不必要条件，
22
故选：A．
4．执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k，≤
，退出循环，输出k的值为8，即可得解．
【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，k=0满足条件S≤，执行循环体，k=2，S=满足条件S≤，执行循环体，k=4，S=+满足条件S≤，执行循环体，k=6，S=++满足条件S≤，执行循环体，k=8，S=+++=不满足条件S≤，退出循环，输出k的值为8．
故选：B．
5．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
S的值，可得当S=
时不满足条件S
A．tanx﹣tany＞0 B．xsinx﹣ysiny＞0
xy
C．lnx+lny＞0 D．2﹣2＞0
【考点】函数单调性的性质．
【分析】利用函数单调性和特殊值依次判断选项即可．【解答】解：x，y∈R，且x＞y＞0，对于A：当x=
，y=
时，tan
=
，tansin
=
，显然不成立；
对于B：当x=π，y=时，πsinπ＝﹣π，﹣=﹣1，显然不成立；
对于C：lnx+lny＞0，即ln（xy）＞ln1，可得xy＞0，∵x＞y＞0，那么xy不一定大于0，显然不成立；
对于D：2x﹣2y＞0，即2x＞2y，根据指数函数的性质可知：x＞y，恒成立．故选D
6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，则为（
）
B．（﹣∞，1]
C．[﹣1，+∞）
D．[1，+∞）
f（x+1）≥0的解集
A．（﹣∞，﹣1]
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是增函数，∴函数在（﹣∞，+∞）上是增函数，∵f（0）=0，
∴不等式f（x+1）≥0等价为f（x+1）≥f（0），则x+1≥0，得x≥﹣1，即不等式的解集为[﹣1，+∞），故选：C
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）
