2022年浙江省绍兴市新昌实验中学中考数学模拟试题及答案解析

2022年浙江省绍兴市新昌实验中学中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. −6的相反数是( ) A. −6

B. −6

1

C. 6

D. 6

1

2. 截至2022年4月21日，全国已接种新冠病毒疫苗332248.8万剂次．332248.8万用科学记

数法可表示为( )

A. 33.22488×104 B. 0.3322488×105 C. 3.322488×109 D. 3.322488×105 3. 下列四个立体图形中，从正面看到的图形与其他三个不同的是( ) A.

B.

C.

D.

4. 下列计算正确的是( ) A. 3𝑥−𝑥=2 C. (3𝑥)(2𝑥)2=6𝑥2    

B. 𝑥2+𝑥2=𝑥4 D. (𝑥2)3=𝑥6

5. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小红随机调查了15名同学，结果如下表：

每天使用零花钱 (单位：元) 人数 1 2 2 5 3 4 5 3 6 1 则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是( )

A. 3，3 B. 2，3 C. 2，2 D. 3，5

6. 一个正多边形的边长为2，每个内角为135°，则这个多边形的周长是( ) A. 8

B. 14

C. 16

D. 20

7. 一次函数𝑦=𝑎𝑥+𝑏(𝑎≠0)与二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)在同一平面直角坐标系

中的图象可能是( )

第1页，共23页

A.

B.

C.

D.

8. 如图，𝐷、𝐸、𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶各边中点，则以下说法错误的是( ) A. △𝐵𝐷𝐸和△𝐷𝐶𝐹的面积相等 B. 四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形 C. 若𝐴𝐵=𝐵𝐶，则四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是菱形 D. 若∠𝐴=90°，则四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是矩形

9. 如图，△𝑂𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐴𝐷𝐵=90°，反比例函数𝑦=𝑥在

第一象限的图象经过点𝐵，则𝑆△𝑂𝐴𝐶−𝑆△𝐵𝐴𝐷=( )

3

A. 1.5 B. 2.5 C. 3 D. 1

𝐸，𝐹是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐵𝐶，𝐶𝐷上的点，𝐵𝐸=𝑥，𝐷𝐹=𝑦，𝐴𝐹，连接𝐴𝐸，若∠𝐸𝐴𝐵=10. 如图，

∠𝐸𝐴𝐹，且正方形的边长为1，则( )

A. 𝑥2−2𝑥𝑦+1=0 B. 𝑥2+2𝑥𝑦−1=0 C. 𝑥2+2𝑥𝑦−2=0 D. 𝑥2−2𝑥𝑦+2=0

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

第2页，共23页

11. 分解因式：𝑚4𝑛−4𝑚2𝑛=______．

12. 口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球3个，白球5个，黑球2个，从中任意摸一球，

那么摸到红球的概率是______．

13. 用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为

______．

𝐴𝐷，𝐴𝐸，𝐵𝐶分别切⊙𝑂于点𝐷，𝐸，𝐹，若△𝐴𝐵𝐶的周长为48，则𝐴𝐷的长是______． 14. 如图，

15. 如图，在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，∠𝐴=30°，𝐴𝐵//𝑦轴，且𝐴𝐵=6，顶点𝐵，𝐶在反

比例函数𝑦=(𝑥>0)的图象上，且点𝐵的横坐标为2√3，则𝑘=______． 𝑥

𝑘

16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐶𝐴𝐵=30°，𝐵𝐶=6，𝐷为𝐴𝐵上一动点(不与点𝐴重

△𝐴𝐸𝐷为等边三角形，𝐹为垂线上任一点，𝐺为𝐸𝐹的中点，合)，过𝐷点作𝐷𝐸的垂线，则线段𝐶𝐺长的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

第3页，共23页

17. (本小题8.0分)

(1)计算：𝑐𝑜𝑠60°+(2𝜋−√3)0−()−2+√9．

2(2)解方程：

3𝑥+1𝑥−2

1

=−2

18. (本小题8.0分)

一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，如图表示两车行驶时间𝑥(小时)与到甲地的距离𝑦(千米)的函数图象，已知其中一个函数的表达式为𝑦=60𝑥． (1)求另一个函数表达式． (2)求两车相遇的时间．

19. (本小题8.0分)

近日，深圳市发布了《深圳市可持续发展规划》，提出了要做可持续发展的全球创新城市的目标，某初中学校了解学生的创新意识，组织了全校学生参加创新能力大赛，从中抽取了部分学生成绩，分为5组：𝐴组50～60；𝐵组60～70；𝐶组70～80；𝐷组80～90；𝐸组 90～100，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图．(1)抽取学生的总人数是______人，扇形𝐶的圆心角是______°； (2)补全频数分布直方图；

(3)该校共有2200名学生，若成绩在70分以下(不含70分)的学生创新意识不强，有待进一步培养，则该校创新意识不强的学生约有多少人？

第4页，共23页

20. (本小题8.0分)

如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷内接于⊙𝑂，𝐴𝐶是⊙𝑂的直径，𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝐸，𝑃𝐵切⊙𝑂于点𝐵． (1)求证：∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑂𝐵𝐶；

(2)若∠𝑃𝐵𝐴=20°，∠𝐴𝐶𝐷=40°，求证：△𝑂𝐴𝐵∽△𝐶𝐷𝐸．

21. (本小题10.0分)

如图，一艘货船在灯塔𝐶的正南方向，距离灯塔257海里的𝐴处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔𝐶的南偏东40°方向上，同时位于𝐴处的北偏东60°方向上的𝐵处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求𝐴𝐵的长．(结果取整数)参考数据：𝑡𝑎𝑛40°≈0.84，√3取1.73．

22. (本小题12.0分)

如图所示，直线𝑦=𝑘1𝑥+𝑏与双曲线𝑦=

𝑘2

交于𝐴、𝐵两点，已知点𝐵的纵坐标为−3，直线𝐴𝐵𝑥

1

与𝑥轴交于点𝐶，与𝑦轴交于点𝐷(0,−2)，𝑂𝐴=√5，tan∠𝐴𝑂𝐶=．

2(1)求直线𝐴𝐵的解析式；

(2)若点𝑃是第二象限内反比例函数图象上的一点，△𝑂𝐶𝑃的面积是△𝑂𝐷𝐵的面积的2倍，求点

第5页，共23页

𝑃的坐标；

(3)直接写出不等式𝑘1𝑥+𝑏≤

𝑘2

的解集． 𝑥

23. (本小题12.0分)

如图，⊙𝑂的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为𝐴𝑛(𝑛为1～12的整数)，过点𝐴7作⊙𝑂的切线交𝐴1𝐴11延长线于点𝑃． (1)通过计算比较直径和劣弧⏜ 𝐴7 𝐴11长度哪个更长；

(2)连接𝐴7𝐴11，则𝐴7𝐴11和𝑃𝐴1有什么特殊位置关系？请简要说明理由； (3)求切线长𝑃𝐴7的值．

24. (本小题14.0分)

如图，点𝐹是正方形𝐴𝐵𝐶𝐷边𝐴𝐵上一点，过𝐹作𝐹𝐺//𝐵𝐶，交𝐶𝐷于𝐺，连接𝐹𝐶，𝐻是𝐹𝐶的中点，过𝐻作𝐸𝐻⊥𝐹𝐶交𝐵𝐷于点𝐸． (1)连接𝐸𝐹，𝐸𝐴，求证：𝐸𝐹=𝐴𝐸． (2)若

𝐵𝐹

𝐵𝐴

=𝑘，

1

①若𝐶𝐷=2，𝑘=3，求𝐻𝐸的长；

②连接𝐶𝐸，求tan∠𝐷𝐶𝐸的值．(用含𝑘的代数式表示)

第6页，共23页

第7页，共23页

答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：−6的相反数是6， 故选：𝐶．

利用相反数的定义判断即可．

本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】𝐶

【解析】解：332248.8万=3322488000=3.322488×109． 故选：𝐶．

科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数．确定𝑛的值时，要看把原数变成𝑎时，小数点移动了多少位，𝑛的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，𝑛是正整数；当原数的绝对值<1时，𝑛是负整数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|<10，𝑛为整数，表示时关键要正确确定𝑎的值以及𝑛的值．

3.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴、图中的主视图是2，1； B、图中的主视图是2，1； C、图中的主视图是2，1； D、图中的主视图是2，2； 故选：𝐷．

根据图中的主视图解答即可．

本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置．

4.【答案】𝐷

第8页，共23页

【解析】解：𝐴、3𝑥−𝑥=2𝑥，故此选项错误； B、𝑥2+𝑥2=2𝑥2，故此选项错误； C、(3𝑥)(2𝑥)2=12𝑥2，故此选项错误； D、(𝑥2)3=𝑥6，故此选项正确； 故选：𝐷．

直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、单项式乘以单项式分别计算判断即可． 此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、单项式乘以单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．

5.【答案】𝐵

【解析】解：∵小红随机调查了15名同学，

∴根据表格数据可以知道中位数在第三组，即中位数为3． ∵2出现了5次，它的次数最多， ∴众数为2． 故选：𝐵．

由于小红随机调查了15名同学，根据表格数据可以知道中位数在第三组，再利用众数的定义可以确定众数在第二组．

此题考查中位数、众数的求法：

按从小到大排序，如果𝑛为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果𝑛为偶数，①给定𝑛个数据，

位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据里的数．

②给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．

6.【答案】𝐶

【解析】解：∵正多边形的每个内角为135°， ∴每个外角是180°−135°=45°， ∵多边形的边数为：360÷45=8， 则这个多边形是八边形，

∴这个多边形的周长=2×8=16，

第9页，共23页

故选：𝐶．

一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．

本题考查了多边形内角与外角：𝑛边形的内角和为(𝑛−2)×180°；𝑛边形的外角和为360°．

7.【答案】𝐵

【解析】解：𝐴选项，根据一次函数的位置可知，𝑎>0，抛物线应该开口向上，𝐴选项不符合题意；

𝐵选项，𝑎<0，𝑥<0，根据一次函数的位置可知，抛物线开口向下，一次函数𝑦=0时，即−<0，抛物线的对称轴−

𝑏

2𝑎

𝑏𝑎

<0，𝐵选项符合题意；

𝐶选项，根据一次函数的位置可知，𝑎>0，抛物线应该开口向上，一次函数𝑦=0时，𝑥<0，即−𝑎<0，抛物线的对称轴−2𝑎<0，𝐶选项不符合题意；

𝐷选项，根据一次函数的位置可知，𝑎<0，抛物线应该开口向下，一次函数𝑦=0时，𝑥>0，即−>0，抛物线的对称轴−故选：𝐵．

利用一次函数的图象位置与系数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系判断．

本题考查了二次函数的图象与一次函数的图象，解题的关键是掌握一次函数的图象位置与系数的的关系，二次函数的图象位置与系数的关系．

𝑏𝑎

𝑏2𝑎

𝑏

𝑏

>0，𝐷选项不符合题意；

8.【答案】𝐶

【解析】解：𝐴.连接𝐸𝐹，

∵𝐷、𝐸、𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶各边中点， ∴𝐸𝐹//𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷， 设𝐸𝐹和𝐵𝐶间的距离为ℎ，

∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=2𝐵𝐷⋅ℎ，𝑆△𝐷𝐶𝐹=2𝐶𝐷⋅ℎ， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸=𝑆△𝐷𝐶𝐹， 故本选项不符合题意；

1

1

第10页，共23页

B.∵𝐷、𝐸、𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶各边中点， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐷𝐹//𝐴𝐵， ∴𝐷𝐸//𝐴𝐹，𝐷𝐹//𝐴𝐸， ∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形， 故本选项不符合题意；

C.∵𝐷、𝐸、𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶各边中点， ∴𝐸𝐹=2𝐵𝐶，𝐷𝐹=2𝐴𝐵， 若𝐴𝐵=𝐵𝐶，则𝐹𝐸=𝐷𝐹， ∴四边形𝐴𝐸𝐷𝐹不一定是菱形， 故本选项符合题意；

D.∵四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是平行四边形， ∴若∠𝐴=90°，则四边形𝐴𝐸𝐷𝐹是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：𝐶．

根据矩形的判定定理，菱形的判定定理，三角形中位线定理判断即可．

本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．

1

1

9.【答案】𝐴

【解析】解：设△𝑂𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷的直角边长分别为𝑎、𝑏， 则点𝐵的坐标为(𝑎+𝑏,𝑎−𝑏)．

∵点𝐵在反比例函数𝑦=第一象限的图象上， ∴(𝑎+𝑏)×(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2=3．

∴𝑆△𝑂𝐴𝐶−𝑆△𝐵𝐴𝐷=𝑎2−𝑏2=(𝑎2−𝑏2)=×3=1.5． 故选：𝐴．

𝑏，设△𝑂𝐴𝐶和△𝐵𝐴𝐷的直角边长分别为𝑎、结合等腰直角三角形的性质及图象可得出点𝐵的坐标，根据三角形的面积公式结合反比例函数系数𝑘的几何意义以及点𝐵的坐标即可得出结论． 本题考查了反比例函数系数𝑘的几何意义、等腰直角三角形的性质以及面积公式，解题的关键是找出𝑎2−𝑏2的值．本题属于基础题，难度适中，解决该题型题目时，设出等腰直角三角形的直角边，

1

21212123𝑥

第11页，共23页

用其表示出反比例函数上点的坐标是关键．

10.【答案】𝐵

【解析】解：过𝐸作 𝐸𝐺⊥𝐴𝐹于𝐺，连接 𝐸𝐹，

∵四边形 𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，

∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐷𝐴=1，∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐵=∠𝐶=90°， ∵𝐵𝐸=𝑥，𝐷𝐹=𝑦， ∴𝐶𝐸=1−𝑥，𝐶𝐹=1−𝑦，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐹中，𝐴𝐹=√𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=√1+𝑦2， ∵∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐹，𝐸𝐺⊥𝐴𝐹，𝐸𝐵⊥𝐴𝐵， ∴𝐸𝐵=𝐸𝐺=𝑥，

∴𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝐴𝐵⋅𝐵𝐸=𝑥，𝑆△𝐸𝐶𝐹=(1−𝑥)(1−𝑦)=−𝑦−𝑥+𝑥𝑦，𝑆△𝐴𝐷𝐹=𝐴𝐷⋅𝐷𝐹=

1

𝑦，𝑆△𝐴𝐸𝐹21212121212121212=2𝐴𝐹⋅𝐸𝐺=2 𝑥√1+𝑦2，

11

∵𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐸𝐶𝐹+𝑆△𝐴𝐷𝐹+𝑆△𝐴𝐸𝐹=1， ∴2𝑥+2−2𝑦−2𝑥+2𝑥𝑦+2𝑦+2𝑥√1+𝑦2=1， ∴2𝑥𝑦+2𝑥√1+𝑦2=2， ∴𝑥2+2𝑥𝑦−1=0． 故选：𝐵．

本题过𝐸作 𝐸𝐺⊥𝐴𝐹于𝐺，连接 𝐸𝐹，根据正方形的性质得到𝐶𝐸=1−𝑥，𝐶𝐹=1−𝑦，在根据勾股定理𝐴𝐹=√𝐴𝐷2+𝐷𝐹2=√1+𝑦2，进而用𝑥，𝑦来表示三角形𝐴𝐵𝐸，𝐸𝐶𝐹.𝐴𝐷𝐹，𝐴𝐸𝐹的面积，由于𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐸+𝑆△𝐸𝐶𝐹+𝑆△𝐴𝐷𝐹+𝑆△𝐴𝐸𝐹=1，进而得到答案即可． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，熟练识记基础知识是解题的关键．

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11.【答案】𝑚2𝑛(𝑚+2)(𝑚−2)

第12页，共23页

【解析】解：原式=𝑚2𝑛(𝑚2−4)=𝑚2𝑛(𝑚+2)(𝑚−2)， 故答案为：𝑚2𝑛(𝑚+2)(𝑚−2)

原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】0.3

【解析】解：∵口袋内装有一些除颜色外完全相同的红球3个，白球5个，黑球2个， ∴从中任意摸一球，摸到红球的概率是：故答案为03．

利用红球的个数÷球的总个数可得红球的概率．

此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比．

33+5+2=0.3．

13.【答案】3

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为𝑟，依题意，得 2𝜋𝑟=

120𝜋×50

， 18050． 350350

解得𝑟=

故答案为：．

圆锥的底面圆半径为𝑟，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．

本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．

14.【答案】24

【解析】解：∵𝐵𝐹，𝐵𝐷都是圆𝑂的切线， ∴𝐵𝐹=𝐵𝐷，

同理𝐶𝐹=𝐶𝐸，𝐴𝐷=𝐴𝐸，

∴△𝐴𝐵𝐶的周长=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐴𝐶+𝐵𝐷+𝐶𝐸=𝐴𝐷+𝐴𝐸=2𝐴𝐷=48， ∴𝐴𝐷=24； 故答案为：24．

第13页，共23页

通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形𝐴𝐵𝐶的周长等于𝐴𝐷+𝐴𝐸=48，又因为𝐴𝐷=𝐴𝐸，所以可求出𝐴𝐷的长．

本题考查的是切线的性质，解此题的关键是得出△𝑃𝐸𝐹的周长=𝑃𝐴+𝑃𝐵．

15.【答案】√3

【解析】解：作𝐶𝐷//𝑦轴，作𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐶𝐷于𝐷， ∵𝐴𝐵//𝑦轴， ∴𝐶𝐷//𝐴𝐵， ∴𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，

∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐴=30°， ∴𝐵𝐶=2𝐴𝐵=3，∠𝐴𝐵𝐶=60°， ∴∠𝐶𝐵𝐷=30°，

√33√3

， ∴𝐶𝐷=2𝐵𝐶=2，𝐵𝐷=𝐵𝐶=

22

1

13

3√33

设点𝐵的坐标为(2√3,𝑚)，则𝐶(2√3−,𝑚+)，

2

2

∵点𝐵、𝐶在反比例函数𝑦=(𝑥>0)的图象上， ∴𝑘=2√3𝑚=解得𝑚=， ∴𝑘=2√3×2=√3； 故答案为：√3．

作𝐶𝐷//𝑦轴，作𝐵𝐷⊥𝐴𝐵，交𝐶𝐷于𝐷，解直角三角形求得𝐶𝐷=𝐵𝐶=，𝐵𝐷=√3𝐵𝐶=3√3，设

2222点𝐵的坐标为(2√3,𝑚)，则𝐶(2√3−3√3,𝑚+3)，再根据点𝐵、𝐶在反比例函数图象上，即可得出

2

2

1

3

11

2

√3

𝑘𝑥

2

3

⋅(𝑚+)，

2

关于𝑚、𝑘的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关于𝑚、𝑘的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出直角三角形一顶点的坐标，表示出其它两个顶点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程组是关键．

16.【答案】9

第14页，共23页

【解析】解：连接𝐷𝐺，𝐴𝐺，𝐴𝐺交𝐷𝐸于𝐻， ∵∠𝐹𝐷𝐸=90°，𝐺为𝐸𝐹中点， ∴𝐷𝐺=𝐸𝐹=𝐺𝐸=𝐹𝐺， ∵△𝐴𝐷𝐸为等边三角形， ∴𝐴𝐷=𝐴𝐸，∠𝐷𝐴𝐸=60°， ∵𝐴𝐷=𝐴𝐸，𝐺𝐷=𝐺𝐸，

∴𝐴𝐺是𝐷𝐸的中垂线(线段中垂线性质定理逆定理)， ∴𝐴𝐻⊥𝐷𝐸，

∴∠𝐷𝐴𝐻=∠𝐸𝐴𝐻=30°， ∴∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐷𝐴𝐻=60°，

∴𝐺点在过点𝐴，与𝐴𝐶所交角60°的直线上运动， 过点𝐶作𝐶𝐺′⊥𝐴𝐺于点𝐺′，则𝐶𝐺′为所求， ∵𝐵𝐶=6，∠𝐵𝐴𝐶=30°，∠𝐵𝐶𝐴=90°， ∴tan∠𝐵𝐴𝐶=∴

√3

12

𝐵𝐶， 𝐴𝐶

3

=

6

， 𝐴𝐶

∴𝐴𝐶=6√3，

∵∠𝐶𝐴𝐺′=60°，∠𝐶𝐺′𝐴=90°， ∴sin∠𝐶𝐴𝐺′=𝐴𝐶， ， ∴2=6√3∴𝐶𝐺′=9， 故答案为：9．

√3

𝐶𝐺′

𝐶𝐺′

𝐷𝐺，首先连接𝐴𝐺，根据线段中垂线性质定理逆定理得出𝐴𝐺为线段𝐷𝐸的中垂线，然后得出∠𝐺𝐴𝐷=30°，而后证明∠𝐶𝐴𝐺=60°即∠𝐶𝐴𝐺为定值，得出𝐺的运动轨迹，再根据垂线段最短即可得出𝐶𝐺的

第15页，共23页

最小值．

本题考查含30度角的直角三角形和等边三角形的性质，利用已知得出点的轨迹是解本题的突破口，利用垂线段最短求出𝐶𝐺的最小值是解本题的关键．

17.【答案】解：(1)原式=√3+1−4+3

3=

√33；

(2)

3𝑥+1

𝑥−2=−2，

方程两边都乘𝑥−2，得3𝑥+1=−2(𝑥−2)， 解得：𝑥=，

5

检验：当𝑥=时，𝑥−2≠0，

5所以𝑥=是原分式方程的解， 即分式方程的解是𝑥=．

5【解析】(1)先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂进行计算，再算加减即可； (2)方程两边都乘𝑥−2得出3𝑥+1=−2(𝑥−2)，求出方程的解，再进行检验即可．

本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．

3

3

533

18.【答案】解：(1)设另一个函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+600，

把(6,0)代入得，6𝑘+600=0， 解得𝑘=−100，

∴另一个函数表达式𝑦=−100𝑥+600； 𝑦=60𝑥

(2)解方程组{，

𝑦=−100𝑥+600𝑥=4解得{，

𝑦=225

故两车相遇的时间为时．

15415

第16页，共23页

【解析】(1)利用待定系数法解答即可； (2)根据两个函数的表达式列方程组解答即可．

此题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，综合运用一次函数的性质进行计算是解此题的关键．

19.【答案】300 144

(1)抽取学生的总人数为78÷26%=300(人)，【解析】解：扇形𝐶的圆心角是360°×故答案为：300、144；

(2)𝐴组人数为300×7%=21(人)，𝐵组人数为300×17%=51(人)， 则𝐸组人数为300−(21+51+120+78)=30(人)， 补全频数分布直方图如下：

120

300

=144°，

(3)2200×(7%+17%)=528(人)， 答：该校创新意识不强的学生约有528人．

(1)由𝐷组频数及其所占比例可得总人数，用360°乘以𝐶组人数所占比例可得；

(2)用总人数分别乘以𝐴、𝐵组的百分比求得其人数，再用总人数减去𝐴、𝐵、𝐶、𝐷的人数求得𝐸组的人数可得；

(3)用总人数乘以样本中𝐴、𝐵组的百分比之和可得．

本题考查了频数(率)分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了用样本估计总体．

第17页，共23页

20.【答案】证明：(1)∵𝐴𝐶是⊙𝑂的直径，

∴∠𝐴𝐵𝐶=90°， ∵𝑃𝐵切⊙𝑂于点𝐵， ∴∠𝑃𝐵𝑂=90°，

∴∠𝑃𝐵𝑂−∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝑂， 即∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑂𝐵𝐶；

(2)由(1)知，∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝑃𝐵𝐴=20°， ∴∠𝑂𝐵𝐶=∠𝐴𝐶𝐵=20°，

∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝑂𝐵𝐶=20°+20°=40°， ∵∠𝐴𝐶𝐷=40°， ∴∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐷， ⏜=𝐵𝐶⏜， ∵𝐵𝐶

∴∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝑂， ∴△𝑂𝐴𝐵∽△𝐶𝐷𝐸．

【解析】(1)根据圆周角定理和切线的性质证得∠𝑃𝐵𝑂−∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝑂，即可证得结论； (2)由三角形外角的性质求出∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐵+∠𝑂𝐵𝐶=40°，得到∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝐶𝐷，由圆周角定理得到∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐵𝐴𝑂，根据相似三角形的判定即可证得△𝑂𝐴𝐵∽△𝐶𝐷𝐸．

本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理和切线的性质证得∠𝑃𝐵𝑂−∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐴𝐵𝑂是解决问题的关键．

21.【答案】解：如图，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶，垂足为𝐻，

由题意得，∠𝐵𝐴𝐶=60°，∠𝐵𝐶𝐴=40°，𝐴𝐶=257海里， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐻中，

∵tan∠𝐵𝐴𝐻=𝐴𝐻，cos∠𝐵𝐴𝐻=𝐴𝐵，

∴𝐵𝐻=𝐴𝐻⋅𝑡𝑎𝑛60°=√3𝐴𝐻，𝐴𝐵=𝑐𝑜𝑠60∘=2𝐴𝐻， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐻中， ∵tan∠𝐵𝐶𝐻=𝐶𝐻，

𝐵𝐻

𝐴𝐻

𝐵𝐻

𝐴𝐻

第18页，共23页

∴𝐶𝐻=

𝐵𝐻𝑡𝑎𝑛40∘

=

√3𝐴𝐻

𝑡𝑎𝑛40°

(海里)，

又∵𝐶𝐴=𝐶𝐻+𝐴𝐻， ∴257=𝑡𝑎𝑛40°+𝐴𝐻， 所以𝐴𝐻=∴𝐴𝐵=

257×𝑡𝑎𝑛40°(海里)，

𝑡𝑎𝑛40°+√3√3𝐴𝐻

2×257×𝑡𝑎𝑛40°𝑡𝑎𝑛40°+√3≈1.73+0.84=168(海里)，

2×257×0.84

答：𝐴𝐵的长约为168海里．

【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可． 本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．

22.【答案】解：(1)如图1，

过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴于𝐸， ∴∠𝐴𝐸𝑂=90°，

在𝑅𝑡△𝐴𝑂𝐸中，tan∠𝐴𝑂𝐶=设𝐴𝐸=𝑚，则𝑂𝐸=2𝑚，

根据勾股定理得，𝐴𝐸2+𝑂𝐸2=𝑂𝐴2， ∴𝑚2+(2𝑚)2=(√5)2， ∴𝑚=1或𝑚=−1(舍)， ∴𝑂𝐸=2，𝐴𝐸=1， ∴𝐴(−2,1)， ∵点𝐴在双曲线𝑦=

𝑘2

上， 𝑥

𝐴𝐸𝑂𝐸

=，

12

∴𝑘2=−2×1=−2， ∴双曲线的解析式为𝑦=−，

𝑥∵点𝐵在双曲线上，且纵坐标为−3， ∴−3=−𝑥， ∴𝑥=3， ∴𝐵(3,−3)，

22

2

2

第19页，共23页

2

将点𝐴(−2,1)，𝐵(,−3)代入直线𝑦

3

−2𝑘1+𝑏=1

=𝑘1𝑥+𝑏中得，{2，

𝑘+𝑏=−313

3

∴{𝑘=−𝑏=−2

2，

∴直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−3

2𝑥−2；

(2)如图2，连接𝑂𝐵，𝑃𝑂，𝑃𝐶； ∵𝐷(0,−2)， ∴𝑂𝐷=2，

由(1)知，𝐵(2

3

,−3)，

∴𝑆△𝑂𝐷𝐵=1

1

2

2

2𝑂𝐷⋅𝑥𝐵=2×2×3=3， ∵△𝑂𝐶𝑃的面积是△𝑂𝐷𝐵的面积的2倍， ∴𝑆△𝑂𝐶𝑃=2𝑆△𝑂𝐷𝐵=2×2

4

3=3，

由(1)知，直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=−32

𝑥−2， 令𝑦=0，则−32

𝑥−2=0， ∴𝑥=−4

3， ∴𝑂𝐶=43，

设点𝑃的纵坐标为𝑛，

∴𝑆△𝑂𝐶𝑃=1

1

4

4

2𝑂𝐶⋅𝑦𝑃=2×3𝑛=3， ∴𝑛=2，

由(1)知，双曲线的解析式为𝑦=−2𝑥

， ∵点𝑃在双曲线上， ∴2=−2

𝑥， ∴𝑥=−1， ∴𝑃(−1,2)；

第20页，共23页

(3)由(1)知，𝐴(−2,1)，𝐵(,−3)，

3

由图象知，不等式𝑘1𝑥+𝑏≤2的解集为−2≤𝑥<0或𝑥≥．

3𝑥

【解析】(1)过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴于𝐸，根据锐角三角函数和勾股定理求出点𝐴(−2,1)，进而求出双曲线的解析式，进而求出点𝐵的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；

(2)连接𝑂𝐵，𝑃𝑂，𝑃𝐶，先求出𝑂𝐷，进而求出𝑆△𝑂𝐷𝐵=，进而得出𝑆△𝑂𝐶𝑃=，再求出𝑂𝐶=，设点𝑃的纵坐标为𝑛，再用𝑆△𝑂𝐶𝑃=，求出点𝑃的纵坐标，即可得出结论；

3(3)直接利用图象即可得出结论．

此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点𝐴的坐标是解本题的关键．

4

23

43

43

𝑘

2

2

23.【答案】解：(1)由题意，∠𝐴7𝑂𝐴11=120°，

∴⏜ 𝐴7 𝐴11的长=180=4𝜋>12， ∴⏜ 𝐴7 𝐴11比直径长．

(2)结论：𝑃𝐴1⊥𝐴7𝐴11． 理由：连接𝐴1𝐴7，𝐴7𝐴11，𝑂𝐴11． ∵𝐴1𝐴7是⊙𝑂的直径， ∴∠𝐴7𝐴11𝐴1=90°， ∴𝑃𝐴1⊥𝐴7𝐴11．

(3)∵𝑃𝐴7是⊙𝑂的切线， ∴𝑃𝐴7⊥𝐴1𝐴7， ∴∠𝑃𝐴7𝐴1=90°，

∵∠𝑃𝐴1𝐴7=60°，𝐴1𝐴7=12， ∴𝑃𝐴7=𝐴1𝐴7⋅𝑡𝑎𝑛60°=12√3． 【解析】(1)利用弧长公式求解即可． (2)利用圆周角定理证明即可． (3)解直角三角形求出𝑃𝐴7即可．

120𝜋⋅6

第21页，共23页

本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)∵𝐻𝐸垂直平分𝐹𝐶，

∴𝐶𝐸=𝐹𝐸

又∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷关于𝐵𝐷轴对称， ∴𝐶𝐸=𝐴𝐸 ∴𝐸𝐹=𝐴𝐸；

(2)①∵𝐶𝐷=2，𝐵𝐴=3，

2√10

， ∴𝐵𝐹=，𝐴𝐹=，𝐹𝐶=

333

2

4𝐵𝐹

1

如图，过点𝐸作𝐴𝐵的垂线交𝐴𝐵于点𝑀， 由(1)知𝐸𝐹=𝐴𝐸， ∴𝐸𝑀垂直平分线段𝐹𝐴，

∴𝐹𝑀=𝑀𝐴=，𝐵𝑀=𝑀𝐸=，

2

3

43

在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝑀中，𝐹𝐸=√𝐹𝑀2+𝑀𝐸2=2√5，

3∵点𝐻是𝐹𝐶的中点， ∴𝐹𝐻=2𝐸𝐹=3，

在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐻中，𝐻𝐸=√𝐸𝐹2−𝐹𝐻2=√10；

3②证明：设𝐴𝐵=2𝑎， ∵𝐵𝐴=𝑘， ∴𝐵𝐹=2𝑎𝑘，

∴𝐹𝑀=𝑀𝐴=𝑎−𝑘𝑎，𝐵𝑀=𝑎+𝑘𝑎=𝑀𝐸， 由(2)知∠𝐹𝐸𝑀=∠𝑀𝐸𝐴=∠𝐸𝐴𝐷．

𝐵𝐹

√2√10第22页，共23页

∵𝐸𝐴=𝐸𝐶，𝐴𝐷=𝐶𝐷，𝐷𝐸=𝐷𝐸， ∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐸(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝑀，

∴tan∠𝐷𝐶𝐸=tan∠𝐹𝐸𝑀=𝑀𝐸=1+𝑘．

【解析】(1)根据正方形的性质和已知条件即可证明；

根据=𝑘，可得𝐵𝐹=(2)①根据已知条件结合(1)利用勾股定理即可求出𝐻𝐸的长；②设𝐴𝐵=2𝑎，𝐵𝐴2𝑎𝑘，𝐹𝑀=𝑀𝐴=𝑎−𝑘𝑎，𝐵𝑀=𝑎+𝑘𝑎=𝑀𝐸，证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐸可得∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝑀，利用锐角三角函数即可得结果．

本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是综合运用以上知识．

𝐵𝐹

𝐹𝑀

1−𝑘

第23页，共23页