绝密★启封前
2018上海高考压轴卷
数 学I
1.1.若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ． 2.若（x+a）的二项展开式中，含x项的系数为7，则实数a= ． 3.不等式2x﹣x﹣1＞0的解集是________.
4.如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为 ．
27
6
5.设i为虚数单位，复数
2
，则|z|= ．
6.已知P是抛物线y=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是 ． 7.在直三棱柱A1B1C1ABC中，底面ABC为直角三角形，BAC2，ABACAA11. 已知Ｇ与Ｅ分别为
A1B1和CC1的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）. 若GDEF，则线段DF的长度的
最小值为 。
8.若f（x）=（x﹣1）（x≤1），则其反函数f（x）= ．
9.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互，则至少有一种新产品研发成功的概率为 ．
2
﹣1
10.已知首项为1公差为2的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则= ．
时，函数取得最小值﹣2；
11.已知函数y=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，|φ|≤π，在一个周期内，当当
时，函数取得最大值2，由上面的条件可知，该函数的解析式为 ．
n
n
12.数列{2﹣1}的前n项1，3，7，…，2﹣1组成集合
（n∈N），从集合An中任取k（k=1，
*
2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记Sn=T1+T2+…+Tn，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出Sn= ．
13.关于x、y的二元一次方程组
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
的系数行列式D=0是该方程组有解的( )
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
14.数列{an}满足：a1=，a2=，且a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1对任何的正整数n都成立，则为（ ）
A．5032 B．5044 C．5048 D．5050
的值
15.某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（ ）万元． A．
B．
C． D．
16.设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B、C两
，则
的取值范围为（ ）
点，过B作AC的垂线交x轴于点D，若点D到直线BC的距离小于a+A．（0，1） B．（1，+∞） C．（0，
） D．（
，+∞）
三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．
（1）求异面直线EF、AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．
18.已知定义在（﹣，）上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（0，，
）上的解析式；
，
）时，f（x）=．
（1）求f（x）在区间（﹣
（2）当实数m为何值时，关于x的方程f（x）=m在（﹣）有解．
19.某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在150吨至250吨之间，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可近似地表示为问：
（1）年产量为多少吨时，每吨的平均成本最低？并求出最低成本？
（2）若每吨平均出厂价为16万元，则年产量为多少吨时，可获得最大利润？并求出最大利润？
20.设椭圆E： =1（a，b＞0）经过点M（2，），N（，1），O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒在两个交点A、B且该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由． 21. 已知
x12f(x)()(x1)x1？若存在，写出
（1）求f(x)的反函数及其定义域； （2）若不等式(1
x)f1(x)a(ax)对区间
11恒成立，求实数a的取值范围。 x[,]42
2018上海高考压轴卷数学
参及解析 1.【答案】{0，1，2}
【解析】∵集合A={﹣1，0，1，2}， B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}， ∴A∩B={0，1，2}． 故答案为：{0，1，2}．
2.【答案】1
【解析】（x+a）的二项展开式的通项公式：Tr+1=令r=6，则
=7，解得a=1．
7
xa
r7﹣r
，
故答案为：1．
3.【答案】x|x?òx1
2
【解析】不等式2x﹣x﹣1＞0，
12因式分解得：（2x+1）（x﹣1）＞0， 解得：x＞1或x＜﹣， 则原不等式的解集为
4.【答案】16
【解析】由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥， 又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4 由俯视图，可得四棱锥的底面的长为6，
代入棱锥的体积公式，我们易得V=×6×2×4=16， 故答案为：16．
5.【答案】1
，
【解析】【复数则|z|=1． 故答案为：1．
6.【答案】y=2x﹣1
2
===﹣i，
【解析】抛物线的焦点为F（1，0）设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，设Q（x，y）是PF中点，则：x=y=，p=2x﹣1，q=2y代入：p2=4q得：y2=2x﹣1 故答案为y=2x﹣1．
7.【答案】
2
，
5 5【解析】建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则F(t1,0,0)（0t11），
E,10,()1111，G(,0,1)，D(0,t2,0)（0t21）。所以EF(t1,1,)，GD(,t2,1)。因为GDEF，2222所以t12t21，由此推出 0t222112。又DF(t1,t2,0)，DFt12t225t24t215(t2)，552从而有 DF
min5。 58.【答案】1﹣（x≥0）
2
【解析】由y=（x﹣1），得x=1±∵x≤1，∴x=1﹣
．
，
由y=（x﹣1）2（x≤1），得y≥0． ∴f﹣1（x）=1﹣故答案为：1﹣
9.【答案】
【解析】设至少有一种新产品研发成功的事件为事件A且事件B为事件A的对立事件，则事件B为一种新产品都没有成功，
（x≥0）． （x≥0）．
因为甲乙研发新产品成功的概率分别为和． 则P（B）=（1﹣）（1﹣）=
，
，
再根据对立事件的概率之间的公式可得P（A）=1﹣P（B）=故至少有一种新产品研发成功的概率故答案为
10.【答案】4
【解析】由题意，an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，Sn=n+
．
．
=n2，
∴
故答案为：4．
==4，
11.【答案】y=2sin（2x﹣）
【解析】由函数的最小值为﹣2， ∴A=2，
，T=π，
=2，
∵函数图形过点（∴φ=﹣
，
），
，﹣2），代入y=2sin（2x+φ），
∴函数的解析式为：y=2sin（2x﹣故答案为：y=2sin（2x﹣
12.【答案】﹣1
【解析】当n=3时，A3={1，3，7}，
）．
则T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21， ∴S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，
由S1=1=21﹣1=S2=7=2﹣1=S3=63=26﹣1=… 猜想：Sn=故答案为：
13.【答案】D
3
﹣1， ﹣1， ﹣1，
﹣1， ﹣1．
【解析】系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D≠0时，方程组有唯一的解； 系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解． ∴系数行列式D=0，方程可能有无数个解，也有可能无解，
反之，若方程组有解，可能有唯一解，也可能有无数解，则行列式D可能不为0，也可能为0． 总之，两者之间互相推出的问题． 故选D．
14.【答案】B
【解析】a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1，① a1a2+a2a3+…+anan+1+an+1an+2=（n+1）a1an+2，② ①﹣②，得﹣an+1an+2=na1an+1﹣（n+1）a1an+2， ∴同理，得∴整理，得∴
是等差数列．
=， =4，
， ，
∵a1=，a2=， ∴等差数列
的首项是
，公差
，
．
∴故选B．
15.【答案】.B
【解析】假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）=x（1+r）+x（1+r）+…+x（1+r）+x， 化为a（1+r）5=x•故选：B．
16.【答案】A
，解得x=
．
5
4
3
==5044．
【解析】由题意，A（a，0），B（c，设D（x，0），则由BD⊥AB得
•
），C（c，﹣
=﹣1，
），由双曲线的对称性知D在x轴上，
∴c﹣x=，
∵D到直线BC的距离小于a+，
∴c﹣x=||＜a+，
∴＜c2﹣a2=b2，
∴0＜＜1，
故选：A．
17.【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴， 建立空间直角坐标系，
由题意得E（3，2，0），F（，4，0）， A（3，0，0），C1（0，4，4），
=（﹣，2，0），=（﹣3，4，4），
设异面直线EF、AC1所成角为θ， 则cosθ=|cos＜
＞|
=||=，
∴θ=arccos（2）∵∴|
．
=（﹣，4，0），
=（0，2，0），
|=
，
|=2，|
cos＜＞==，
∴sin＜∴S△AEF=
＞==， =
=，
∴以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积： VP﹣AEF=
18 .（1）设
∵f（x）是奇函数，则有
，则
，
…
=
=2．
∴f（x）=…
（2）设∵1+t＞1，得∴y=f（x）在又设
，令t=tanx，则t＞0，而
，从而
，
．
的取值范围是0＜y＜1．…
，则
，
由此函数是奇函数得f（x）=﹣f（﹣x），0＜f（﹣x）＜1，从而﹣1＜f（x）＜0．… 综上所述，y=f（x）的值域为（﹣1，1），所以m的取值范围是（﹣1，1）．…
19.【解析】
（1）设每吨的平均成本为W（万元/T）， 则W==当且仅当
+=
﹣30≥2
﹣30=10，
，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为10万元．
（2）设年利润为u（万元）， 则u=16x﹣（
﹣30x+4000）=﹣
+46x﹣4000=﹣
（x﹣230）2+1290．
所以当年产量为230吨时，最大年利润1290万元．
20.【解析】（Ⅰ）∵椭圆E：
（a，b＞0）过M（2，
），N（
，1）两点，
∵，解得：，
∴，
椭圆E的方程为…
，
（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
设该圆的切线方程为y=kx+m，解方程组，得x+2（kx+m）=8，即（1+2k）x+4kmx+2m﹣8=0，
22222
则△=16km﹣4（1+2k）（2m﹣8）=8（8k﹣m+4）＞0，即8k﹣m+4＞0，
22222222
…．
，
要使，需使x1x2+y1y2=0，即，
所以3m﹣8k﹣8=0，所以又8k﹣m+4＞0， ∴
，
2
2
22
，
∴，即或，
∵直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为，，，
所求的圆为，
或
，…
此时圆的切线y=kx+m都满足
而当切线的斜率不存在时切线为，与椭圆的两个交点为或
满足
综上，存在圆心在原点的圆
，
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
…..
∵，
∴，
=，…
①当k≠0时
∵，
∴，
∴，
∴
②当k=0时，
，当且仅当…．
时取”=”…
③当AB的斜率不存在时，两个交点为所以此时
，…
，
…
或，
综上，|AB|的取值范围为即： 21.
【考点】函数恒成立问题；反函数．
【分析】（1）求出f（x）的值域，即f﹣1（x）的定义域，令y=（）2，解得x=，可得f﹣1（x）．
（2）不等式（1﹣恒成立，
）f（x）＞a（a﹣
﹣1
）在区间x∈[，]恒成立⇔在区间x∈[，]
对区间x∈[，]恒成立．
【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（＜x＜1）； （2）∵f﹣1（x）=⇔
（0＜x＜1），∴不等式（1﹣在区间x∈[，]恒成立， 对区间x∈[，]恒成立．
当a=﹣1时，不成立，
）2（x＞1），解得x=，∴f﹣1（x）=（0
）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立
当a＞﹣1时，a＜当a＜﹣1时，a＞
在区间x∈[，]恒成立，a＜（在区间x∈[，]恒成立，a＞（
）min，﹣1＜a＜． ）max，a无解．
综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜．
