2024年浙江省绍兴市新昌县部分学校九年级中考一模数学模拟试题(解析版)

数学试题

[时间：120 分钟 满分：120 分]

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30分）

1. 下列各数为无理数的是（ ）A. 0.618【答案】C【解析】

【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．【详解】解：由题意知，0.618，

B.

227C.

5D.

327223，273，均为有理数，75是无理数，故选：C．

【点睛】本题考查了无理数，立方根．解题的关键在于熟练掌握无理数是无限不循环小数．2. 下列运算结果正确的是（ ）A. xx22x8【答案】C【解析】

【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．根据相关计算法则，逐一进行计算即可得出结论．

【详解】解：A、x与x2不是同类项，不能合并，选项计算错误，不符合题意；B、2x2B. 2x236x6C. x6x3x3D. x2x3x38x6，选项计算错误，不符合题意；

C、x6x3x3，选项计算正确，符合题意；D、x2×x3=x5，选项计算错误，不符合题意；故选C．

3. 我国自主研制的全球最大集装箱船“地中海泰莎”号的甲板面积近似于4个标准足球场，可承载240000吨的货物，数字240000用科学记数法可表示为（ ）A. 2.4105B. 0.24106C. 2.4106D. 24104【答案】A【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a10n，其中1|a|10，n为整数．【详解】解：2400002.4105．故选：A．

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a10n的形式，其中1|a|10，n为整数．确定n的值时，要看把原来的数，变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数，确定a与n的值是解题的关键．4. 如图，在ABC中，BABC,B80，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE的度数为（ ）

A. 60【答案】B【解析】

B. 65C. 70D. 75【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．【详解】∵在ABC中，BABC,B80，

180oB180o80∴ACB50o，

22∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，∴DCE故选：B．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．

5. 某市为缓解交通拥堵，决定修建高架快速路，原计划用20个月完成这项工程，实际提前2个月完成该

1ACD65o，2工程，求实际每月的工作效率比原计划提高的百分比．若设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是

x%，则根据题意可列方程为（ ）

A.

111x%1820B.

111x%2018C. 1820（1x%）【答案】A【解析】

D. 1820（1x%）【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据结果比原计划提前2个月完成交货，列方程即可．

【详解】解：设实际每月的工作效率比原计划提高的百分比是x%，根据题意，得

111x%1820故选：A．

6. 如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F．若FB＝FE＝2，FC＝1，则AC的长是（　　）

A.

522B.

352C.

453D.

523【答案】B【解析】

【分析】连接BC，因为AB是直径，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，可证△ACE∽△CBF，根据相似三角形的判定和性质定理可得可得到结论．

【详解】解：如图所示，连接BC，

ACCE=，并用勾股定理求出BC的长度，代入公式，求出AC的长度，即BCBF

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∵BF⊥CD，∴∠CFB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ACE＝∠CBF，∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴

ACCE=，BCBF∵FB＝FE＝2，FC＝1，

∴CE＝CF+EF＝3，BC＝CF2BF2=1222=5，

AC2=，∴53∴AC=35，2故选：B．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理的应用、相似三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于找出一对相似的三角形，其线段互相成比例，并求出各线段的长度．

7. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（　　）

A. 乙提速后每分钟攀登30米B. 乙攀登到300米时共用时11分钟

D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、

C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟乙两人共攀登了330米．【答案】D【解析】

【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．【详解】解：甲的速度为：3001002010（米/分），，10330（米/分）

即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；

乙攀登到300米时共用时：2300303011（分钟），故选项B不符合题意；设y甲k1xb1，y乙k2xb2，

100b1由函数图象得：，

30020kb11k110解得 ，

b1001∴y甲10x100，

∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，∴乙提速后的速度为：30米/分，∴30030309，∴t2911，

∴B11,300，

∴302k2b2，

30011k2b2k230解得 ，

b302∴y乙30x30，当y甲y乙时，

则10x10030x30，解得x6.5，

即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时6.5分钟，故选项C不符合题意；从甲、乙相距100米到乙追上甲时，

甲、乙两人共攀登了：6.51030306.526530135230（米），故选项D符合题意．故选：D．

【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键．

8. 如图，桌上的一个圆柱形玻璃杯（无盖）高为6厘米，底面周长为 16 厘米，在杯口内壁离杯口1.5 厘米的 A 处有蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5 厘米，则小虫爬到蜜糖 A处的最短路程为（ ）

A. 6 厘米【答案】D【解析】

B. 7 厘米C. 8 厘米D. 10 厘米

【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．

将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A，根据两点之间线段最短可知AP的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．

【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A，连接PA，最短距离为PA的长度，

PAPE2EA2(162)(61.51.5)210(厘米)，2最短路程为PA10厘米．故选：D．

9. 如图，一把梯子AB斜靠在墙上，端点A离地面的高度AC长为1m时，ABC45．当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点B，端点A沿墙竖直向上移动到点A，设ABC，则AA的长可以表示为（

）

A.

2sinB.

2sin1C.

2cos1D.

2tan1【答案】B【解析】

【分析】利用锐角三角函数关系求出ABAB可得结果．

【详解】解：由题意可知，AC1m，∵ABC45，

2m，进而表示出AC的长，根据AAACAC即

∴ABAC2m，故AB2m，

sin45∵ABC，

∴ACABsinABC则：AAACAC故选：B．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握相关定义是解题关键．

10. 如图．在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．点P，Q分别在边AB、AD上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为（ ）

2sin，

2sin1，

A. 8【答案】A【解析】

B. 10C. 12D. 16

【分析】根据翻折的性质，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．

【详解】解：①在长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=20，∴BC=AD=20，

当p与B重合时，BA′=BA=12，CA′=BC-BA′=20-12=8，②当Q与D重合时，由折叠得A′D=AD=20，由勾股定理，得CA′=AD2CD2202122=16，

CA′最远是16，CA′最近是8，点A′在BC边上可移动的最大距离为16-8=8，故选：A．

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24分）

11. 分解因式：2x28x________．【答案】2x(x4)【解析】

【分析】直接提取公因式即可得出答案．【详解】2x28x2x(x4)故答案为：2x(x4)【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是找准公因式．12. 若分式

3有意义，则x的取值范围是____________．x5【答案】x≠5【解析】

【详解】解：根据题意，得x+5≠0，解得，x≠-5；故答案是：x≠-5．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．

13. 在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为【答案】3【解析】

【详解】试题分析：根据概率的计算公式可得：考点：概率的计算

14. 如图，将周长为12的△ABC沿BC边向右平移3个单位，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______．

2，则n=___________．522，解得：n=3.52n【答案】18【解析】

【分析】根据平移的性质，对应点的连线AD、CF都等于平移距离，再根据四边形ABFD的周长＝△ABC的周长+AD+CF代入数据计算即可得解．

【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3个单位得到△DEF，∴AD＝CF＝3，∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+DF+CF+AD＝△ABC的周长+AD+CF＝12+3+3＝18．故答案为：18．

【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平移的性质.

15. 工程上常用来测量零件上小孔的直径.假设的直径是12毫米，测得顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是_________毫米.

【答案】63 【解析】

【分析】设的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm-6mm=3mm，根据垂径定理得到CA=CB，在Rt△AOC中，利用勾股定理可计算出AC，即可得到这个小孔的直径AB．【详解】解：如图，

设的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm−6mm=3mm，∵OC⊥AB，∴CA=CB，

在Rt△AOC中,AC=OA2OC2∴AB=2AC=63mm.所以这个小孔的直径AB是63毫米.故答案为63.16. 如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆MN固定在垂直于地面的墙壁上，支杆CE与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形ABCD始终是平行四边形．

623233(mm).

（1）若遮阳蓬完全展开时，CE长2米，在与水平地面呈60°的太阳光照射下，CE在地面的影子有______米（影子完全落在地面）

（2）长支杆与短支杆的长度比（即CE与AD的长度比）是______．【答案】 【解析】

【分析】（1） 过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS//CE，ES//CK可得四边形CESK是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得KS的长即可；

（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为OM、B为OC的中点，然后说明AD的长度为长支杆的一半即可．

①. 2米

②. 2:1

【详解】解：（1）过C作与水平地面呈60°的直线KC交MN的延长线于K，分别过K、E作KS//CE，ES//CK

∴四边形CESK是平行四边形

∴KS=CE=2，即CE在地面上影子的长为2米；

（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为OM、B为OC的中点当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即AD的长度为长支杆的一半∵CE为长支杆的长度，AD为短支杆的长度．∴CE:AD=2:1．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

三、解答题（本大题共 8 小题，共 66分）

117. 计算：84sin45(3)03【答案】2【解析】

【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简计算即可．

11【详解】解：84sin45(3)03=2234=2．

【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．18. 已知关于x的一元二次方程x2bxc0.

（1）当cb2时，利用根的判别式判断方程根的情况，

1212（2）若方程有两个相等的非零实数根，写出一组满足条件的b,c的值，并求此时方程的根.【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析.【解析】

【分析】（1）计算判别式的值得到△=（b-2）2+4，则可判断△＞0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况；

（2）利用方程有两个相等的实数根得到△=b2-4c=0，设b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，然后解方程即可．

【详解】（1）∵c=b-2，

∴△=b2-4c=b2-4（b-2）=（b-2）2+4，∵（b-2）2≥0，∴△=（b-2）2+4＞0．∴△＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2-4c=0，

若b=2，c=1，方程变形为x2+2x+1=0，解得x1=x2=-1．

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．19. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．

（1）求证：AD＝CE．

（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．【答案】（1）见解析；（2）39【解析】

【分析】（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；

（2）由（1）得CD＝CE=2AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．【详解】（1）证明：∵DF＝EF ∴点F为DE的中点 又∵CF⊥DE ∴CF为DE的中垂线∴CD＝CE

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线∴CD＝

11AB=AD2∴AD＝CE

（2）解：由（1）得CD＝CE=∴AB=10

∴在Rt△ABC中，BC=∴EB=EC+BC=13∴ SAEB1AB=5 2AB2AC2=8

11ACEB61339．22【点睛】此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．

20. 文明是一座城市的名片，更是一座城市的底蕴．成都市某学校于细微处着眼，于贴心处落地，积极组织师生参加“创建全国文明典范城市志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”“敬老服务”“文明宣传”“交通劝导”，每名参加志愿者服务的师生只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该校随机调查了参加志愿者服务的部分师生，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据统计图信息，解答下列问题：

（1）本次调查的师生共有___________人，请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数：

（3）该校共有1500名师生，若有80%的师生参加志愿者服务，请你估计参加“文明宣传”项目的师生人数．

【答案】（1）300，图见解析； （2）144； （3）360人；【解析】

【分析】（1）根据“清洁卫生”的人数除以占比即可得出样本的容量，进而求“文明宣传”的人数，补全统计图；

（2）根据“敬老服务”的占比乘以360即可求解；

（3）用样本估计总体，用1500乘以80%再乘以“文明宣传”的 比即可求解．【小问1详解】

解：依题意，本次调查的师生共有6020%300人，∴“文明宣传”的人数为300601203090（人）补全统计图，如图所示，

故答案为：300．【小问2详解】

在扇形统计图中，求“敬老服务”对应的圆心角度数为【小问3详解】

估计参加“文明宣传”项目的师生人数为150080%120360144，30090360（人）．300【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21. 如图，一次函数y1k1xb(k10)的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，与反比例函数

y2k2k20的图象交于点C(4,2)，D(2,m)．x（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）结合图象，请直接写出不等式k1xb【答案】（1）反比例函数解析式为y2（2）x<4或0x2【解析】

【分析】（1）把点C的坐标代入y2k2的解集．x8，一次函数的表达式为y1x2 xk2(k20)即可求得k2，然后由反比例函数的解析式求得D的坐标，x最后利用待定系数法即可求得一次函数的表达式；

（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围即可．【小问1详解】

解：一次函数y1k1xb(k10)的图象与反比例函数y2k2(k20)的图象的相交于点C(4,2)、xD(2,m)，

k24(2)2m，k28，m4，

反比例函数解析式为y28，D(2,4)，x把点C、D的坐标代入y1k1xb(k10)得4k1b2，

2kb42解得k11，b2一次函数的表达式为y1x2；

【小问2详解】

解：由图象可知，当x<4或0x2时，k1xbk2．x【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．

22. 在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DFDE，连接BF．

（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．

（2）BGCE于点G，连接CF，若G是CE的中点，CF6，tanBCG3，①求CG的长．

②求平行四边形BCEF的周长．【答案】（1）见解析； （2）①2；②4542．【解析】

【分析】（1）根据三角形中位线定理证明EF∥BC，EFBC，进而可以解决问题；

（2）①设BG与FC交于点H，设EGCGx，则FBEC2x，证明FBH∽CGH，得

FBFHBH2BG，所以FH4，HC2，由tanBCG3，得BG3CG3x；证明CGHCGH1CGGHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出x的值，进而可以解决问题；

②利用①中的结论，求出BF、BG，再利用勾股定理求出BC，最后利用平行四边形的性质即可得出答案．

【小问1详解】

证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE1BC，2∵DFDE1EF，2∴EF∥BC，EFBC，∴四边形BCEF是平行四边形；

【小问2详解】

解：①设BG与FC交于点H，

∵G是CE的中点，∴EC2EG2CG，∵四边形BCEF是平行四边形，∴FBEC，EFBC，FB∥EC，设EGCGx，则FBEC2x，∵FB∥EC，

FBHCGH，ÐBFH=ÐGCH∴FBH∽CGH，∴

FBFHBH2，CGHCGH1∵FHHCCF6，∴FH4，HC2，∵tanBCGBG3，CG∴BG3CG3x，

∵BH2GH，BGBHGH，∴BH2x，GHx，∴GHCGx，∵BGCE，

∴GHC是等腰直角三角形，

∵HC2，∴GHCGx2HC2，2②由①知，EGCGx2，

∴BG3x32，FBEC2x22在RtBCG中，根据勾股定理得：

BCBGCG223222225，

∴平行四边形BCEF的周长2BCFB225224542．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到FBH∽CGH．23. 在直角坐标系中，设函数yxmxn（m，n是实数）．（1）当m1时，若该函数的图象经过点2,6，求函数的表达式．

（2）若nm1，且当x2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．

（3）若该函数的图象经过(0,a)，(3,b)两点（a，b是实数）．当2mn3时，求证：0ab4．【答案】（1）yx23x4 （2）m（3）见详解【解析】

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；

（2）求得抛物线与x的交点坐标，即可求得抛物线的对称轴为直线xm得出m3 21，根据二次函数的性质即可212，即可求解；2（3）把(0,a)，(3,b)两点代入yxmxn，表示出a和b，然后将ab配方可得．【小问1详解】

解：当m1时，则yx1xn，

6代入yx1xn得，6212n，把点2，∴n4，

∴yx1x4，即yx23x4；【小问2详解】

解：∵y(xm)(xn)，

∴抛物线与x轴的交点为(m,0),(n,0)，∴抛物线的对称轴为直线x∴nm1，

∴对称轴为直线xmmn，21，2∵抛物线开口向上且当x2时，y随x的增大而减小，

12，23∴m；

2∴m【小问3详解】

证明：∵函数的图象经过(0,a)，(3,b)两点（a,b是实数），∴amn，b3m3n，∴abmn3m3nm3mn3n3939(m)2(n)2，

2424∵2mn3，∴0(m)∴0ab4．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的性质．

24. 如图，AB是O的直径，PA，PC是O的两条切线，点A，C为切点，延长PC，AB相交于点D，若BD1，CD3，点F为弧AB的中点，连接AC．

3229392，0(n)22，424（1）连接OP交AC于点M，求证：ACBAMO；（2）设OCB，求tan的值；

（3）若点G与点F关于圆心O对称，连接CG，求CG的长．【答案】（1）见解析 （3）CG【解析】

【分析】（1）根据切线性质得出PAPC，由OAOB，得出点O、P在线段AC的垂直平分线上，证明

（2）3

855AMO90o，根据AB是O的直径，得出ACB90o，证明ACBAMO；

（2）证明VDCA∽VDBC，得出可；

（3）连接CF，FG，由VDCA∽VDBC，得出

ACCD3AC3，求出tanOCBtanOBCtan3即BCBD1BCACCDAD3，，求出AB8，根据BDCDBC设BCk，AC3k，根据BC2AC2AB2列出方程，求出k410410，得出BC，55AC1210，过点A作AHCF，垂足为H，连接AF，BF，512545165，最后根据勾股定理求出结果即可．555求出CFCHFH【小问1详解】

证明：∵PA，PC是O的两条切线，∴ABAP，OCCP，PAPC，∵OAOB，

∴点O、P在线段AC的垂直平分线上，∴OP垂直平分AC，即AMO90，∵AB是O的直径，

∴ACB90，∴ACBAMO．

【小问2详解】

解：∵ACB90，OCD90，∴BCDACOOAC，∵DD，∴VDCA∽VDBC，∴

ACCD33，BCBD1∵OBOC，∴OCBOBC，

∴tanOCBtanOBCtanAC3．BC【小问3详解】

解：连接CF，FG，如图所示：

∵点G与点F关于圆心O对称，∴GF过圆心，且为O的直径，∴GCF90，

由（2）得VDCA∽VDBC，

CDAD，BDCD3AB1即，13∴

∴AB8，又

AC3，BC∴设BCk，AC3k，由BC2AC2AB2得，∴k23k82，即10k2，∴k2410（舍去负值），5即BC1210410，AC，55如图，过点A作AHCF，垂足为H，连接AF，BF，如图所示：

∵点F为AB的中点，

∴AFBF，ACFBCF45，∴AHCH2125，AC25∴AF2AB42，2FHAF2AH242212545，552∴CFCHFH12545165，5552165256在Rt△CFG中，CG2FG2CF282，55585（负值舍去）∴CG．5【点睛】本题主要考查了圆与三角形的综合，三角形相似的判定和性质，勾股定理，垂直平分线的判断，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和定理，灵活应用．