2013年北京高考理科数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

0，1，Bx|1≤x1，则AB （1）已知集合A1，开始i=0, S=1A．0 0 C．0，1 B．1，20，1 D．1，S=S2+12S+1（2）在复平面内，复数2i对应的点位于（ ）

A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限

i=i+1i≥2是输出S结束否（3）“π”是“曲线ysin2x过坐标原点”的（ ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

2 3

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为

A．1

B．

C．

13610 D．

98721（5）函数fx的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则fx

A．ex1

B．ex1 C．ex1

D．ex1

x2y2（6）若双曲线221的离心率为3，则其渐近线方程为

abA．y2x

1B．y2x C．yx

2D．y2x 2（7）直线l过抛物线C:x24y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于

A．

4 3

8B．2 C．

31

D．162 32xy10，（8）设关于x，y的不等式组xm0，表示的平面区域内存在点Px0，y0，满足

ym0x02y02，求得m的取值范围是

4125A．， B．，C．， D．，333 3 

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

π（9）在极坐标系中，点2，到直线sin2的距离等于 ．

6B（10）若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q ；前n项

O和Sn ．

（11）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，

ADPPD:DB9:16，则PD ，AB ．

（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．

abcb，c在正方形网格中的位置如图所示，（13）向量a，若cab，R，则

 ． A1D1B1DAPBEC1（14）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ．

三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤

（15）本小题共（13分）

在△ABC中，a3，b26，B2A．

C 2

（Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求c的值．

（16）（本小题共13分）

下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．

空气质量指数250200150100502508657220160143217160158121807937日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日12日13日14日

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；

（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABCAA1C1C是边长为4的正方形．平面AA1C1C，AB3，BC5．

（Ⅰ）求证：AA1平面ABC；

（Ⅱ）求证二面角A1BC1B1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求

（18）（本小题共13分） 设l为曲线C:yBD的值. BC1C1AA1B1BClnx在点1,0处的切线． x（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）证明：除切点1,0之外，曲线C在直线l的下方．

3

（19）（本小题共14分）

x2已知A,B,C是椭圆W:y21上的三个点，O是坐标原点.

4（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

（20）（本小题共13分）

已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an1,an2的最小值记为Bn，dnAnBn．

（Ⅰ）若an为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意nN*，，an4an）写出d1,d2,d3,d4的值;

（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dndn1,2,3的等差数列;

（Ⅲ）证明：若a12，dn1n1,2,3,项为1.

的充分必要条件为an是公差为d，则an的项只能是1或者2，且有无穷多

4

5

要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域

内包含直线y11x1上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线yx1上方，且(-m，22m12m112m)在直线yx1下方，解不等式组12mm1得m＜

2231mm12

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