宁都县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

宁都县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（ ） A．AB⊂α

B．AB⊄α

D．以上都不对

C．由线段AB的长短而定

2． 执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）

A．k＞7 B．k＞6 C．k＞5 D．k＞4

3． 数列{an}满足an+2=2an+1﹣an，且a2014，a2016是函数f（x）=（a2000+a2012+a2018+a2030）的值是（ ） A．2

B．3

C．4

D．5

4． 某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是，则mn的值是（ ）

+6x﹣1的极值点，则log2

A．10 B．11 C．12 D．13

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精选高中模拟试卷

【命题意图】本题考查样本平均数、中位数、茎叶图等基础知识，意在考查识图能力和计算能力． 5． 已知直线ax+by+c=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，且A．

B．

C．

D．0

，则

的值是（ ）

6． 曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（ ）

A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1

xyz7． 已知x,y,z均为正实数，且2log2x，2log2y，2log2z，则（ ）

A．xyz B．zxy C．zyz D．yxz 8． 已知函数f(x)sinx2x，且af(ln),bf(log2),cf(20.3)，则（ ） A．cab B．acb C．abc D．bac

【命题意图】本题考查导数在单调性上的应用、指数值和对数值比较大小等基础知识，意在考查基本运算能力． 9． 观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=（ ） A．28

B．76

C．123 D．199

321310．M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}，如图，设全集U=R，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．{3} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}

11．设定义域为（0，+∞）的单调函数f（x），对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，若x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（ ）

A．（0，1） B．（e﹣1，1） C．（0，e﹣1） D．（1，e）

12．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（ ） A．﹣

B．﹣

C．

D．

二、填空题

13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．

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14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为 ．

15．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图示． x 0 4 5 ﹣1 1 2 2 1 f（x） 下列关于f（x）的命题： ①函数f（x）的极大值点为0，4； ②函数f（x）在[0，2]上是减函数；

③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4； ④当1＜a＜2时，函数y=f（x）﹣a有4个零点；

⑤函数y=f（x）﹣a的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是 ．

16．

= ．

17．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为

，则总体的个数为 ．

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2ex1lnx18．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数fx若曲线y2xxaaR，

e1x（e为自然对数的底数）上存在点x0,y0使得ffy0y0，则实数a的取值范围为__________.

三、解答题

19．已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R． （Ⅰ）若a=0，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若

，求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数围．

20．如图，椭圆C1：

的离心率为

的图象仅有1个公共点，求实数m的取值范

2

，x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭

圆C1的短轴长．C2与y轴的交点为M，过点M的两条互相垂直的直线l1，l2分别交抛物线于A、B两点，交椭圆于D、E两点， （Ⅰ）求C1、C2的方程；

（Ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1、S2，若

，求直线AB的方程．

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21．已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证： （Ⅰ）++

≥8；

（Ⅱ）（1+）（1+）≥9．

22．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，函数．

（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域； （2）已知函数g（x）=

和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，

]上是减函数，在[

，+∞）上是增

使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．

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23．（本题满分15分）

11d（d为常数， nN*），则称xn为调和数列，已知数列an为调和数xn1xn1111115. 列，且a11，a1a2a3a4a5若数列xn满足：

（1）求数列an的通项an；

2n（2）数列{}的前n项和为Sn，是否存在正整数n，使得Sn2015？若存在，求出n的取值集合；若不存

an在，请说明理由.

【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.

n124．本小题满分12分 已知数列an中，a13,a25，其前n项和Sn满足SnSn22Sn12(n3).

Ⅰ求数列an的通项公式an; Ⅱ 若bnlog2(

256)nN*，设数列bn的前n的和为Sn，当n为何值时，Sn有最大值，并求最大值. a2n1第 6 页，共 17 页

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宁都县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵线段AB在平面α内， ∴直线AB上所有的点都在平面α内， ∴直线AB与平面α的位置关系： 直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α 故选A．

【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．

2． 【答案】 C

【解析】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表： K S 是否继续循环 循环前 1 0

第一圈 2 2 是 第二圈 3 7 是 第三圈 4 18 是 第四圈 5 41 是 第五圈 6 88 否 故退出循环的条件应为k＞5？ 故答案选C．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

3． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=∵a2014，a2016是函数f（x）=数列{an}中，满足an+2=2an+1﹣an， 可知{an}为等差数列，

∴a2014+a2016=a2000+a2030，即a2000+a2012+a2018+a2030=16，

+6x﹣1，可得f′（x）=x2﹣8x+6， +6x﹣1的极值点，

2

∴a2014，a2016是方程x﹣8x+6=0的两实数根，则a2014+a2016=8．

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从而log2（a2000+a2012+a2018+a2030）=log216=4． 故选：C．

【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．

4． 【答案】C

788884869290m9588，解得m3．乙组中8892，

7所以n9，所以mn12，故选C．

【解析】由题意，得甲组中5． 【答案】A

【解析】解：取AB的中点C，连接OC，∴sin

=sin∠AOC=

=

，则AC=

，OA=1

所以：∠AOB=120° 则

•

=1×1×cos120°=

．

故选A．

6． 【答案】D

【解析】解：y′=（∴k=y′|x=1=﹣2．

l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1． 故选：D

7． 【答案】A

）′=

，

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【解析】

考

点：对数函数，指数函数性质． 8． 【答案】D

9． 【答案】C

【解析】解：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．

1010

继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a+b=123，．

故选C．

10．【答案】C

【解析】解：由图可知图中阴影部分所表示的集合∁M∩N， ∵全集U=R，M={x|x＞2}，N={0，1，2，3}， ∴∁M={x|x≤2}， ∴∁M∩N={0，1，2}， 故选：C

【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件确定集合的基本关系是解决本题的关键．

11．【答案】 D

【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k． 由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1， 所以f（x）=lnx+e，

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f′（x）=，x＞0．

∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，

令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞） 可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增， g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0， ∴x0∈（1，e），g（x0）=0，

∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e） 故选：D．

【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．

12．【答案】A

【解析】解：∵ =（1，2），=（1，1）， ∴=+k=（1+k，2+k） ∵

，∴ =0，

∴1+k+2+k=0，解得k=﹣ 故选：A

【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．

二、填空题

13．【答案】 9 ．

【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9

14．【答案】

．

【解析】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0

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212

直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=∫0（x﹣x）dx 12

而∫0（x﹣x）dx=（

﹣

1

）|0=﹣=

∴曲边梯形的面积是 故答案为：．

15．【答案】 ①②⑤ ．

【解析】解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f'（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜2或4＜x＜5，f'（x）＜0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①正确；②正确；

因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是4，当2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；

由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以④不正确，

根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）＜1或1≤f（2）＜2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以⑤正确，

综上正确的命题序号为①②⑤． 故答案为：①②⑤．

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【点评】本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键．

16．【答案】 2 ． 【解析】解：故答案为：2．

=2+lg100﹣2=2+2﹣2=2，

【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．

17．【答案】 300 ．

【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．

=300．

【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．

18．【答案】,

e12ex11e2x2ex1【解析】结合函数的解析式：y2x可得：y'， 22xe1e1令y′=0，解得：x=0，

当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0，

则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减， 则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]，

x2lnx1lnx结合函数的解析式：fx， xaaR可得：f'xx2xx∈（0，e），f'x0，

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则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0．

假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=clnxxax． xlnx1lnx设gx，求导g'x，

xx2令函数fx当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为ge当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围,.

e1， e1点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题．

（2）若可导函数f（x）在指定的区间D上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

三、解答题

19．【答案】

xxxx

【解析】解：（Ⅰ）∵a=0，∴f（x）=（x﹣1）e，f′（x）=e+（x﹣1）e=xe，

∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=f（1）=e． 又∵f（1）=0，∴所求切线方程为y=e（x﹣1）， 即．ex﹣y﹣4=0

x2x2xx

（Ⅱ）f′（x）=（2ax+1）e+（ax+x﹣1）e=[ax+（2a+1）x]e=[x（ax+2a+1）]e，

①若a=﹣，f′（x）=﹣x2ex≤0，∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，+∞）， ②若a＜﹣，当x＜﹣当﹣

或x＞0时，f′（x）＜0；

＜x＜0时，f′（x）＞0．

∴f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣]，[0，+∞）；单调递增区间为[﹣，0]．

2x

（Ⅲ）当a=﹣1时，由（Ⅱ）③知，f（x）=（﹣x+x﹣1）e在（﹣∞，﹣1）上单调递减，

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在[﹣1，0]单调递增，在[0，+∞）上单调递减，

∴f（x）在x=﹣1处取得极小值f（﹣1）=﹣，在x=0处取得极大值f（0）=﹣1， 由

2

，得g′（x）=2x+2x．

当x＜﹣1或x＞0时，g′（x）＞0；当﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0． 故g（x）在x=﹣1处取得极大值在x=0处取得极小值g（0）=m，

，

∴g（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增，在[﹣1，0]单调递减，在[0，+∞）上单调递增．

∵数f（x）与函数g（x）的图象仅有1个公共点， ∴g（﹣1）＜f（﹣1）或g（0）＞f（0），即.

．

【点评】本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C1：

22∴a=2b，

的离心率为，

令x﹣b=0可得x=±

2，

2

∵x轴被曲线C2：y=x﹣b截得的线段长等于椭圆C1的短轴长，

∴2=2b，

∴b=1，

∴C1、C2的方程分别为

2

，y=x﹣1； …

22

（Ⅱ）设直线MA的斜率为k1，直线MA的方程为y=k1x﹣1与y=x﹣1联立得x﹣k1x=0 2

∴x=0或x=k1，∴A（k1，k1﹣1）

同理可得B（k2，k2﹣1）…

2

∴S1=|MA||MB|=•|k1||k2|…

），

y=k1x﹣1与椭圆方程联立，可得D（

同理可得E（） …

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∴S2=|MD||ME|=•• …

∴

若则

或

解得或…

∴直线AB的方程为

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，联立方程，确定点的坐标是关键．

21．【答案】

【解析】证明：（Ⅰ）∵a+b=1，a＞0，b＞0， ∴++=2（∴++

=

=2（

）=2（

）

）+4≥4+4=8，（当且仅当a=b时，取等号）， ≥8；

，

（Ⅱ）∵（1+）（1+）=1+++由（Ⅰ）知， ++∴1+++

≥9，

≥8，

∴（1+）（1+）≥9．

22．【答案】

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【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增， f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5 所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]． （2）y=g（x）=

=2x+1+

﹣8 ﹣8，

；

设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=由已知性质得，

当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]； 当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]； 由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣

，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．

因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]． 根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集， 从而有

23．【答案】（1）an，所以a=．

1，（2）详见解析. n第 16 页，共 17 页

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n8时S872922112015，…………13分

∴存在正整数n，使得Sn2015的取值集合为n|n8,nN*，…………15分 24．【答案】

【解析】Ⅰ由题意知SnSn1Sn1Sn22n1n3, 即anan12n1n3

an(anan1)(anan1)......(a3a2)a2

2n12n2...2252n12n2...222122n1n3检验知n=1, 2时，结论也成立，故

an=2n+1．

Ⅱ 由blog25628n2(a)log22nlog2282n82n nN*

2n12法一: 当1n3时，bn82n0；当n4时，bn82n0； 当n5时，bn82n0 故n3或n4时，Sn达最大值，

S3S412.

法二：可利用等差数列的求和公式求解

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当