指数型复合函数的单调性

指数型复合函数的单调性

学习目标：1.理解复合函数的定义。

2.会判断指数型复合函数的单调性。(主要是两种类型y=af(x)和y=f(a)）

x

重难点：指数型复合函数的单调性。

内容要点：

1.复合函数的定义。

设y=f(u）的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx,那么对于Dx内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数，其中x称为自变量,u为中间变量（内函数），y为因变量（外

1函数）。例如y= 2x24x这样的函数我们称为复合函数，因为含有指数函数，叫指数型复合函数。

2.接下来，我们回顾一下一些初等函数的单调性。

2（1）f(x)=x4x 增区间[-2,+∞), 减区间（-∞，-2）

2x（2）f(x)=2x3 增区间[1,+∞), 减区间（-∞，1）

3.那么指数型复合函数单调性如何判断？ 例1.

1判断y=2x24x单调性。

解：判断函数y的定义域，易知定义域为R

12x4x设u=,y=2 (将原函数分解为内函数和外函数)

22(x2)4知u在（-∞，-2]上为减函数，(-2,+∞)在上为增函数， x4x由u==

u1 y=2为减函数 （分别判断内外函数的单调性）

∴原函数的增区间为（-∞，-2],减区间为（-2，+∞） （根据“同增异减”得出单调区间）

小结：求指数型复合函数单调性步骤：

第一步，确定复合函数的定义域，即看内外函数对自变量x的，然后解不等式，求并集。 第二步，将原函数分解为初等函数y=f(u),g(x)的形式，

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第三步，分别y=f(u),g(x)的单调区间

第四步，根据“同增异减”给出原函数的单调区间。

1

练习1.（1）函数y=2

2x21

的单调递增区间为（A）

A,(-∞,0] B[0,+∞) C(-∞,-1] D[1,+∞)（2 ) 函数

(x3)y=2的单调递增区间[-3,+∞)

(3) 函数f(x)=23x在（-∞,0]上的单调性是（B）

A增函数 B减函数 C常函数 D不具有单调性

xa例2求函数y=

23x2(a1)

解：复合函数定义域为R

31733x224,易知u（x）在（-∞，2]上是增函数，在(2+∞上是减函数. 设u(x)=-x+3x+2=-当a>1时，y为增函数

233∴原函数在（-∞，2]是增函数，在(2,+∞)上是减函数。

练习 2.求y=2x22x3的单调区间

在[-1,1)上单调递增，在[1,3]上是单调递减。 总结y=af(x)（t=f（x））的单调性的一般规律

t当a>1时，y=a是单调递增的

f(x)的增区间就是原函数的增区间， f(x)的减区间就是原函数的减区间 （2）当0xf(a)的单调性. 4.下面来看函数y=

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例3.求函数y=2解：y=2x2x2x13的单调区间

2x222x13=（2x）22x3（2x-1）2

设t=2则t>0

2(t1)2在[1,+∞)上为增函数。 当t≥1时，y=

2x≥1,即x≥0 ，而2x在[0,+∞)上为增函数

由复合函数的单调性的判定方法知原函数在[0,+∞)上为增函数，

同理原函数在（-∞,0]上为减函数。

112练习3.求函数y=42的单调性

xxx11119112222224 解：y=42==xxxx221设t=2,则t>0

x1x1911224在[2,+∞)上为增函数， 当t≥2时，y=

21112≥2即x≤1,2在（-∞,1]上减函数

由复合函数的单调性判定方法知原函数在（-∞,1]上为减函数。

同理 原函数在（1，+∞）上为增函数。

课后习题：

判断下列指数型复合函数的单调性

xx11.y=3x22x3

x21 2.y=2

22xx 3.y=7

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x24x11 4.y=2

x2x 5.y=a2a1(a>0,a≠1)

6.y=2x22xa(-2≤x≤2)

xx 7.y=1224

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