2020-2021杭州市九年级数学下期末试卷附答案

一、选择题

1．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ） A．9 A．2

B．8 B．0

C．7 C．1

D．6 D．2

2．下列四个实数中，比1小的数是（ ）

3．在某校“我的”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同.其中的一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的( ) A．众数

B．方差

C．平均数

D．中位数

4．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分 人数/人 70 1 80 3 90 100 1 x 已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ） A．80分

B．85分

C．90分

D．80分和90分

5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，且a>b>c，a＋b＋c＝0，有以下四个命题，则一定正确命题的序号是（ ）

①x=1是二次方程ax＋bx＋c=0的一个实数根； ②二次函数y＝ax＋bx＋c的开口向下；

③二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的左侧； ④不等式4a+2b+c>0一定成立． A．①②

B．①③

C．①④

D．③④

6．下列图形是轴对称图形的有（ ）

2

2

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

7．若点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在反比例函数yx2，则（ ） A．y1＜y2 8．若关于x的方程A．m＜

B．y1＝y2

k

（k＞0）的图象上，且x1＝﹣x

D．y1＝﹣y2

C．y1＞y2

xm3m=3的解为正数，则m的取值范围是（ ） x33xB．m＜

9 29 493且m≠

2239且m≠﹣ 44C．m＞﹣D．m＞﹣

9．如图，正比例函数y=k1x与反比例函数y=坐标为（2，1），则点B的坐标是（ ）

k2的图象相交于点A、B两点，若点A的x

A．（1，2） B．（－2，1） C．（－1，－2） D．（－2，－1）

10．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ） A．

120150 xx8B．

120150 x8xC．

120150 x8xD．

120150 xx811．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=35米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（ ）

A．5米 12．黄金分割数B．6米 C．8米 D．（3+5 ）米

51是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请2B．在1.2和1.3之间 D．在1.4和1.5之间

你估算5﹣1的值（ ） A．在1.1和1.2之间 C．在1.3和1.4之间

二、填空题

13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是 ．

14．某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是______元.

3x2x415．不等式组x1的整数解是x= ．

1x1216．如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠

»的长为 cm．A=30°，则劣弧BC

17．如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数yk在x第一象限的图象经过点D，交BC于E，若点E是BC的中点，则OD的长为_____．

18．若a，b互为相反数，则a2bab2________.

19．在一次班级数学测试中，65分为及格分数线，全班的总平均分为66分，而所有成绩及格的学生的平均分为72分，所有成绩不及格的学生的平均分为58分，为了减少不及格的学生人数，老师给每位学生的成绩加上了5分，加分之后，所有成绩及格的学生的平均分变为75分，所有成绩不及格的学生的平均分变为59分，已知该班学生人数大于15人少于30人，该班共有_____位学生．

20．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．

三、解答题

21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．

（1）求DE的长； （2）求△ADB的面积．

22．如图，在平面直角坐标系中，直线ykx10经过点A(12,0)和B(a,5)，双曲线

ym(x0)经过点B． x（1）求直线ykx10和双曲线ym的函数表达式； x（2）点C从点A出发，沿过点A与y轴平行的直线向下运动，速度为每秒1个单位长度，点C的运动时间为t（0＜t＜12），连接BC，作BD⊥BC交x轴于点D，连接CD， ①当点C在双曲线上时，求t的值；

②在0＜t＜6范围内，∠BCD的大小如果发生变化，求tan∠BCD的变化范围；如果不发生变化，求tan∠BCD的值； ③当DC1361时，请直接写出t的值． 12

23．已知抛物线y＝ax2﹣

1x+c经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P，Q同时从原点出发3均以1个单位/秒的速度运动，动点P沿x轴正方向运动，动点Q沿y轴正方向运动，连接PQ，设运动时间为t秒 (1)求抛物线的解析式； (2)当BQ＝

1AP时，求t的值； 3(3)随着点P，Q的运动，抛物线上是否存在点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

24．如图，在平面直角坐标系中，小正方形格子的边长为1，Rt△ABC三个顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)写出A，C两点的坐标；

(2)画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；

(3)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并直接写出点C旋转至C2经过的路径长．

25．如图1，菱形ABCD中，ABC120，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PAPE，PE交CD于F，连接CE.

（1）证明：△ADP≌△CDP； （2）判断△CEP的形状，并说明理由.

（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP与线．．段CE的数量关系. 26．计算：

（1）2（m﹣1）2﹣（2m+1）（m﹣1） （2）（1﹣

）

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】

分析：根据多边形的内角和公式计算即可. 详解：

.

答:这个正多边形的边数是9.故选A.

点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.

2．A

解析：A 【解析】

试题分析：A．﹣2＜﹣1，故正确； B．0＞﹣1，故本选项错误； C．1＞﹣1，故本选项错误； D．2＞﹣1，故本选项错误； 故选A．

考点：有理数大小比较．

3．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）的意义，9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】

由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少. 故本题选：D. 【点睛】

本题考查了统计量的选择，熟练掌握众数，方差，平均数，中位数的概念是解题的关键.

4．D

解析：D 【解析】

【分析】

先通过加权平均数求出x的值，再根据众数的定义就可以求解． 【详解】

3+90x+100=85（1+3+x+1）， 解：根据题意得：70+80×x=3

∴该组数据的众数是80分或90分． 故选D． 【点睛】

本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x是解答问题的关键．

5．C

解析：C 【解析】

试题分析：当x=1时，a+b+c=0，因此可知二次方程ax2＋bx＋c=0的一个实数根，故①正确；根据a＞b＞c，且a+b+c=0，可知a＞0，函数的开口向上，故②不正确； 根据二次函数的对称轴为x=-

b，可知无法判断对称轴的位置，故③不正确； 2a根据其图像开口向上，且当x=2时，4a+2b+c＞a+b+c=0，故不等式4a+2b+c>0一定成立，故④正确. 故选：C.

6．C

解析：C 【解析】

试题分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断． 解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；

图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意； 图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 图（3）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意； 图（3）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意． 故轴对称图形有4个． 故选C．

考点：轴对称图形．

7．D

解析：D 【解析】 由题意得：y1kky2 ，故选D. x1x28．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

解：去分母得：x+m﹣3m=3x﹣9， 整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=已知关于x的方程

2m9， 2xm3m=3的解为正数， x33x所以﹣2m+9＞0，解得m＜当x=3时，x=

9， 22m93=3，解得：m=， 22所以m的取值范围是：m＜故答案选B．

93且m≠．

229．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据正比例函数与反比例函数关于原点对称的性质，正比例函数y=k1x与反比例函数

y=k2的图象的两交点A、B关于原点对称； x由A的坐标为（2，1），根据关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数的坐标特征，得点B的坐标是（－2，－1）． 故选：D

10．D

解析：D 【解析】 【分析】

首先用x表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程. 【详解】

解：∵甲每小时做x个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件， ∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴故选D.

120150， xx8【点睛】

本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.

11．A

解析：A 【解析】

试题分析：根据CD：AD=1:2，AC=35米可得：CD=3米，AD=6米，根据AB=10米，∠D=90°可得：BD=AB2AD2=8米，则BC=BD－CD=8－3=5米.

考点：直角三角形的勾股定理

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据4.84<5<5.29，可得答案． 【详解】 ∵4.84<5<5.29， ∴2.2<5<2.3， ∴1.2<5-1<1.3， 故选B． 【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，利用5≈2.236是解题关键．

二、填空题

13．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可

解析：【解析】 【分析】

连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积. 【详解】

连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4， 由勾股定理可得BO=3， 所以BD=6， 即可得菱形的面积是

1×6×8=24． 2

考点：菱形的性质；勾股定理.

14．2000【解析】【分析】设这种商品的进价是x元根据提价之后打八折售价为2240元列方程解答即可【详解】设这种商品的进价是x元由题意得(1+40)x×08＝2240解得：x＝2000故答案为：2000

解析：2000， 【解析】 【分析】

设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可. 【详解】

设这种商品的进价是x元， 0.8＝2240， 由题意得，(1+40%)x×解得：x＝2000， 故答案为：2000. 【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用——销售问题，弄清题意，熟练掌握标价、折扣、实际售价间的关系是解题的关键.

15．﹣4【解析】【分析】先求出不等式组的解集再得出不等式组的整数解即可【详解】解：∵解不等式①得：x≤﹣4解不等式②得：x＞﹣5∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4∴不等式组的整数解为x=﹣4故答案为﹣4【

解析：﹣4． 【解析】 【分析】

先求出不等式组的解集，再得出不等式组的整数解即可． 【详解】

3x2x4①, 解：x11x1②2∵解不等式①得：x≤﹣4， 解不等式②得：x＞﹣5， ∴不等式组的解集为﹣5＜x≤﹣4， ∴不等式组的整数解为x=﹣4， 故答案为﹣4． 【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的性质求出不等式组的解集是解此题的关键．

16．【解析】根据切线的性质可得出OB⊥AB从而求出∠BOA的度数利用弦BC∥AO及OB=OC可得出∠BOC的度数代入弧长公式即可得出∵直线AB是⊙O的切线∴OB⊥AB（切线的性质）又∵∠A=30°∴∠B

解析：2． 【解析】

根据切线的性质可得出OB⊥AB，从而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出

∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB（切线的性质）． 又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°（直角三角形两锐角互余）． ∵弦BC∥AO，∴∠CBO=∠BOA=60°（两直线平行，内错角相等）． 又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形（等边三角形的判定）． ∴∠BOC=60°（等边三角形的每个内角等于60°）．

»的长=又∵⊙O的半径为6cm，∴劣弧BC606=2（cm）． 18017．【解析】【分析】设D（x2）则E（x+21）由反比例函数经过点DE列出关于x的方程求得x的值即可得出答案【详解】解：设D（x2）则E（x+21）∵反比例函数在第一象限的图象经过点D点E∴2x＝x+2 解析：

x1 x2【解析】 【分析】

设D（x，2）则E（x+2，1），由反比例函数经过点D、E列出关于x的方程，求得x的值即可得出答案． 【详解】

解：设D（x，2）则E（x+2，1）， ∵反比例函数y∴2x＝x+2， 解得x＝2， ∴D（2，2）， ∴OA＝AD＝2，

∴ODOA2OD222, 故答案为:22. 【点睛】

本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意表示出点D、E的坐标及反比例函数图象上点的横纵坐标乘积都等于反比例系数k．

k

在第一象限的图象经过点D、点E， x

18．0【解析】【分析】先提公因式得ab（a+b）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数

解析：0 【解析】 【分析】

先提公因式得ab（a+b），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0． 【详解】

解：∵a2bab2= ab（a+b），而a+b=0， ∴原式=0. 故答案为0， 【点睛】

本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．

19．28【解析】【分析】设加分前及格人数为x人不及格人数为y人原来不及格加分为及格的人数为n人所以72x+58y=66(x+y)75(x+n)+59(y-n)=(66+5)(x+y)用n分别表示xy得到

解析：28 【解析】 【分析】

设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为及格的人数为n人，所以利用15＜【详解】

设加分前及格人数为x人，不及格人数为y人，原来不及格加分为为及格的人数为n人， 根据题意得

，

n＜30，n为正整数，

，用n分别表示x、y得到x+y＝

n，然后

n为整数可得到n＝5，从而得到x+y的值．

解得，

所以x+y＝而15＜

n，

n为整数，

n＜30，n为正整数，

所以n＝5， 所以x+y＝28， 即该班共有28位学生． 故答案为28．

【点睛】

本题考查了加权平均数：熟练掌握加权平均数的计算方法．构建方程组的模型是解题关键．

20．【解析】【分析】连接BD根据中位线的性质得出EFBD且EF=BD进而根据勾股定理的逆定理得到△BDC是直角三角形求解即可【详解】连接BD分别是ABAD的中点EFBD且EF=BD又△BDC是直角三角形

4解析：

3【解析】 【分析】

连接BD，根据中位线的性质得出EF//BD，且EF=到△BDC是直角三角形，求解即可． 【详解】 连接BD

1BD，进而根据勾股定理的逆定理得2QE,F分别是AB、AD的中点

EF//BD，且EF=

1BD 2QEF4 BD8

又QBD8，BC10，CD6

△BDC是直角三角形，且BDC=90 tanC=

BD84==. DC634故答案为：.

3

三、解答题

21．（1）DE=3；（2）SADB15. 【解析】 【分析】

（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可； （2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.

【详解】

（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°， ∴CD=DE， ∵CD=3， ∴DE=3；

（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：ABAC2BC2628210， ∴△ADB的面积为SADB11ABDE10315. 2222．（1）直线的表达式为y5530x10，双曲线的表达式为y；（2）①；②当6x251550t6时，BCD的大小不发生变化，tanBCD的值为；③t的值为或．

622【解析】 【分析】

（1）由点A(12,0)利用待定系数法可求出直线的表达式；再由直线的表达式求出点B的坐

标，然后利用待定系数法即可求出双曲线的表达式；

（2）①先求出点C的横坐标，再将其代入双曲线的表达式求出点C的纵坐标，从而即可得出t的值；

②如图1（见解析），设直线AB交y轴于M，则M(0,10)，取CD的中点K，连接AK、BK．利用直角三角形的性质证明A、D、B、C四点共圆，再根据圆周角定理可得

BCDDAB，从而得出tanBCDtanDABOM，即可解决问题； OA③如图2（见解析），过点B作BM⊥OA于M，先求出点D与点M重合的临界位置时t的值，据此分0t5和5t12两种情况讨论：根据A,B,C三点坐标求出

AM,BM,AC的长，再利用三角形相似的判定定理与性质求出DM的长，最后在

RtACD中，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】

（1）∵直线ykx10经过点A(12,0)和B(a,5)

∴将点A(12,0)代入得12k100 解得k5 65x10 6故直线的表达式为y将点B(a,5)代入直线的表达式得解得a6

5a105 6B(6,5)

∵双曲线ym(x0)经过点B(6,5) xm5，解得m30 6故双曲线的表达式为y30； x（2）①QAC//y轴，点A的坐标为A(12,0) ∴点C的横坐标为12

将其代入双曲线的表达式得y∴C的纵坐标为305 12255，即AC

2255，解得t 22由题意得1tAC故当点C在双曲线上时，t的值为

5； 2②当0t6时，BCD的大小不发生变化，求解过程如下： 若点D与点A重合

由题意知，点C坐标为(12,t)

由两点距离公式得：AB(612)(50)61

222BC2(126)2(t5)236(t5)2 AC2t2

由勾股定理得AB2BC2AC2，即6136(t5)t 解得t12.2

因此，在0t6范围内，点D与点A不重合，且在点A左侧 如图1，设直线AB交y轴于M，取CD的中点K，连接AK、BK 由（1）知，直线AB的表达式为y225x10 6令x0得y10，则M(0,10)，即OM10

Q点K为CD的中点，BDBC

1BKDKCKCD（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）

2同理可得：AKDKCK1CD 2BKDKCKAK

A、D、B、C四点共圆，点K为圆心

BCDDAB（圆周角定理）

tanBCDtanDABOM105； OA126

③过点B作BM⊥OA于M

由题意和②可知，点D在点A左侧，与点M重合是一个临界位置 此时，四边形ACBD是矩形，则ACBD5，即t5 因此，分以下2种情况讨论：

如图2，当0t5时，过点C作CNBM于N

QA(12,0),B(6,5),C(12,t)

OA12,OM6,AMOAOM6,BM5,ACt

QCBNDBMBDMDBM90 CBNBDM

又QCNBBMD90

CNBBMD

CNBN BMDMAMBMAC65t，即 BMDM5DM5DM(5t)

65ADAMDM6(5t)

6由勾股定理得AD2AC2CD2

136125即6(5t)t2() 612解得t2155或t（不符题设，舍去） 22136125当5t12时，同理可得：6(t5)t2() 126解得t2155或t（不符题设，舍去）

22综上所述，t的值为

515或． 22

【点睛】

本题考查反比例函数综合题、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、四点共圆、勾股定理等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 23．（1）y＝－

1221x－x＋2；（2）当BQ＝AP时，t＝1或t＝4；（3）存在．当t＝

33313时，抛物线上存在点M（1，1），或当t＝333时，抛物线上存在点M（﹣

3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形． 【解析】 【分析】

（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－（2）BQ=

1x＋c，求出解析式即可; 31AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP3关于t的表示，代入BQ=

1AP可求t值． 3（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性． 【详解】

（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，

224ac0,a,∴，解得33 c2.c2.∴抛物线的解析式为y＝－

221x－x＋2．

33（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t． ①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t． ∵BQ＝

11AP，∴2﹣t＝（2＋t），∴t＝1． 3311AP，∴t﹣2＝（2+t），∴t＝4． 33②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2． ∵BQ＝

1AP时，t＝1或t＝4． 3（3）存在．

作MC⊥x轴于点C，连接OM．

∴当BQ＝

设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP， 又∵OP＝OQ，

∴点M点必在PQ的垂直平分线上， ∴∠POM＝

221m－m＋2．

331∠POQ＝45°， 2∴△MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，

221m－m＋2，

33解得m1＝1，m2＝﹣3．

∴m＝－

∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）． ①如图，

当M的坐标为（1，1）时，

则有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2， PQ2＝2t2，

∵△MPQ为等边三角形， ∴MP＝PQ， ∴t2﹣2t＋2＝2t2，

解得t1＝1+3，t2＝13（负值舍去）． ②如图，

当M的坐标为（﹣3，﹣3）时， 则有PC＝3＋t，MC＝3，

∴MP2＝32＋（3＋t）2＝t2＋6t＋18，PQ2＝2t2， ∵△MPQ为等边三角形， ∴MP＝PQ， ∴t2＋6t＋18＝2t2，

解得t1＝333，t2＝333（负值舍去）．

∴当t＝1+3时，抛物线上存在点M（1，1），或当t＝333时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形． 【点睛】

本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．

24．(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)；(2)见解析；(3)【解析】 【分析】

10π． 2(1)利用第二象限点的坐标特征写出A，C两点的坐标；

(2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； (3)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后描点得到△A2B2C2，再利用弧长公式计算点C旋转至C2经过的路径长． 【详解】

解：(1)A点坐标为(﹣4，1)，C点坐标为(﹣1，1)； (2)如图，△A1B1C1为所作；

(3)如图，△A2B2C2为所作， OC＝1232＝10， 点C旋转至C2经过的路径长＝【点睛】

本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了弧长公式．

25．（1）证明见解析；（2）CEP是等边三角形，理由见解析；（3）CE【解析】 【分析】

（1）由菱形ABCD性质可知，ADCD，ADPCDP，即可证明； （2）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，由PA=PE，推出DCPDEP，可知

901010π． ＝18022AP.

CPFEDF60，由PA═PE=PC，即可证明△PEC是等边三角形；

（3）由△PDA≌△PDC，推出PA=PC，∠3=∠1，由PA=PE，推出∠2=∠3，推出∠1=∠2，由∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC，推出∠FPC=EDF=90°，推出△PEC是等腰直角三角形即可解答； 【详解】

（1）证明：在菱形ABCD中，ADCD，ADPCDP， 在ADP和CDP

ADCDADPCDP， DPDP∴ADPCDPSAS. （2）CEP是等边三角形，

由（1）知，ADPCDP，∴DAPDCP，APCP， ∵PAPE，∴DAPDEP， ∴DCPDEP，

∵CFPEFD（对顶角相等），

∴180PFCPCF180DFEDEP， 即CPFEDF60， 又∵PAPE，APCP； ∴PEPC， ∴CEP是等边三角形. （3）CE2AP.

过程如下：证明：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∠ADC=90°， 在△PDA和△PDC中，

PD＝PDPDA＝PDC，， DA＝DC∴△PDA≌△PDC， ∴PA=PC，∠3=∠1， ∵PA=PE， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，

∵∠EDF=90°，∠DFE=∠PFC， ∴∠FPC=EDF=90°， ∴△PEC是等腰直角三角形． ∴CE=2PC=2AP.

【点睛】

本题考查正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形判定、等腰直角三角形性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

26．（1）﹣3m+3；（2）【解析】 【分析】

（1）先根据完全平方公式和多项式乘多项式法则计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）先计算括号内分式的减法，将除法转化为乘法，再约分即可得． 【详解】

（1）原式＝2（m2﹣2m+1）﹣（2m2﹣2m+m﹣1） ＝2m2﹣4m+2﹣2m2+2m﹣m+1 ＝﹣3m+3； （2）原式＝（＝＝

．

﹣

）÷

【点睛】

本题主要考查分式和整式的混合运算，熟练掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则是解题关键．