2016数学高考一轮复习《对数与对数函数》

人教A版

一、选择题

1

1．(文)(2014·四川泸州一诊)2lg2－lg的值为( )

25A．1 C．3 [答案] B

112

[解析] 2lg2－lg＝lg(2÷)＝lg100＝2，故选B．

2525

log2x＋，x>3

(理)(2013·湖南省五市十校联考)已知函数f(x)＝x－3

2＋1，x≤3

B．2 D．4

满足f(a)＝3，

则f(a－5)的值为( )

A．log23 3

C． 2[答案] C

a≤3，

[解析] ∵f(a)＝3，∴a－3

2＋1＝3，a>3，

或

log2a＋

17

B． 16D．1

①

＝3.

②

3

＋1＝，选C．

2

①无解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝2

2－3

2．(文)(2013·山东威海期末)下列四个数中最大的是( ) A．(ln2) C．ln2 [答案] D

[解析] 由0112

(理)若x∈(，1)，a＝lgx，b＝lgx，c＝lgx，则a、b、c的大小关系是( )

102A．aB．a2

2

B．ln(ln2) D．ln2

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C．cD．b12

[解析] ∵1011

∵a－c＝lgx－lgx＝lgx<0，∴a22故a[点评] 比较对数式的值大小的方法： ①利用中间量0、1.

1111

(2014·河北石家庄一模)已知a＝3，b＝log，c＝log2，则( )

2323A．a>b>c C．c>b>a [答案] A

1111

[解析] 因为3>1,02323所以a>b>c，故选A． ②指数互化

(2014·湖北省重点中考)∀α∈(

ππ

，)，x＝(sinα)logπcosα，y＝42B．b>c>a D．b>a>c

(cosα)logπsinα，则x与y的大小关系为( )

A．x>y C．x＝y [答案] C

[解析] 因为logπx＝logπsinαlogπcosα，logπy＝logπsinα·logπcosα，所以logπx＝logπy，所以x＝y，故选C．

③作差法

(2014·山东临沂市重点中学月考)若x∈(eA．a－1,

－1,

B．x1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝lnx，则( )

3

B．c1)，所以－1－1)·lnx>0，故c>a，综上b④化同真借助图象

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(2013·新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( ) A．c>b>a C．a>c>b [答案] D

[解析] 本题考查了对数的运算性质． ∵a＝log36＝1＋log32；

B．b>c>a D．a>b>c

b＝log510＝1＋log52； c＝log714＝1＋log72.

∵log32>log52>log72，∴a>b>c. ⑤用单调性

(2014·吉林长春质检)已知函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，则( ) A．f(3)[解析] 因为f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，所以a>1，f(1)所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)若函数f(x)＝log2(x＋1)且a>b>c>0，则A．C．

B．f(1)fafbfc、、的大小关系是( ) abcB．D．

fafbfc>> abcfbfafc>> bacfcfbfa>> cbafafcfb>> acb[答案] B [解析] ∵

fafbfc、、可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率，abcfcfbfa>>.故选B． cba结合函数f(x)＝log2(x＋1)的图象及a>b>c>0可知

⑦综合法

ln6lnπ

(2013·宣城二模)若a＝，b＝ln2·ln3，c＝，则a，b，c的大小关系是( )

44A．a>b>c C．c>b>a

B．c>a>b D．b>a>c

22

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[答案] A

ln2＋ln32ln6

[解析] ∵ln6>lnπ>1，∴a>c，排除B，C；b＝ln2·ln3<()＝＝a，排除

24D，故选A．

log2x，x>0，

3．(2014·宁夏银川质检)设函数f(x)＝1

log－x，x<0.2数a的取值范围是( )

A．(－1,0)∪(0,1) C．(－1,0)∪(1，＋∞) [答案] C

[解析] f(a)>f(－a)化为

B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

2

若f(a)>f(－a)，则实

a>0，

1log2a>loga，2

a<0，

或1

log－a2

2

－a

∴a>1或－14．(文)(2014·石家庄调研)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3(1＋

x)，则f(－2)＝( )

A．－1 C．1 [答案] A

[解析] 由条件知f(－2)＝－f(2)＝－log3(1＋2)＝－1.

(理)(2013·开封一模)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，则当x∈(1,2)时，f(x)＝( )

A．－log2(4－x) C．－log2(3－x) [答案] C

[解析] 依题意得f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．

当x∈(1,2)时，x－4∈(－3，－2)，4－x∈(2,3)，故f(x)＝f(x－4)＝－f(4－x)＝－log2(4－x－1)＝－log2(3－x)，选C．

1x－2

5．(2014·安徽皖南八校第一次联考)已知集合A＝{x|y＝log2(x－1)}，B＝{y|y＝()2

1

B．－3 D．3

B．log2(4－x) D．log2(3－x)

}，则A∩B＝( )

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1

A．(，1)

2C．(0，＋∞) [答案] D

B．(1,2) D．(1，＋∞)

1x－122

[解析] A＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x－1>0}＝{x|x>1或x<－1}，B＝{y|y＝()}＝

2{y|y>0}，∴A∩B＝{x|x>1}．

6．(文)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①>； ②aloga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( ) A．① C．②③ [答案] D

[解析] 本题考查不等式性质，比较大小．

B．①② D．①②③

ccabcccccb－acb－acccc－＝，∵a>b>1，c<0，∴>0，>，①正确；a>b>1，ab－c>1，

∴logb(a－c)>logb(b－c)>loga(b－c)，③正确． [点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等．

(理)(2013·北京东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝

－1

x ，y＝(x－1)2，y＝x3中有3个是增函数；②若logm33，x≤2是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；④已知函数f(x)＝

log3x－

x－2

1

2

，x>2

，

1

则方程f(x)＝有2个实数根，其中正确命题的个数为( )

2

A．1 C．3 [答案] C

13

[解析] 命题①中，在(0，＋∞)上只有y＝x，y＝x为增函数，故①不正确；②中第1

2个不等式等价于log31>log3m>log3n，故0高考学习网－中国最大高考学习网站Gkxx.com | 我们负责传递知识！

B．2 D．4

y＝f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，③正确；④中当3x－2＝时，x＝2＋log3<2，当log3(x11

－1)＝时，x＝1＋3>2，故方程f(x)＝有2个实数根，④正确．故选C．

22

二、填空题 7．(文)函数y＝

2

log3

－x2

1212

的定义域为________．

[答案] {x|1≤x<2或－222

[解析] 要使函数有意义，应满足log(2－x)≥0，

3222

∵y＝logx为减函数，∴0<2－x≤1，∴1≤x<2，

3∴1≤x<2或－2

1

的定义域是________． x－1

[答案] (－∞，0)∪(1，＋∞) [解析] 要使f(x)有意义，应有1＋∴

1

>0， x－1

xx－1

>0，∴x<0或x>1.

8．(文)(2014·南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是1

单调递增函数．如果实数t满足f(lnt)＋f(ln)≤2f(1)，那么t的取值范围是________．

t1

[答案] [，e]

e

1

[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln)，由f(lnt)＋

tf(ln)≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以

t1

|lnt|≤1，－1≤lnt≤1，故≤t≤e.

e

(理)(2014·浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R，且是以3为周期的奇函数，|f(1)|>2，f(2)＝loga4(a>0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．

1

[答案] 2

[解析] 由条件知，|f(1)|＝|f(－1)|＝|f(2)|＝|loga4|>2，

1

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∴loga4>2或loga4<－2， 1

∴12

9．(文)方程log3(x－10)＝1＋log3x的解是________． [答案] x＝5

[解析] 原方程化为log3(x－10)＝log3(3x)，由于y＝log3x在(0，＋∞)上严格单增，则x－10＝3x，解之得x1＝5，x2＝－2.∵要使log3x有意义，应有x>0，∴x＝5.

log2x，x>0，

(理)(2014·广东韶关调研)已知函数f(x)＝x3，x≤0，

2

2

2

且关于x的方程f(x)＋x－

a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

[答案] a>1

[解析] 如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点．

三、解答题

12

10．(文)(2014·江西南昌第二中学第一次月考)已知f(x)＝log(x－mx－m)．

2(1)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

(2)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m的取值范围．

[解析] (1)设g(x)＝x－mx－m，要使得函数f(x)的值域为R，则g(x)＝x－mx－m能取遍所有的正数，则有(－m)－4×(－m)≥0，解得m≥0或m≤－4.

121

(2)函数f(x)＝log(x－mx－m)的底数是，那么若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是

22增函数，则函数g(x)＝x－mx－m在区间(－∞，1－

2

22

2

3)上是减函数，则有

m2≥1－3，

－32－m－3－m≥0，

解得2－23≤m≤2.

x2＋ax＋b(理)(2013·北京朝阳期末)已知f(x)＝log3，x∈(0，＋∞)，是否存在实数a，

xb，使f(x)同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最

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小值是1.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．

[解析] 假设存在实数a，b使命题成立，

∵f(x)在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴x＝1时，f(x)取得最小值1， ∴log1＋a＋b31＝1，∴a＋b＝2.

∵f(x)在(0,1)上是减函数， 设0f(x2)恒成立，

x22

即1＋ax1＋bx2＋ax2＋bx>恒成立，

1x2

整理得

x1－x2x1x2－bx>0恒成立．

1x2

∵00， ∴x1x2－b<0恒成立，即x1x2同理，f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 可得b≤1，∴b＝1.又∵a＋b＝2，∴a＝1. 故存在a＝1，b＝1同时满足题中条件．

一、选择题

．(文)(2014·山东德州期末)函数y＝xax11|x|

(0[答案] D

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)

xa，x>0，xax

[解析] 因为y＝＝x|x|－a，x<0，

且012(理)函数y＝ln||与y＝－x＋1在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )

x

[答案] C

11

[解析] y＝ln||为偶函数，当x>0时，y＝ln＝－lnx为减函数，故排除A、B；y＝－

xxx2＋1≤0，其图象在x轴下方，排除D，故选C．

1，x>0，

12．(文)已知符号函数sgn(x)＝0，x＝0，

－1，x<0，个数为( )

A．4 C．2 [答案] C

[解析] 由题意得f(x)＝sgn(lnx)－lnx 1－lnx， x>1，2

＝－lnx， x＝1，－1－ln2x， 0当－1－lnx＝0时，方程无解，所以f(x)＝sgn(lnx)－lnx有两个零点，故选C． 1x(理)已知函数f(x)＝()－log3x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且05的值( )

A．不小于0 C．恒为负数 [答案] B

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2

2

2

2

则函数f(x)＝sgn(lnx)－lnx的零点

2

B．3 D．1

122

则令1－lnx＝0⇒x＝e或x＝(舍去)；令－lnx＝0⇒xe

B．恒为正数 D．不大于0

1x[解析] 若实数x0是方程f(x)＝0的解，即x0是函数y＝()和y＝log3x的图象的交点

51

的横坐标，因为0log3x1，所以f(x1)恒为正数．

5

13．(文)(2013·湖南张家界一模)若logmn＝－1，则m＋3n的最小值是( ) A．22 C．2 [答案] B

[解析] 由logmn＝－1，得m＝n，则mn＝1. 由于m>0，n>0，∴m＋3n≥23mn＝23.故选B．

(理)(2015·广东肇庆检测)已知函数f(x)＝a＋loga(x＋1)(a>0且a≠1)在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为N.若M＋N＝a，则实数a的值为( )

1A． 4C．2 [答案] B

[解析] 因为y＝a与y＝loga(x＋1)在[0,1]上具有相同的单调性，所以f(x)＝a＋loga(x1＋1)在[0,1]上单调，故M＋N＝f(0)＋f(1)＝a，即1＋a＋loga2＝a，解得a＝.

2

14．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2014＋log2014x，则方程f(x)＝0的实根的个数为( )

A．1 C．3 [答案] C

[解析] 当x>0时，f(x)＝0即2014＝－log2014x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)＝2014，f2(x)＝－log2014x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)＝0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)＝0也有一个实根，又因为f(0)＝0，所以方程f(x)＝0的实根的个数为3.

二、填空题

15．(2014·河南郑州模拟)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2－1的图象关于直线y＝x对称，则f(3)＝________.

[答案] －2

[解析] 由题意y＝f(x)的图象与函数y＝2－1的图象关于直线y＝x对称，令f(3)＝a，

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－x－x－1

B．23 5

D． 2

x1B． 2D．4

xxxB．2 D．5

xx则点(a,3)必在函数y＝2－1的图象上，所以2－1＝3，解得a＝－2，即f(3)＝－2.

16．(文)(2013·安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)＝x＋m＋lnx的保值区间是[e，＋∞)，则m的值为________．

[答案] －1

1

[解析] 由题意得，g(x)的值域为[e，＋∞)，由x≥e时，g′(x)＝1＋>0，所以当x≥e

－x－a x时，g(x)为增函数，由题意可得g(e)＝e＋m＋1＝e，解得m＝－1.

(理)(2014·山东郯城一中月考)对任意实数a、b，定义运算“*”如下：a*b＝

a，b，

a≤b，a>b

1

则函数f(x)＝log(3x－2)*log2x的值域为________．

2

[答案] (－∞，0]

21

[解析] 易知函数f(x)的定义域为(，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y＝log(3x32－2)和y＝log2x的图象，

由a*b的定义可知，f(x)的图象为图中实线部分， 2

logx，∴由图象可得f(x)＝1

log2x－

2

，，

x

的值域为(－∞，0]．

三、解答题

17．(文)(2014·吉林长春模拟)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域； 3

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值．

2

[解析] (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.

1＋x>0，由

3－x>0，

得x∈(－1,3)，

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∴函数f(x)的定义域为(－1,3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)＋4]， ∴当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数； 当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

3

函数f(x)在[0，]上的最大值是f(1)＝log24＝2.

212－ax(理)已知函数f(x)＝log(a是常数且a<2)．

2x－1(1)求f(x)的定义域；

(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围． 2－ax[解析] (1)∵>0，∴(ax－2)(x－1)<0，

x－12①当a<0时，函数的定义域为－∞，∪(1，＋∞)；

2

a

②当a＝0时，函数的定义域为(1，＋∞)；

2③当0

a

(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数，

2－ax∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可．

x－12－ax令g(x)＝，

x－1

即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0. －a解法一：g′(x)＝

x－

－x－

－ax2＝

a－2x－

2，

∴当a－2<0，即a<2时，g′(x)≤0.

g(4)≥0，即1－2a≥0，∴a≤，∴a∈－∞，.

2

12



1



2－ax2－a解法二：∵g(x)＝＝－a＋，

x－1x－1

2－a∴要使g(x)＝－a＋在(2,4)上是减函数，只需2－a>0，∴a<2，

x＋1以下步骤同解法一．

18．(文)已知函数f(x)＝loga(3－ax)．

(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

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(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．

[解析] (1)由题意，3－ax>0对一切x∈[0,2]恒成立，∵a>0且a≠1，

3

∴g(x)＝3－ax在[0,2]上是减函数，从而g(2)＝3－2a>0得a<.∴a的取值范围为(0,1)

2

3∪1，. 2

(2)假设存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. 由题设f(1)＝1，即loga(3－a)＝1，

333

∴a＝，此时f(x)＝log3－x，当x＝2时，函数f(x)没有意义，故这样的实数a不

222存在．

(理)(2014·四川资阳二诊)设函数f(x)＝log4(4＋1)＋ax(a∈R)． (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，求a的值；

(2)若不等式f(x)＋f(－x)≥mt＋m对任意x∈R，t∈[－2,1]恒成立，求实数m的取值范围．

[解析] (1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)＝f(－x)恒成立， 即log4(4＋1)＋ax＝log4(4＋1)－ax， 4＋11

所以2ax＝log4x＝log4x＝－x，

4＋14所以(2a＋1)x＝0恒成立， 1

则2a＋1＝0，故a＝－.

2

(2)f(x)＋f(－x)＝log4(4＋1)＋ax＋log4(4＋1)－ax＝log4(4＋1)＋log4(4＋1)＝log4[(4＋1)·(4＋1)]＝log4(2＋4＋4)≥log4(2＋24×4)＝1.

所以mt＋m≤1对任意t∈[－2,1]恒成立，令h(t)＝mt＋m，

h由h

x－x－xxx－xx－xx－xx－xx－x－＝－2m＋m≤1，＝m＋m≤1，

11

解得－1≤m≤，故实数m的取值范围是[－1，]．

22

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