2020年湖南省怀化市会同县第一中学高一数学文月考
试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知向量A．﹣3 B．
=
C．
，
=
D．3
，则向量
在
方向上的投影为（ ）
参：
A
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】设向量上的投影为|
与的夹角为θ，求得cosθ= 的值，只根据向量在
|?cosθ，计算求得结果．
|=2
，|
|=2，
=0﹣6=﹣6，设向量
与
的夹角
【解答】解：由题意可得|为θ，
则cosθ=∴向量
在
=上的投影为|
=﹣，
?（﹣
）=﹣3，
|?cosθ=2
故选：A．
2. 下列关系不正确的是
A． B． C． D．
参： D
3. 已知f(x)＝(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是 ( )
1 / 13
A．(－4，4) B．[－4，4] C．(－4，4] D．[－4，4) 参：
C 4. 已知
为
上奇函数，当
时,
，则当
时，
( ).
A.
B.
C.
D.
参：
B 略 5. 已知集合A. {1,6}
B. {1,7}
C. {6,7}
D. {1,6,7}
，则
参：
C 【分析】 先求
，再求
．
，所以
，故选C．
【详解】由已知得
【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
6. 已知,则取最大值时x的值是( )
A. B. C. D.
参：
C 【分析】
2 / 13
利用基本不等式的变形即可求出其最大值，并得到其取最大值时的值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当故答案选
.
时，即，等号成立.
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题.利用基本不等式求最值，一定要注意是否符合适用条件，以及等号成立的条件. 7. 已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是（ ） A.
B.
C. D.
参：
C
8. 若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C. (2，＋∞) D． (1，＋∞) 参： C 略
9. △ABC中，若
，则该三角形一定是( )
A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
参：
3 / 13
D
10. 设全集为R，M = {x||x|≥3}，N = {x|0≤x＜5}，则CR (M∪N)等于（ ） A．{x|–3＜x＜0} B．{x|x＜3，或x≥5}
C．{x|x＜0，或x＞3，且x≠–3} D．{x|x＜3，或x≥5，且x≠0} 参：
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f（x）=ax7﹣bx5+cx3+2，且f（﹣5）=17，则f（5）= ．
参：
﹣13
【考点】函数奇偶性的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据所给函数的结构，构造新函数g（x）=ax7﹣bx5+cx3，利用其奇偶性求解． 【解答】解：令g（x）=ax7﹣bx5+cx3该函数是奇函数， 所以f（﹣5）=g（﹣5）+2=17，因此g（﹣5）=15， 所以g（5）=﹣15，
所以f（5）=g（5）+2=﹣15+2=﹣13， 故答案为：﹣13．
【点评】本题考察函数奇偶性的应用，题目本身所给函数不具有奇偶性，但将其中含自变量部分拆出后具有奇偶性，利用这一点将该类问题解决． 12. 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=棱锥外接球的表面积为______．
，BC=
，AC=2，则此三
参：
8π 【分析】
以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接
4 / 13
球，由此能求出三棱锥的外接球的表面积．
【详解】解：如图，PA，PB，PC两两垂直，设PC=h， 则PB=
，PA=
，
，
，
∵PA2+PB2=AB2，∴4-h2+7-h2=5，解得h=
因为三棱锥P-ABC，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=∴以PA，PB，PC分棱构造一个长方体，
则这个长方体的外接球就是三棱锥P-ABC的外接球， ∴由题意可知，这个长方体的中心是三棱锥的外接球的心， 三棱锥的外接球的半径为R=所以外接球的表面积为故答案为：8
．
，
．
【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．
13. 不等式3x－3m≤－2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是 。 参： 12≤Mp15
14. （5分）已知函数f（x）是定义为在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2），若x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x+1）成立，则实数a的取值范围是 ．
参：
5 / 13
[﹣，]
考点： 函数恒成立问题．
专题： 计算题；数形结合；分类讨论；函数的性质及应用．
分析： 由于当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2）．可得当0≤x≤a2时，f（x）=﹣x；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；当x＞3a2时，f（x）=x﹣3a2．画出其图象．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象．由于x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1），即有?x∈R，f（x﹣2）≤f（x），可得6a2≤2，解出即可．
解答： ∵当x≥0时，f（x）=（｜x﹣a2｜+｜x﹣2a2｜﹣3a2）．
∴当0≤x≤a2时，f（x）=（a2﹣x+2a2﹣x﹣3a2）=﹣x； 当a＜x≤2a时，f（x）=﹣a； 当x＞3a时，f（x）=x﹣3a． 画出其图象．
由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出x＜0时的图象， 与x＞0时的图象关于原点对称． ∵?x∈R，f（x﹣1）≤f（x+1）， 即有?x∈R，f（x﹣2）≤f（x）， ∴6a≤2，
2
2
2
2
2
2
解得﹣≤a．
∴实数a的取值范围为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
6 / 13
点评： 本题考查了函数奇偶性、周期性，考查了分类讨论的思想方法，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15. 已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2参：6
解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且216. 函数参：略
的值域为 ks5u
17. 已知三棱锥P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥P－ABC外接球的体积为__ .
7 / 13
参：
如图所示,取PB的中点O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，
PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝PB，OC＝PB，∴OA＝OB＝OC，PB＝
，∴外接
＝OP，故O为外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝
球的半径R＝.
∴V球＝πR3＝×()3＝,故填.
点睛: 空间几何体与球接、切问题的求解方法:(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤
18. 用“五点法”画出函数和最值
,
的简图并写出它在
的单调区间
参：
详见解析
试题分析：根据五点法列表，五点分别为，用光滑曲线连
8 / 13
接，根据图像可得函数的单调区间和最值. 试题解析：：列表 x 0 1 2 1 0 1 画图：.............5分
函数的单调递增区间为，递减区间为
当分
时，
取得最大值2，当时取得最小值0.....10
考点：1.五点法做图；2.三角函数的性质.
19. 有甲、乙两种商品，经销这两种商品所能获得的利润分别是p万元和q万元．它们与
投入资金x万元的关系是：，q=．今有3万元资金投入经营这两种商品，为
获得最大利润，对这两种商品的资金分别投入多少时，能获取最大利润？最大利润为多少？
参：
解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，此时获取利润为y万元；
则由题意知，
．
9 / 13
令，则y=﹣t2++=（其中0≤t≤
；
）；
根据二次函数的图象与性质知，当t=时，y有最大值，为又t=，得
=，∴x==2.25（万元），∴3﹣x=0.75（万元）；
万元
所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为考点：函数模型的选择与应用． 专题：应用题．
分析：如果设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，获取的利润为y万元；那么y=p+q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，求导y的最大值，和对应的t、x．
解答：解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（3﹣x）万元，此时获取利润为y万元； 则由题意知， 令
，则y=﹣t+
2
．
+=
（其中0≤t≤
；
）；
根据二次函数的图象与性质知，当t=时，y有最大值，为又t=，得
=，∴x==2.25（万元），∴3﹣x=0.75（万元）；
万元．
所以，对甲投入资金0.75万元，对乙投资2.25万元时，获取利润最大，为
点评：本题考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．
20. 以下数据是浙江省某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的对应关系， 广告费支出x 销售额y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70
10 / 13
（1）画出数据对应的散点图，你从散点图中发现该种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有什么统计规律吗？ （2）求y关于x的回归直线方程；
（3）请你预测，当广告费支出为7（百万元）时，这种产品的销售额约为多少（百万元）？ （参考数据：参：
（1）散点图如下：该产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间的统计规律： 销售额与广告支出呈线性正相关等
）
（2）根据给出的参考公式，可得到方程y=6.5x+17.5.
(3)当x=7时，由回归直线方程可求出销售额约为63百万元.
，于是得到y关于x的回归直线
21. 已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（（1）求实数a的值；
，0）
11 / 13
（2）设g（x）=[f（x）]2﹣2，求当x∈（（3）若g（）=﹣
（
＜a＜
，）时，函数g（x）的值域；
）的值．
），求cos（α+
参：
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象． 【分析】（1）把点（
，0）代入解析式，求出a的值；
（2）先利用两角差的正弦公式化简f（x），代入g（x）利用二倍角公式化简，由x的范围求出
的范围，利用余弦函数的性质求出g（x）的值域；
，由α的范围和平方关系求出
的）后即可求
（3）代入解析式化简g（）=﹣
值，利用两角和的正弦公式求出sinα的值，利用诱导公式化简cos（α+值．
【解答】解：（1）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（所以sin
+acos
=0，解得a=﹣
； cosx=
﹣2
，
，0），
（2）由（1）可得，f（x）=sinx﹣所以g（x）=[f（x）]2﹣2=
=由x∈（则
，
）得，
=
∈（，所以
，
， ），
，
则函数g（x）的值域：[﹣2，1）； （3）因为g（）=﹣
，所以
=﹣
，即
，
12 / 13
因为则
＜a＜，所以， =﹣
）+
]=sin（
， ）cos
+cos（
）
所以sinα=sin[（sin=﹣
×（
）+）=sinα=
=．
，
则cos（α+
【点评】本题考查三角恒等变换的公式，平方关系、三角函数值的符号的应用，以及余弦函数的性质，注意角之间的关系和角的范围，属于中档题．
22. 已知集合A={x |3≤x＜7}， B={ x |2＜x＜10 }，C={ x |x＜a }，全集为实数集R. ⑴求A∪B， (CRA)∩B；
⑵如果A∩C≠Φ,求实数a的取值范围.
参：
解：（Ⅰ）∵∴
，
∴
，∵
，
∴
.
∵全集为实数集∴
=
（Ⅱ）若略
13 / 13
