2011年北京市高考数学(理科)试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P{x|x1}，M{a}.若P2MP,则a的取值范围是

（A）[1,) （C）[1,1] （D）(,1][1,) (,1] （B）（2）复数

i2 12i4343i （D）i 5555（A）i （B）i （C）（3）在极坐标系中，圆2sin的圆心的极坐标是

) （B）(1,) （C）(1,0) （D）(1,)

22（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

开 始 （A）3

（A）(1, （B）

1 2i0,s2 1（C）

3

（D）2

ss1 s1i4 否 输出s 是 ii1 结 束

数学（理）（北京卷） 第1页 （共5页）

（5）如图，AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F，延长AF与圆O交于另一点G。

给出下列三个结论：

① ADAEABBCCA；

② AFAGADAE；

③ AFB

其中，正确结论的序号是

（A）① ② （B）② ③

（C）① ③ （D）① ② ③

E C O G

ADG

F A B D （6）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为f(x)c,xAx

c,xAA（A,c为常数）。已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟， 那么c和A的值分别是

（A）75,25 （B）75,16 （C）60,25 （D）60,16 （7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中 最大的是 4 （A） 8

（B）62

（C） 10

（D）82

俯视图 4 正（主）视图

3 侧（左）视图

（8）设A(0,0)，B(4,0)，C(t4,4)，D(t,4)（tR），记N(t)为平行四边形内

部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N(t)的 值域为

（A）{9,10,11} （B）{9,10,12} （C）{9,11,12} （D）{10,11,12}

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）在ABC中，若b5,B

（10）已知向量a(3,1)，b(0,1)，c(k,3)，若a2b与c共线，则k 。

（11）在等比数列{an}中，若a1 |a1||a2|4，tanA2，则sinA ；a 。

1，a44，则公比q ； 2|an| 。

（12）用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有 个。 （用数字作答）

2x2,（13）已知函数f(x)x过关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实

3(x1),x2数k的取值范围是 。

（14）曲线C是平面内与两个定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a(a1)的点

的轨迹，给出下列三个结论：

① 曲线C过坐标原点；

② 曲线C关于坐标原点对称；

③ 若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于其中，所有正确结论的序号是 。

212a； 2

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三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数f(x)4cosxsin(x（I）求f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求f(x)在区间[6)1，

,]上的最大值和最小值；

（16）（本小题共14分）

如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD 是菱形，AB2,BAD60。

（I）求证：BD平面PAC

（Ⅱ）若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；

P D C

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长； A B

（17）（本小题共13分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学植树的棵数，乙组记录中有一个数据记录模糊无法确认，在图中以X表示。

甲 组 乙 组

9 9 0 X 8 9

1 1 1 0

（I）如果X8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

（Ⅱ）如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名学生，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望；

1注：方差s2[(x1x)2(x2x)2n

(xnx)2]，其中x为x1,x2,,xn的平均数

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（18）（本小题共13分）

已知函数f(x)(xk)e。 （Ⅰ）求f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的x(0,)，都有f(x)

（19）（本小题共14分）

2xk1，求k的取值范围； ex2y21，过点(m,0)作圆x2y21的切线l交椭圆G于A,B两点，已知椭圆G: 4（Ⅰ）求椭圆G的焦点坐标及离心率；

（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值；

（20）（本小题共13分）

若数列An:a1,a2,列，记S(An)a1a2,an（n2）满足ak1ak1(k1,2,an。

则称An为E数,n1)，

（Ⅰ）写出一个满足a1a50，且S(A5)0的E数列A5；

（Ⅱ）若a112,n2000，证明E数列An是递增数列的充要条件是an2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n(n2)，是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)0，如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由。

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

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