daoecAAA浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

daoecAAA浙教版九年级上册二次函数知识点

总结及典型例题

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浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念

一般地，如果特yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。yax2bxc(a,b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

二次函数的图像是一条关于xb对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 2a抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。 3、二次函数图像的画法--------五点作图法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴

（2）求抛物线yax2bxc与坐标轴的交点：

当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。 【例1】、已知函数y=x2-2x-3，

（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图象的草图；

（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：

（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0

知识点二、二次函数的解析式

二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：yax2bxc(a,b,c是常数，a0)

2

（2）两根 当抛物线yax2bxc与x轴有交点时，即对应的一元二次方程

ax2bxc0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2bxca(xx1)(xx2)，

二次函数yax2bxc可转化为两根式ya(xx1)(xx2)。如果没有交点，则不能这样表示。

a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

（3）三顶点 顶点式：ya(xh)2k(a,h,k是常数，a0) 当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁。

【例1】、抛物线yax2bxc与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，且过（-1，16），求抛物线的解析式。

【例2】、如图，抛物线yax2bxc与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc 0 （＞或＜或=）

（2）a的取值范围是

【例3】、下列二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )

A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1 C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 − 3 知识点三、二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当

4acb2bx时，y最值。

4a2a3

如果自变量的取值范围是x1xx2，那么，首先要看b是否在自变量取值范围x1xx22a4acb2b内，若在此范围内，则当x=时，y最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在

4a2ax1xx2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx2时，

2y最大ax2bx2c，当xx1时，y最小ax12bx1c；如果在此范围内，y随x的增大而减小，2bx2c。 则当xx1时，y最大ax12bx1c，当xx2时，y最小ax2y 3 【例1】、已知二次函数的图像（0≤x≤3）如图所示,关于该函数在所给自变量取值范围内, 1 O2 3 x下列说法正确的是( ) -A．有最小值0，有最大值3 C．有最小值－1,有最大值3

B．有最小值－1,有最大值0 D．有最小值－1,无最大值

【例2】、某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．

（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；

（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大 最大利润是多少元 知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 函数 图二次函数 yax2bxc(a,b,c是常数，a0) a>0 a<0 4

像 y 0 x （1）抛物线开口向上，并向上无限延伸； b（2）对称轴是x=，顶点坐标是2a4acb2b（，）； 4a2ab（3）在对称轴的左侧，即当x≤2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的b右侧，即当x≥时，y随x的增大2a而增大，简记左减右增； b（4）抛物线有最低点，当x=时，y2a4acb2有最小值，y最小值 4a性质 y 0 x （1）抛物线开口向下，并向下无限延伸； b（2）对称轴是x=，顶点坐标是2a4acb2b（，）； 4a2ab（3）在对称轴的左侧，即当x≤2a时，y随x的增大而增大；在对称轴b的右侧，即当x≥时，y随x的2a增大而减小，简记左增右减； b（4）抛物线有最高点，当x=时，y2a4acb2有最大值，y最大值 4a2、二次函数yax2bxc(a,b,c是常数，a0)中，a、b、c的含义：

a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上

a<0时，抛物线开口向下

b与对称轴有关：对称轴为x=b 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c） 3、二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的b24ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。 当>0时，图像与x轴有两个交点； 当=0时，图像与x轴有一个交点；

5

当<0时，图像与x轴没有交点。

【例1】、抛物线y=x-2x-3的顶点坐标是 . 【例2】、二次函数yx22x5有( ) A． 最大值5

B． 最小值5

C． 最大值6 D． 最小值6

【例3】、由二次函数y2(x3)21，可知（ ）

A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x3 C．其最小值为1 D．当x3时，y随x的增大而增大

【例4】、已知函数y(k3)x22x1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ) A.k4 且k3

B.k4

C.k4且k3

D.k42

【例5】、下列函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是（ ）． A．y = x2

B．y = x－１

3

C． y = x

4

1

D．y =

x【例6】、若二次函数y(xm)21．当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ）

A．m=l B．m>l C．m≥l D．m≤l 知识点五、二次函数图象的平移

① 对于抛物线y=ax2+bx+c的平移

通常先将一般式转化成顶点式yaxhk，再遵循左加右减，上加下减的的原则 化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

② yax2bxc沿y轴平移：向上（下）平移m（m＞0）个单位，yax2bxc变成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

2③ 当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式

yax2bxc：向左（右）平移m（m＞0）个单位，yax2bxc变成ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

6

【例1】、将抛物线yx2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A．y(x2)2 B．yx22 C．y(x2)2 D．yx22

【例2】、将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______. 【例3】、抛物线yx2可以由抛物线yx23平移得到,则下列平移过程正确的是( ) A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位 C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位 D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位 知识点六、抛物线yax2bxc中， a、b、c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线

2x③

bb，故：①b0时，对称轴为y轴；②0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧；2aab0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.口诀---左同，右异 （a、ba同号，

对称轴在y轴左侧）

（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.

当x0时，yc，∴抛物线yax2bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c0，抛物线经过原点; ②c0,与y轴交于正半轴； ③c0,与y轴交于负半

轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 【例1】、如图为抛物线yax2bxc的图像，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是( ) A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2a D．ac<0

【例2】、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是( )

7

b0. aA．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0

【例3】、如图所示的二次函数yax2bxc的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b24ac0；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。你认为其中错误的有( ) ．．A．2个

B．3个

C．4个

D．1个

y 1 -1 O 1 【例4】、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐

1标为,1，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其

2中正确的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【例5】、如图，是二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题 ：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是 ．（只要求填写正确命题的序号）

【例6】、如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相称轴，则下列关系正确的是（ ）

A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h

知识点七、中考二次函数压轴题中常用到的公式（浙教版教材上没讲过，但是非常有用，一定要理解性地记忆）

1、两点间距离公式：如图：点A坐标为（x1，y1），点B坐标为（x2，y2），则AB间的距

y同的对

离，即线段AB的长度为

x1x22y1y2 （这实际上是根据勾股定理得出来的） P 2y2B yPy2y1y1A x2x18

O x1xp

x2x2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，

B(x2，y2) ，AB中点P的坐标为(xp，yp)．由xpx1x2xp，得xpx1x2， 2同理ypy1y2xxyy，所以AB的中点坐标为(12，12)． 222 3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。

4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值。（对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解）

以上四条，我称它们为坐标系中的“四大金刚”

【例1】、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D

是该抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；

（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．

【例2】、如图，已知抛物线y=﹣x+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；

2

9

（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由； （4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

【例3】、如图，抛物线y123xx4与x轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴42交于C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。 （1）求点A、B、C的坐标；

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使⊿BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由。 EADDDOB EAOBEAOB CCC

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练 习

1、平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m，距地面均为1m，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如右图所示)( )

A．1．5 m B．1．625 m C．1．66 m D．1．67 m

2x11x≤32、已知函数y，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） 2x51x＞3

A．0 B．1 C．2 D．3

a

与一次函数ybxc在同一坐标x

3. 二次函数yax2bxc的图象如图所示，则反比例函数y系中的大致图象是（ ）.

4. 如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过点（－1，0），（1，－2），当y随x的增大而增

大时，x的取值 范围是 ．

1 yyx2bxc-1 O1x（1,-2） 5. 在平面直角坐标系中，将抛物线yx22x3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解

析式是（ ）．

A．y(x1)22 B．y(x1)24

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C．y(x1)22 D．y(x1)24

6. 已知二次函数yax2bxc的图像如图，其对称轴x1，给出下列结果

①b24ac②abc0③2ab0④abc0⑤abc0，则正确的结论是（ ）

A ①②③④ B ②④⑤ C ②③④ D ①④⑤

7．抛物线yax2bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：

x y

从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）

①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）； ②函数yax2bxc的最大值为6； ③抛物线的对称轴是x1； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大． 2… … －2 0 －1 4 0 6 1 6 2 4 … … 8. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（－2，4），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连结OA． (1)求△OAB的面积；

(2)若抛物线yx22xc经过点A． ①求c的值；

②将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在

△OAB的内部（不包括△OAB的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）．

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9、“已知函数y12xbxc的图象经过点A（c，－2）， 2 ，这个二次函数图象的

对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。

10、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD= 90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（-1，0），B( -1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N．

（1）求抛物线的解析式

（2）抛物线上是否存在点P．使得PA= PC．若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理

由。

（3）设抛物线与x轴的另—个交点为E．点Q是抛物线的对称轴上的—个动点，当点Q在什

么位置时有QEQC最大？并求出最大值。

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y B N M C E A 图 O D x

11、如图，抛物线y=

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x+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（一1，0）． 2⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论；

⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值．

12、在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上。设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N

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两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O， ①试求出当n=3时a的值； ②直接写出a关于n的关系式. yyCDy = 1.1厘MNBO OC … By CBxACxFEAAOx… 图3 O x 图1 图2 1、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______． （0≤b<4） 2、如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=7x2y1的值等于_______． 3、如图，双曲线y4交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－x2(x0)经过四边形OABC的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC平分OA与x轴x正半轴的夹角，AB∥x轴，将△ABC沿AC翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA上，则四边形OABC的面积是 .

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