安达市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}，B={0，1，4}，则（∁UA）∪B为（ ） A．{0，1，2，4} B．{0，1，3，4} C．{2，4} D．{4}
2． 若fx是定义在,上的偶函数，x1,x20,x1x2，有（ ）
A．f2f1f3 B．f1f2f3 C．f3f1f2 D．f3f2f1 3． 已知
，则方程f[f(x)]2的根的个数是（ ）
fx2fx10，则
x2x12x(x0)f(x)|log2x|(x0)B．4个
A．3个 （ ）
C．5个
D．6个
4． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为
A． B． C．
y=0的距离是（ ）
D．
5． 抛物线y2=2x的焦点到直线x﹣A．
B．
C．
D．
6． 已知函数，函数
，其中b∈R，若函数y=f（x）
﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．
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7． 直线x﹣2y+2=0经过椭圆 A．
B．
C．
的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
D．
）等于（ ）
8． 已知α是△ABC的一个内角，tanα=，则cos（α+A．
B．
C．
D．
9． 已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i 10．设函数的集合
C．1﹣2i D．1+2i
，平面上点的集合
，则在同一直角坐标系中，P中函数
的图象恰好经过Q中
两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D10
11．在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AA1平面ABC，AA1=2，BC23,BAC 柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A．
2,此三棱
322531 B．16 C. D． 33212．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}
二、填空题
13．已知直线l的参数方程是
（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到
直线l的距离为4的点个数有 个．
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14．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x1，x2，…，x90和y1，y2，…，y90，
*
在90组数对（xi，yi）（1≤i≤90，i∈N）中，
经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是 ．
16．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题. 17．已知i是虚数单位，复数
18．C两点，A为抛物线x2=﹣8y的焦点，过原点的直线l与函数y=的图象交于B，则|
+
|= ．
的模为 ．
2三、解答题
19．在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF； （Ⅱ）求证：BD⊥AE．
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20．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
2
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
3
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
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21．设函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）求函数
22．已知集合A={x|
2
＞1，x∈R}，B={x|x﹣2x﹣m＜0}．
．
的最小正周期；
在
上的最大值与最小值．
（Ⅰ）当m=3时，求；A∩（∁RB）；
（Ⅱ）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}，求实数m的值．
23．设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
的定义域为R．若p∨q是真命题，
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24．已知函数f（x）=
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间； （2）当
．
时，求f（x）的最大值，并求此时对应的x的值．
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安达市高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：∵U={0，1，2，3，4}，集合A={0，1，3}， ∴CUA={2，4}， ∵B={0，1，4}， 故选：A．
∴（CUA）∪B={0，1，2，4}．
【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2． 【答案】D 3． 【答案】C
【解析】由f[f(x)]2，设f（A）=2,则f（x）=A,则log2x2，则A=4或A=数型结合，当A=
1，作出f（x）的图像，由41时3个根，A=4时有两个交点，所以f[f(x)]2的根的个数是5个。 44． 【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项． 故选：C．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
5． 【答案】C
2
【解析】解：抛物线y=2x的焦点F（，0），
由点到直线的距离公式可知： F到直线x﹣
y=0的距离d=
=，
故答案选：C．
6． 【答案】 D
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【解析】解：∵g（x）=﹣f（2﹣x），
∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣+f（2﹣x）， 由f（x）﹣+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=， 设h（x）=f（x）+f（2﹣x）， 若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，
2
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x，
若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x＞2，﹣x＜﹣2，2﹣x＜0， 作出函数h（x）的图象如图：
22
则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）+2﹣|2﹣x|=x﹣5x+8．
22
当x≤0时，h（x）=2+x+x=（x+）+≥， 22
当x＞2时，h（x）=x﹣5x+8=（x﹣）+≥，
故当=时，h（x）=，有两个交点， 当=2时，h（x）=，有无数个交点，
由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点， 即h（x）=恰有4个根，
则满足＜＜2，解得：b∈（，4）， 故选：D．
【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．
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7． 【答案】A
【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1）， 直线x﹣2y+2=0经过椭圆故故选A．
．
的一个焦点和一个顶点；
【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．
8． 【答案】B
【解析】解：由于α是△ABC的一个内角，tanα=， 则
=，又sin2α+cos2α=1，
解得sinα=，cosα=（负值舍去）． 则cos（α+故选B．
【点评】本题考查三角函数的求值，考查同角的平方关系和商数关系，考查两角和的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．
9． 【答案】A
【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A
10．【答案】B
【解析】本题考查了对数的计算、列举思想
a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合； a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；
a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个 11．【答案】A 【解析】
，
）=cos
cosα﹣sin
sinα=
×（﹣）=
．
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考点：组合体的结构特征；球的体积公式.
【方法点晴】本题主要考查了球的组合体的结构特征、球的体积的计算，其中解答中涉及到三棱柱的线面位置关系、直三棱柱的结构特征、球的性质和球的体积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和学生的空间想象能力，试题有一定的难度，属于中档试题. 12．【答案】D
【解析】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
xx
故可得f（10）＞0等价于﹣1＜10＜， x
由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10＞﹣1，
而10＜可化为10＜
x
x，即10＜10﹣，
x
lg2
由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2 故选：D
二、填空题
13．【答案】 2
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【解析】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，
222
由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ=8ρcosθ+6ρsinθ，即x+y=8x+6y，
22
化为标准式得（x﹣4）+（y﹣3）=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l的距离是
故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个， 故答案为：2．
，
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
14．【答案】
．
【解析】设A（1，1），B（﹣1，﹣1），则直线AB过原点，且阴影面积等于直线AB与圆弧所 围成的弓形面积S1，由图知，
，又
，所以
【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．
15．【答案】
．
【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，
可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：．
【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．
16．【答案】
2 3第 11 页，共 15 页
【解析】
17．【答案】
．
=
=i﹣1的模为
=
．
【解析】解：∵复数故答案为：
．
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
18．【答案】 4 ．
+|=2|【解析】解：由题意可得点B和点C关于原点对称，∴|
2
再根据A为抛物线x=﹣8y的焦点，可得A（0，﹣2），
|，
∴2||=4，
+
|=2|
|是解题的关键．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查抛物线的方程、简单性质，属于基础题，利用|
三、解答题
19．【答案】
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接FO，则OF为△BDE的中位线，从而DE∥OF，由此能证明DE∥平面ACF． （Ⅱ）推导出BD⊥AC，EC⊥BD，从而BD⊥平面ACE，由此能证明BD⊥AE．
【解答】证明：（Ⅰ）连接FO，∵底面ABCD是正方形，且O为对角线AC和BD交点， ∴O为BD的中点， 又∵F为BE中点，
∴OF为△BDE的中位线，即DE∥OF， 又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF， ∴DE∥平面ACF．
（Ⅱ）∵底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC， ∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥BD， ∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AE．
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20．【答案】
【解析】解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=
（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2
+1800，
∴当x=15时，S取最大值．
（2）V=a2
h=2
（﹣x3+30x2
），V′=6
x（20﹣x），
由V′=0得x=20，
当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；
∴当x=20时，包装盒容积V（cm3
）最大，
此时，．
即此时包装盒的高与底面边长的比值是．
21．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合 【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数
的最小正周期为．
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x，h=30﹣x），0＜x＜30．
（（Ⅱ）由（Ⅰ），得因为所以所以所以且当
时，，
， ．
．
取到最大值
；
．
当时，取到最小值． 22．【答案】
2
【解析】解：（1）当m=3时，由x﹣2x﹣3＜0⇒﹣1＜x＜3， 由
＞1⇒﹣1＜x＜5，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜3}； （2）若A∩B={x|﹣1＜x＜4}， ∵A=（﹣1，5），
2
∴4是方程x﹣2x﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A∩B=（﹣1，4）．
∴m=8．
23．【答案】
x
【解析】解：∵关于x的不等式a＞1的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1； 故命题p为真时，0＜a＜1； ∵函数∴
的定义域为R， ⇒a≥，
由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则命题p、q一真一假，
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当p真q假时，则⇒0＜a＜；
当q真p假时，则⇒a≥1，
综上实数a的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．
24．【答案】
【解析】解：（1）f（x）==sin2x+=
=sin（2x﹣周期T=π，
因为cosx≠0，所以{x|x≠当2x﹣
∈，即
+kπ，k∈Z}…5分
+kπ，x≠
+kπ，k∈Z时函数f（x）单调递减，
sinxcosx﹣ +
sin2x﹣ ）…3分
﹣
+kπ≤x≤
所以函数f（x）的单调递减区间为，，k∈Z…7分 （2）当sin（2x﹣故当x=
，2x﹣
∈，…9分
时取最大值，
）∈（﹣，1），当x=
时函数f（x）取最大值为1…12分
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数最值的解法，属于基础题．
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