椭圆大题题型汇总例题练习e

解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是： 〔1〕直线的斜率不存在，直线的斜率存，〔2〕联立直线和曲线的方程组；

〔3〕讨论类一元二次方程〔4〕一元二次方程的判别式〔5〕韦达定理，同类坐标变换 〔6〕同点纵横坐标变换〔7〕x,y，k(斜率)的取值范围

〔8〕目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等 运用的知识： 1、中点坐标公式：x标。

2、弦长公式：假设点A(x1,y1)，B(x2,y2)在直线ykxb(k0)上，

那么y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

x1x2yy,y12，其中x,y是点A(x1,y1)，B(x2,y2)的中点坐22AB(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(kx1kx2)2(1k2)(x1x2)2 (1k2)[(x1x2)24x1x2]

或者AB111(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)2(12)(y1y2)2 kkk(112)[(yy)4y1y2]。 122k3、两条直线l1:yk1xb1,l2:yk2xb2垂直：那么k1k21 两条直线垂直，那么直线所在的向量v1v20

4、韦达定理：假设一元二次方程axbxc0(a0)有两个不同的根x1,x2，那么

2bcx1x2,x1x2。

aa

常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题

弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直〔两直线的斜率之积为-1〕和平分〔中点坐标公式〕。 例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得ABE是等边三角形，假设存在，求出x0；假设不存在，请说明理由。

2x2y21的左焦点为F，O为坐标原点。 例题2、椭圆2〔Ⅰ〕求过点O、F，并且与x2相切的圆的方程；

〔Ⅱ〕设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。

x2y213练习1：椭圆C:221(ab0)过点(1,)，且离心率e。

22ab 〔Ⅰ〕求椭圆方程；

〔Ⅱ〕假设直线l:ykxm(k0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(,0)，求k的取值范围。

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练习2、设F1、F2分别是椭圆

x2y21的左右焦点．是否存在过点A(5,0)的直线l与椭54圆交于不同的两点C、D，使得F2CF2D？假设存在，求直线l的方程；假设不存在，请说明理由．

题型三：动弦过定点的问题

3x2y2例题3、椭圆C：221(ab0)的离心率为，且在x轴上的顶点分别为

2abA1(-2,0),A2(2,0)。

〔I〕求椭圆的方程；

〔II〕假设直线l:xt(t2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

例题4、椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；

〔Ⅰ〕求椭圆C的标准方程；

〔Ⅱ〕假设直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点〔A，B不是左右顶点〕，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

练习：直线l：ykxm和抛物线y2px相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线l：ykxm过定点，并求定点的坐标。

题型四：过曲线上定点的弦的问题

假设直线过的定点在曲线上，那么过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程〔或类一元二次方程〕，考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。

2x2y2例题6、点A、B、C是椭圆E：221 (ab0)上的三点，其中点A(23,0)是

ab椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且ACBC0，BC2AC，如图。 (I)求点C的坐标及椭圆E的方程；

(II)假设椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线xPQ的斜率。

3对称，求直线

练习：，椭圆C以过点A〔1，（1） 求椭圆C的方程；

3〕，两个焦点为〔－1，0〕〔1，0〕。 2（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直

线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

题型五：共线向量问题 解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。

x2y21于P、Q两点，且DP例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：94的取值范围。

DQ,求实数

例题8：椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y离心率为

12x的焦点，425． 5〔1〕求椭圆C的标准方程；

〔2〕过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，假设MA1AF，

MB2BF，求12的值．

x2y21(a0)的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C上的练习：设椭圆C:2a2一点，且AF2F1F20，坐标原点O到直线AF1的距离为〔1〕求椭圆C的方程；

〔2〕设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(1,0)，较y轴于点M，假设

1|OF1|． 3MQ2QP，求直线l的方程．

题型六：面积问题

6x2y2,短轴一个端点到右焦点的距例题9、椭圆C：221〔a＞b＞0〕的离心率为3ab离为3。

〔Ⅰ〕求椭圆C的方程；

〔Ⅱ〕设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值。

3，求△AOB2x2y21交于A、B两点，记ABC的面积为S。 练习、如图，直线ykxb与椭圆4〔Ⅰ〕求在k0，0b1的条件下，S的最大值； 〔Ⅱ〕当AB2，S1时，求直线AB的方程。

练习1、椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)直线l过点P(0,2)且与椭圆相交于A、B两点，当ΔAOB面积取得最大值时，求直线l的方程。

练习2、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为

2，F1,F2为其焦点，一直线过点2F1与椭圆相交于A,B两点，且F2AB的最大面积为2，求椭圆的方程。

题型七：弦或弦长为定值问题

x2y2例题10 设椭圆E: 221〔a,b>0〕过M〔2，2〕 ，N(6,1)两点，O为坐标原

ab点，

〔I〕求椭圆E的方程；

〔II〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且

OAOB？假设存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，假设不存在说明理由。