昌都市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

昌都市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若m,n是两条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A．若m,，则m B．若m,m//n，则//

C．若m,m//，则 D．若,，则

2． 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，解析式为（ ）

）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的

A． B． C． D．

3． 已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A．①④

B．①⑤

C．②⑤

D．③⑤

4． 对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个

5． 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，，，已知8b5c，C2B，则cosC（ ） A．

77247 B． C.  D．

25252525

6． i是虚数单位，i2015等于（ ）

A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i

7． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4 8． 在正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰直角三角形的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

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9． 如图，在长方形ABCD中，AB=

，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在

面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（ ）

A． B． C． D．

10．已知抛物线x2=﹣2y的一条弦AB的中点坐标为（﹣1，﹣5），则这条弦AB所在的直线方程是（ ） A．y=x﹣4 B．y=2x﹣3 C．y=﹣x﹣6 D．y=3x﹣2

11．“ab3”是“圆xy2x6y5a0关于直线yx2b成轴对称图形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．

12．设f(x)是偶函数，且在(0,)上是增函数，又f(5)0，则使f(x)0的的取值范围是（ ） A．5x0或x5 B．x5或x5 C．5x5 D．x5或0x5

22二、填空题

13．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2是 ．

= ．

，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程

14．i是虚数单位，化简：

15．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=（

）t﹣a（a为常数），

如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．

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16．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是 ．

17．如图，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的 周长为 ．

1111]

x2y21有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为 18．设某双曲线与椭圆

2736(15,4)，则此双曲线的标准方程是 . 三、解答题

19．（本小题满分12分）

两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设x,y,z分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.

（1）求x0，y1，z2的概率；

（2）记xy，求随机变量的概率分布列和数学期望.

【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．

20．（本小题满分14分）

设函数f(x)axbx1cosx，x0,（其中a，bR）.

22第 3 页，共 17 页

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1，求f(x)的单调区间； 2（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2（1）若a0，b【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数 g（x）=f（x）+cos2x﹣1，将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动得的图象在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

22．（本小题12分）设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1b11，a3b521，

个单位长度后，所

＜φ＜

）的最小正周期为π，图象过点P（0，1）

a5b313.111]

（1）求{an}，{bn}的通项公式； （2）求数列{

an}的前项和Sn. bn第 4 页，共 17 页

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23．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：

[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]（Ⅰ）求图中x的值，并估计该班期中考试数学成绩的众数；

（Ⅱ）从成绩不低于90分的学生和成绩低于50分的学生中随机选取2人，求这2人成绩均不低于90分的概率．

24．已知f（x）=x2+ax+a（a≤2，x∈R），g（x）=ex，φ（x）=（Ⅰ）当a=1时，求φ（x）的单调区间；

（Ⅱ）求φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）是否存在实数a，使φ（x）的极大值为3？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．

．

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昌都市第二中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题

1． 【答案】C 【解析】

试题分析：两个平面垂直，一个平面内的直线不一定垂直于另一个平面，所以A不正确；两个平面平行，两个平面内的直线不一定平行，所以B不正确；垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，可能相交，也可能平行，所以D不正确；根据面面垂直的判定定理知C正确．故选C． 考点：空间直线、平面间的位置关系． 2． 【答案】A

【解析】解：由函数的图象可得A=1，解得ω=2， 再把点（结合故有

，1）代入函数的解析式可得 sin（2×

，可得φ=

，

，

+φ）=1，

=•

=

﹣

，

故选：A．

3． 【答案】D

【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β， 故选D

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．

4． 【答案】B

【解析】解：a※b=12，a、b∈N，

*

若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；

若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，

所以满足条件的个数为4+11=15个． 故选B

5． 【答案】A

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【解析】

考

点：正弦定理及二倍角公式.

【思路点晴】本题中用到了正弦定理实现三角形中边与角的互化，同角三角函数间的基本关系及二倍角公式，如sincos1,cos2cossin,这要求学生对基本公式要熟练掌握解三角形时常借助于正弦定

2222理

abc2R，余弦定理a2b2c22bccosA， 实现边与角的互相转化. sinAsinBsinC

6． 【答案】D

2015503×4+33

=i=﹣i， 【解析】解：i=i故选：D

【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．

7． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 8． 【答案】C

【解析】解：正方体8个顶点中任选3个顶点连成三角形，所得的三角形是等腰直角三角形只能在各个面上，在每一个面上能组成等腰直角三角形的有四个， 所以共有4×6=24个，

3

而在8个点中选3个点的有C8=56，

所以所求概率为故选：C

=

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【点评】本题是一个古典概型问题，学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题．

9． 【答案】 D

【解析】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，

则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是， 如图当E与C重合时，AK=

=，

取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形． 故∠K0A=

，∴∠K0D'=

， 其所对的弧长为=

，

故选：D．

10．【答案】A

【解析】解：设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=﹣2，x12=﹣2y1，x22

=﹣2y2．两式相减可得，（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣2（y1﹣y2） ∴直线AB的斜率k=1，

∴弦AB所在的直线方程是y+5=x+1，即y=x﹣4． 故选A，

11．【答案】A 【

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】

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12．【答案】B

考

点：函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】本题主要考查函数的单调性、函数的奇偶性，数形结合的数学思想方法.由于函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，图象关于y轴对称，单调性在y轴两侧相反，即在x0时单调递增，当x0时，函数单调递减.结合f(5)0和对称性，可知f(5)0，再结合函数的单调性，结合图象就可以求得最后的解集.1

二、填空题

13．【答案】

【解析】解：已知

．

∴∴为所求；

故答案为：

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．

14．【答案】 ﹣1+2i ．

【解析】解：故答案为：﹣1+2i．

=

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15．【答案】0.6

【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（∴0.1﹣a=0 a=0.1

由题意可得y≤0.25=， 即（

）t﹣0.1≤，

）0.1﹣a

即t﹣0.1≥ 解得t≥0.6，

由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室． 故答案为：0.6

【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．

16．【答案】 6 ．

【解析】解：第一次循环：S=0+第二次循环：S=+第三次循环：S=+第四次循环：S=+第五次循环：S=+故答案为：6．

【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题

17．【答案】8cm 【解析】

=，i=1+1=2；

=，i=2+1=3； =，i=3+1=4； =，i=4+1=5；

=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；

∴判断框中的条件为i＜6？

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考点：平面图形的直观图．

y2x21 18．【答案】45【解析】

x2y21的焦点在y轴上，且c236279，故焦点坐标为0,3由双曲试题分析：由题意可知椭圆

2736线的定义可得2a150432215043224,故a2，b2945，故所求双

y2x2y2x21．故答案为：1． 曲线的标准方程为4545考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．

三、解答题

19．【答案】

【解析】（1）由x0，y1，z2知，甲、乙、丙3个盒中的球数分别为0，1，2，

111此时的概率PC.

324132（4分）

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20．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)1， 2（2分）

11x1cosx，f(x)sinx，x0,. 222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662第 13 页，共 17 页

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所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,.

626（5分）

若

110，0，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(0)0)a，10，

222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2422241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 14 页，共 17 页

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21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣∴ω=

=2，

＜φ＜

）的最小正周期为π，

又由函数f（x）的图象过点P（0，1）， ∴sinφ=0， ∴φ=0，

∴函数f（x）=sin2x+1；

（Ⅱ）∵函数 g（x）=f（x）+cos2x﹣1=sin2x+cos2x=将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动所得函数的解析式是：h（x）=∵x∈（0，m）， ∴2x﹣

∈（﹣

，2m﹣

），

sin[2（x﹣

sin（2x+

），

个单位长度后， ）+

]=

sin（2x﹣

），

又由h（x）在区间（0，m）内是单调函数， ∴2m﹣

≤

，即m≤

， ．

即实数m的最大值为性质，是解答的关键．

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和

22．【答案】（1）d2,q2；（2）Sn6【解析】

2n3. 2n1第 15 页，共 17 页

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an2n1n1，………………6分 bn2352n32n1Sn112n2n1，①

222211352n32n1Sn123n1n.②……………8分 222222`22222n11222①-②得Sn112n2n1S123nn2222222222（2）分

所以Sn622n1，…………10n1n222n3.………………12分 n12考点：等差数列的概念与通项公式，错位相减法求和，等比数列的概念与通项公式.

【方法点晴】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式以及数列的求和，通过设{an}的公差为d，{bn}的公比为，根据等差数列和等比数列的通项公式，联立方程求得d和，进而可得{an}，{bn}的通项公式；（2）数列{an}的通项公式由等差数列和等比数列对应项相乘构成，需用错位相减法求得前项和Sn. bn23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由（0.006×3+0.01+0.054+x）×10=1，解得x=0.018，

前三组的人数分别为：（0.006×2+0.01+0.018）×10×50=20，第四组为0.054×10×50=27人，故数学成绩的众数落在第四组，故众数为75分．

（Ⅱ）分数在[40，50）、[90，100]的人数分别是3人，共6人， ∴这2人成绩均不低于90分的概率P=

=．

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【点评】本题考查频率分布直方图及古典概型的问题，前者要熟练掌握直方图的基本性质和如何利用直方图求众数；后者往往和计数原理结合起来考查．

24．【答案】

2xx2

【解析】解：（I）当a=1时，φ（x）=（x+x+1）e﹣．φ′（x）=e﹣（﹣x+x） 当φ′（x）＞0时，0＜x＜1；当φ′（x）＜0时，x＞1或x＜0

∴φ（x）单调减区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调增区间为（0，1）；

x2

（II）φ′（x）=e﹣[﹣x+（2﹣a）x]

∵φ（x）在x∈[1，+∞）是递减的， ∴φ′（x）≤0在x∈[1，+∞）恒成立，

2

∴﹣x+（2﹣a）x≤0在x∈[1，+∞）恒成立，

∴2﹣a≤x在x∈[1，+∞）恒成立， ∴2﹣a≤1 ∴a≥1

∵a≤2，1≤a≤2；

xx2x2

（III）φ′（x）=（2x+a）e﹣﹣e﹣（x+ax+a）=e﹣[﹣x+（2﹣a）x]

令φ′（x）=0，得x=0或x=2﹣a：

a2

由表可知，φ（x）极大=φ（2﹣a）=（4﹣a）e﹣ a2a2

设μ（a）=（4﹣a）e﹣，μ′（a）=（3﹣a）e﹣＞0，

∴μ（a）在（﹣∞，2）上是增函数，

a2

∴μ（a）≤μ（2）=2＜3，即（4﹣a）e﹣≠3，

∴不存在实数a，使φ（x）极大值为3．

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