高考数学总复习 对数与对数函数知识梳理

【考纲要求】

1.掌握对数的概念、常用对数、对数式与指数式互化，对数的运算性质、换底公式与自然对数； 2.掌握对数函数的概念、图象和性质.

3.正确使用对数的运算性质；底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.

4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思想方法； 【知识网络】

对数与对数函数 对数的概念 指对互化运算

对数运算性质 对数函数的图像与图象与性质

【考点梳理】

考点一、对数概念及其运算

xx

我们在学习过程遇到2=4的问题时，可凭经验得到x=2的解，而一旦出现2=3时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算.

(一)对数概念:

1.如果aNa0，且a1，那么数b叫做以a为底N的对数，

b记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

logNaaN

logaNb3.对数logaNa0，且a1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N0； (2)1的对数为0，即loga10； (3)底的对数等于1，即logaa1.

2.对数恒等式：

(二)常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lgN. 以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记作lnN.

(三)对数式与指数式的关系

由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化. 它们的关系可由下图表示.

abN

由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. (四)积、商、幂的对数

已知logaM，logaNa0且a1，M、N0 (1)logaMNlogaMlogaN； 推广：logaN1N2(2)logaNklogaN1logaN2logaNkN1、N2、、Nk0

MlogaMlogaN； N(3)logaMlogaM.

(五)换底公式

同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) logaMlog即bloganb

Mn(nR)

bn

n

令 logaM=b， 则有a=M， (a)=M，即(an)bMn，

anMn，即:logaMloganMn.

logcM(c0,c1)，令logaM=b，

logcalogcM，

logca(2) logaMb

则有a=M， 则有 logcablogcM(c0,c1) 即blogcalogcM， 即b即logaMlogcM(c0,c1)

logca当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性. 而且由(2)还可以得到一个重要的结论:

logab1(a0,a1,b0,b1).

logba考点二、对数函数及其图像、性质

1.函数y=logax(a>0，a≠1)叫做对数函数. 2.在同一坐标系内，

当a>1时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；

当0(1)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的定义域为(0，+∞)，值域为R (2)对数函数y=logax(a>0，a≠1)的图像过点(1，0)

0(x1)(3)当a>1时，logax0(x1)

0(0x1)0(x1)当0a1时，logax0(x1)

0(0x1)【典型例题】

类型一、指数式与对数式互化及其应用 例1.将下列指数式与对数式互化：

(1)log283；(2)log192；(3)log33x3；

1114(4)5625；(5)3；(6)3423216.

31【解析】(1)28；(2)9；(3)3x；

31(4)log56254；(5)log31；(6)log1162.

34【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决

问题的重要手段.

举一反三：

【变式】求下列各式中x的值：

2 (2)logx86 32(3)lg100=x (4)-lnex

(1)logx【解析】(1)x()623(4)16632341623()342121； 16(2)x8，所以x(x)(8)(2)2x2

(3)10=100=10，于是x=2；

(4)由lnex，得xlne，即e类型二、对数运算法则的应用 例2.求值

(1) log·log2732

22x1362；

e2 所以x2.

111log3log5 253(3)log2(log232log1log436)

4(2)log32log22(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)

2510. 3395232(2)原式=log262log25log32log5310

【解析】(1)原式=log233log33225(3)原式=log2(5log213log2262) 43log2(5log2log26)log283

41log25)(3log52) 3(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52) (3log25log25133log52log2513 3举一反三：

【变式】已知：log23=a， log37=b，求：log4256=? 【解析】∵ log3211 ∴log32，

alog23log356log37log38 log4256log342log37log36log373log32 log371log323baab3 1aba1b1a例3.已知函数f(x)log1(x2x)

22类型三、对数函数性质的综合应用

（1）求函数f(x)的值域；（2）求f(x)的单调性 【解析】

(1)由题得-x22x0x22x00x2当0x2时，y-x22x(x22x)(0,1]log1(-x22x)log11022函数ylog1(-x22x)的值域为[0,).2(2)设u-x22x(0x2)vlog1u2

函数u-x22x在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数。vlog1u是减函数2由复合函数的单调性得函数f(x)=log1(-x22x)2在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数。举一反三：

a(x21)【变式】已知f(logax)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.

2x(a1)【解析】设t=logax(x∈R， t∈R).

当a>1时，t=logax为增函数，若t12a(x11)+

x1(a1)22a(x21)x2(a1)2a(x1x2)(x1x21)x1x2(a1)2，

∵ 01， ∴ f(t1)当01或02

例4．求函数y=log1(-x+2x+3)的值域和单调区间.

2【解析】设t=-x+2x+3，则t=-(x-1)+4. ∵ y=log1t为减函数，且0222

∴ y≥log14=-2，即函数的值域为[-2，+∞).

2再由：函数y=log1(-x+2x+3)的定义域为-x+2x+3>0，即-12

2

2∴ t=-x+2x+3在(-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=log1t为减函数.

2

2∴ 函数y=log1(-x+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3).

2

2例5. 判断下列函数的奇偶性.

1-x; (2)f(x)ln(1x2-x). 1x1-x0可得-1x1 【解析】由

1x(1)f(x)lg所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

1x1x11xlg()-lgf(x) 1x1x1x即f(x)f(x)

1-x所以函数f(x)lg是奇函数；

1x又f(x)lg【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.

(2)【解析】由1x2-x0可得xR 所以函数的定义域为R关于原点对称，又

f(-x)ln(1xx)lnln11x2-x2(1x2x)(1x2-x)1xx2

-ln(1x2-x)-f(x)

即f(-x)=-f(x)；所以函数f(x)ln(1x2-x)是奇函数.

【总结升华】此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.

x

例6．已知函数h(x)=2(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.

(1)求S=f(a)的表达式； (2)求函数f(a)的值域；

(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.

【解析】(1)依题意有g(x)=log2x(x>0). 并且 A、B、C三点的坐标分别为

A(a， log2a)， B(a+4， log2(a+4))， C(a+8， log2(a+8)) (a>1). ∴A，C中点D的纵坐标为∴ S=

1〔log2a+log2(a+8)〕 21|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8). 2(2)把S=f(a)变形得：

16(a4)2S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+2).

a(a8)a8a25162

由于a>1时，a+8a>9， ∴1<1+2<，

a8a9又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，

2516)<2log， 2

29a8a25即09∴ 0<2log2(1+

(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数， 证明如下：任取a1，a2，使11616)-(1+2)

2a18a1a28a2=16(

=16·

11) 22a28a2a18a1(a1a2)(a1a28)2(a228a2)(a18a1)，

由a1>1，a2>1，且a2>a1，

22∴ a1+a2+8>0， a2+8a2>0， a1+8a1>0， a1-a2<0，

∴ 1<1+

1616<1+2，

2a18a1a28a2再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.

(a4)2(a4)2222log2a(a8)(4)由S>2，即得， a(a8)a1a1解之可得：1