1977-1987年高考理科数学试题

市)数学试题

满分120分，120分钟

1．（本小题满分10分） 解方程x13x． 2．（本小题满分10分） 计算212201．

221

3. （本小题满分10分）

已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求lg45． 4．（本小题满分10分） 证明：(1tg)29. （本小题满分10分）

有一个圆内接三角形ABC，∠A的平分线交BC于D，交外接圆于E，求证：ADAEACAB.

A

CBD

E10. （本小题满分10分）

当m取哪些值时，直线yxm与椭圆

x2y21有一个交点？有两个交点？169没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.

参考题

1. （本小题满分10分）

1sin2．

cos2 5．（本小题满分10分）

求过两直线xy70和3xy10的交点且过(1,1)点的直线方程． 6．（本小题满分10分）

某工厂今年七月份的产值为100万元，以后每月产值比上月增加20%，问今年七月份到十月份总产值是多少？

7. （本小题满分10分）

已知二次函数yx6x5．

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程; (2)画出它的图象;(3)分别求出它的图象和x轴，y轴的交点坐标． 8．（本小题满分10分）

一只船以20海里/小时的速度向正东航行，

0

起初船在A处看见一灯塔B在船的北45东方向，一小时后船在C处看见这个灯塔

0

在船的北15东方向，求这时船和灯塔的距离CB．

B

45°15°

22(x0),xsin（1）求函数f(x) x0(x0)的导数.

x2y2 (2)求椭圆221绕x轴旋转而

ab成的旋转体体积.

2. （本小题满分10分）

(1)试用ε-δ语言叙述“函数f(x)在点

xx0处连续的定义.

（2）试证明：若f(x)在点xx0处连续，且f(x0)0,则存在一个x0的

(x0,x0)，在这个邻域内，处处有f(x)0.

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AC1978年普通高等学校招生全国统一考试

数学

满分120分，120分钟

（理科考生五，六两题选做一题，文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.分解因式：x4xy4y4z.

2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.

3．求函数ylg(2x)的定义域.

0000

4.不查表求cos80cos35+cos10cos55的值.

5.化简：222四、（本题满分12分）已知

log1a(a2),18b5.求log35.

五.（本题满分20分）

已知△ABC的三内角的大小成等差数列，

tanAtanC23，求角A,B,C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于43求三角形各边a,b,c的长（提示：必

要时可验证(13)423） C

ab

A BcD六、（本题满分20分）已知,为锐角，且3sin2sin1，

22214123sin22sin20.求证

(4ab)13(0.1)2(ab)1342.

22.

二、（本题满分14分）

kx2y24，其中k为实数.对于不同范围的k值，分别指出方程所代

已知方程

表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图. 三、（本题满分14分）

（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，

2

求证：1)CD=CM=CN. 2)CD=AM·BN

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七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）

已知函数yx(2m1)xm1 (mR）.

1）m是什么数值时，y的极值是0？ 2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出

22m1,0,1时抛物线的草图，来检验这个

结论. 3）平行于l1的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于l1而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.

一九七八年副题

1．（1）分解因式：

x22xyy22x2y3

25 (2)求sin30tan0cotcos46的值

AMNFC43BEαaD25．设f(x)4x4px4qx

lg(255x)（3）求函数y的定义域

x1

（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积

2p(m1)x(m1)2(p0).求证：1）

如果f(x) 的系数满足p4q4(m1)0,那么f(x)恰好是一个二次三项式的平方. 2）如果f(x)与F(x)(2xaxb)表示同一个多项式，那么

222（5）计算10(25)(111255)30()()50093121212的值.

2．已知两数x1,x2满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…的前

p24q4(m1)0. 6．已知：asinxbcosx0. ………① Asin2xBcos2xC.………………② 其中a,b不同时为0.求证：

2abA(b2a2)B(a2b2)C0.

7．已知l为过点P(0

14项和．求根为,x11的方程． x2333,)而倾斜角22为30的直线，圆C为中心在坐标原点而半

径等于1的圆，Q表示顶点在原点而焦点

3.已知：△ABC的外接圆的切线AD交BC的延长线于D点，求证：

ABC的面积AB2BD. 2ACD的面积ACCD A 1

B EC 4．（如图）CD是BC的延长线， ABBCCACDa，DM与 AB,AC分别交于M点和N点，且

2,0)的抛物线设A为l和C在第三8象限的交点，B为C和Q在第四象限的交

在(D点．

1）写出直线l，圆C和抛物线Q的方程，并作草图 2）写出线段PA，圆弧AB和抛物线上OB一段的函数表达式． 3）设P,B依次为从P,B到x轴的垂足求BDM.求证：

4atan4atanBM,CN. 3tan3tan

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由圆弧AB和直线段BB,BP,PP,PA所

y包含的面积． l

B/ P/OC x BA

P

1979年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科） 满分120分，120分钟

一、（本题满分6分） 若(zx)4(xy)(yz)0,求证：x,y,z成等差数列． 二、（本题满分6分）化简：

2111111csc2x．

七、（本题满分12分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：x0.1,可用：ln(1x)x，取lg2=0.3,ln10=2.3) 八、（本题满分12分）设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与

与CF的延长线CE的延长线相交于点A，

BFBC3相交于点B求证：． 3AEACC三、（本题满分6分）

甲，乙二容器内都盛有酒精甲有v1公斤，

乙有v2公斤甲中纯酒精与水（重量）之比为m1:n1 ,乙中纯酒精与水之比为

m2:n2．问将二者混合后所得液体中纯酒

精与水之比是多少？

四、（本题满6分）叙述并证明勾股定理． 五、（本题满10分）

外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D里以内的区域．设A及B是我们的观测站，A及B间的距离为S里，海岸线是过A，B的直线，一外国船在P点，在A站测得∠BAP=，同时在B站测得∠ABP=．问及满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？

P

βαACB

六、（本题满分10分）设三棱锥VABC中，∠AVB=∠BVC=∠CVA=直角． 求证：△ABC是锐角三角形． C

E F

ABD

九、（本题满分14分）试问数列lg100，

1lg(100sin)，lg(100sin2)，…，

44lg(100sinn1)前多少项的和的值最大？4并求这最大值（lg2=0.301) 十、（本题满分18分）设等腰△OAB的顶点为2，高为h．

1．在△OAB内有一动点P，到三边OA，OB，AB的距离分别为|PD|,|PF|,|PE|，

并且满足关系|PD||PF|=|PE|．求P点的轨迹．

2．在上述轨迹中求出点P的坐标，使得|PD|+|PE|=|PF|．

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2VADB1980年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科） 满分120分，120分钟

一、（本题满分6分） 将多项式xy9xy分别在下列范围内分解因式：

1．有理数范围;2.实数范围;3.复数范围 二、（本题满6分）

半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明：以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形.

O3

33

21

O112O2 三、（本题满分10分）

用解析几何方法证明三角形的三条高线交于一点. 四、（本题满分10分）

55使得当自变量x在任意两个整数间（包括

整数本身）变化时，函数f(x) 至少有一个值是M与一个值是m. 七、（本题满分14分）

CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高，已知△ACD、△BCD、△ABC的面积成等比数列，求∠B（用反三角函数表示）. C

B AD八、（本题满分14分） 已知0，证明：2sin2cot并讨论α为何值时等号成立. 九、（本题满分18分）

抛物线的方程是y2x，有一个半径为1的圆，圆心在x轴上运动问这个圆运动到什么位置时，圆与抛物线在交点处的切线互相垂直（注：设P(x0,y0)是抛物线

2，

2证明对数换底公式：logbNlogaNlogaby22px上一点，则抛物线在P点处的切

P线斜率是）.

y0

A(m,0)

附加题（成绩不计入总分，只作参考） 设直线l的参数方程是（a,b,N是正数，且a1,b1）. 五、（本题满分10分）

直升飞机上一点P在地面M上的正射影是A，从P看地面上一物体B（不同于A）.直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N（如图）.证明：平面N必与平面M相交，且交线垂直于AB. P

N

lBA M六、（本题满分12分）

xt,（t是

ybmt;参数），椭圆E的参数方程是

k),其中53写出f(x)极大值M，极小值mk0.1．

与最小正周期; 2．试求最小的正整数k，

设三角函数f(x)sin(

30

x1acos,(a0)（是参数） ysin问a,b应满足什么条件，使得对于任意m值来说，直线l与椭圆E总有公共点

1981年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科） 满分120分，120分钟

一、（本题满分6分）

设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1. A∪B, 2. A∩B. 二、（本题满分6分）

在A,B,C,D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 三、（本题满分8分）

下列各小题中，指出A是B的充分条件，还是必要条件，还是充要条件，或者都不是.

1.A: 四边形ABCD为平行四边形, B：四边形ABCD为矩形. 2.A: a3，B：|a|=3 3.A: 150，B：sin222对一切自然数n都成立. 七、（本题满分15分）

设1980年底我国人口以10亿计算.

（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 八、（本题满分17分）

0

在120的二面角PaQ的两个面P和

Q内，分别有点A和点B已知点A和点B到棱a的距离分别为2和4，且线段

1. 24.A: 点(a,b)在圆xyr上

B: abr. 四、（本题满分10分）

写出余弦定理（只写一个公式即可），并加以证明. 五、（本题满分10分） 解不等式（x为未知数）：

222xaaabxbbccxc0.

六、（本题满分10分） 用数学归纳法证明等式

xxxxsinx coscos2cos3cosnx22222nsin2n

31

AB=10，

1．求直线AB和棱a所成的角; 2．求直线AB和平面Q所成的角.

P

EaBQ

A CFD

九、（本题满分18分）

y21. 给定双曲线x21．过点A(2,1)的直线l与所给的双曲线交于两点P求线段P1P2的中点P的轨迹1,P2，

2方程.

2．过点B(1,1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1,Q2，且点B是线段

Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在，求

出它的方程;如果不存在，说明理由. 十、（附加题，本题满分20分，计入总分） 已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF，其边长为1（如图）设ACa,BCb，作数列u1ab，

u2a2abb2，

u3a3a2bab2b3，…………，ukakak1bak2b2

32

(1)kbk.

求证：unun1un2(n3).

1982年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理科） 满分120分，120分钟

一、（本题满分6分） 填表： 1 2 3 函 数 使函数有意义的 x的实数范围 六、（本题满分16分）

如图：已知锐角∠AOB=2内有动点P，PMOA,PNOB，且四边形PMON的面积等于常数c.今以O为极点， ∠AOB的角平分线Ox为极轴，求动点P的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.

A

M

P(ρ,θ)x

ONB七、（本题满分16分）

已知空间四边形ABCD中ABBC,CDAD，M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点（如图）求证RMNPQ是一个矩形.

B M

QNA D

KP

八、（本题满分18分） C抛物线y2px的内接三角形有两边与抛物线x2qy相切，证明这个三角形的第三边也与x2qy相切. 九、（附加题，本题满分20分，计入总分）

已知数列a1,a2,an,和数列b1,b2,…,

2222yx2 y(x)2 yarcsin(sinx) y10lgx ylg10x 4 ysin(arcsinx) 5 6 二、（本题满分8分）

1．求(1i)展开式中第15项的数值; 2．求ycos220x的导数. 3三、（本题满分9分）

在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.

x1cos,1．3y230.2．

y2sin.634四、（本题满分12分）

已知圆锥体的底面半径为R，高为H. 求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）. 五、（本题满分15分）设0x1,a0，

2x11bn, …，其中a1p,b1q,anpan1， bnqan1rbn1(n2)(p,q,r是已知常

数，且q0,pr0）. 1．用p,q,r,n表示bn，并用数学归纳法加

以证明; 2．求limnbnanbn22.

a1，比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小（要写出比较过程）.

33

1983年普通高等学校招生全国统一考试 四、（本题满分12分）

理科数学试题 计算行列式（要求结果最简）： 满分120分，120分钟 sincos()cos一、（本题满分10分）本题共有5小题， cossin()sin每小题2分 cos2cos1．两条异面直线，指的是 sinA.在空间内不相交的两条直线. 五、（本题满分15分） B.分别位于两个不同平面内的两条直线. 1.证明：对于任意实数t，复数 C.某一平面内的一条直线和这个平面外的z|cost||sint|i的模r|z|适合一条直线.

r42. D.不在同一平面内的两条直线.

2.当实数t取什么值时，复数 222．方程xy0表示的图形是 z|cost||sint|i的幅角主值适A.两条相交直线 B.两条平行直线

C.两条重合直线 D.一个点

合0？

3．三个数a,b,c不全为零的充要条件是 4六、（本题满分15分） A.a,b,c都不是零

如图，在三棱锥SABC中，S在底面上B.a,b,c中最多有一个是零

的射影N位于底面的高CD上；M是侧棱C.a,b,c中只有一个是零

SC上的一点，使截面MAB与底面所成的

D.a,b,c中至少有一个不是零

角等于∠NSC，求证SC垂直于截面

4SMAB. 4．设)的值是 ,则arccos(cos3

422 MA. B. C. D.

333320.3 C5．0.3,log20.3,2这三个数之间的大小A N顺序是 D 20.3BA.0.32log20.3 七、（本题满分16分）

20.3B.0.3log20.32 如图，已知椭圆长轴|A1A2|6，焦距C.log20.30.320.320.32

D.log20.320.3 二、（本题满分12分）

1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程yx，x|F1F2|42，过椭圆焦点F1作一直线，交椭圆于两点M,N.设F2F1M (0)，当取什么值时，|MN|

等于椭圆短轴的长？ y M αF1OF2 A1N

34

y的图形，并写

出它们交点的坐标.

2．在极坐标系内，方程5cos表示什么曲线？画出它的图形. 三、（本题满分12分） 1.已知yesin2x，求微分dy.

2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法.

A2xx

八、（本题满分16分）

已知数列an的首项a1b(b0)，它的前n项的和Sna1a2并且S1,S2,S3,为p(p0且|p|＜1）.

an(n1),

是一个等比数列，其公比

a2,a3,a4,1.证明：,an, (即an从第

二项起）是一个等比数列.

2.设Wna1S1a2S2anSn (n1) ,求limWn（用b,p表示）.

n 九、（本题满分12分） 1.已知a,b为实数，并且eab，其中e是自然对数的底，证明ab. 2.如果正实数a,b满足ab.且a1，证明ab.

35

baba

1984年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题及答案

（这份试题共八道大题，满分120分.第九题是附加题，满分10分，不计入总分） 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分.

二、（本题满分24分）本题共6小题，每

一个小题满分4分只要求直接写出结果） 1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.

22.函数log0.5(x4x4)在什么区间上

是增函数？

3．求方程(sinxcosx)4．求(|x|项.

21的解集. 212)3的展开式中的常数|x|1．数集X(2n1),nZ与数集

Y(4n1),kZ之间的关系是（ C ） A.XY B.XY C.X=Y D.X≠Y

222．如果圆xyGxEyF0与x轴相切于原点，那么 A.F0,G0,E0 B.E0,F0,G0 C.G0,F0,E0 D.G0,E0,F0 3.如果n是正整数，那么

12n5．求limn的值.

n316．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形.

1[1(1)n](n21)的值 80(x0)，

1(x0)画出函数yH(x1)的图象.

1．设H(x)2．画出极坐标方程

A.一定是零 B.一定是偶数 四、（本题满分12分） C.是整数但不一定是偶数 已知三个平面两两相交，有三条交线.求证D.不一定是整数 这三条交线交于一点或互相平行.

x)大于arccosx的充分条件是 4.arccos(五、（本题满分14分） A.x(0,1] B.x(1,0) C.x[0,1] D.x[0,] 5．如果

设c,d,x为实数，c0，x为未知数讨论(2)()0(0)的曲线.

42方程logd(cx)xx1在什么情况下有解，

是第二象限角，且满足

cossin1sin,那么

222A.是第一象限角 B.是第三象限角

C.可能是第一象限角，也可能是第三象限角

D.是第二象限角

36

有解时求出它的解. 六、（本题满分16分）

1．设p0，实系数一元二次方程

z22pzq0有两个虚数根z1,z2.再

设z1,z2在复平面内的对应点是Z1,Z2求以Z1,Z2为焦点且经过原点的椭圆的长轴 的长.（7分）

2．求经过定点M(1,2)，以y轴为准线，

离心率为

1的椭圆的左顶点的轨迹方程.2（9分）

七、（本题满分15分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c，且c=10，

九、（附加题，本题满分10分，不计入总分）

如图，已知圆心为O，半径为1的圆与直线l相切于点A，一动点P自切点A沿直 线l向右移动时，取弧 的长为AP，

AC3直线PC与直线AO交于点M.又知当

2cosAb4，P为△ABC的内切圆上cosBa3的动点.求点P到顶点A,B,C的距离的平

方和的最大值与最小值. yB

D O/EP

OCF 八、（本题满分12分）

AP=

3时，点P的速度为v.求这时点4

M的速度.

Ax设a2，给定数列xn,其中x1a,

2xnxn1(n1,2).求证：

2(xn1)x1．xn2，且n11(n1,2)；

xn12．如果a3，那么xn2n1(n1,2)；

2alg3 时，必有3．如果a3，那么当n4lg3xn13.

37

1985年普通高等学校招生全国统一考试 二、（本题满分20分）本题共5小题，每

理科数学试题 一个小题满分4分.只要求直接写出结果） 满分120分，120分钟 1．求方程2sin(x)1解集．

一、（本题满分15分）本题共有5小题，6每小题都给出代号为A，B，C，D的四个 结论，其中只有一个结论是正确的，把正2．设|a|1，求arccosaarccos(a)的确结论的代号写在题后的圆括号内，选对

值．

的得3分、不选，选错或者选出的代号超

过一个的（不论是否都写在圆括号内），一2y16x的焦点． 3．求曲线律得0分 1．如果正方体ABCDABCD的棱长

6654．设(3x1)a6xa5x 为a，那么四面体AABD的体积是 a1xa0,求a6a5a1a0的值． a3a3a3a3A. B. C. D..

234655．设函数f(x)的定义域是0,1，求函数

2．tanx1是x的

4f(x2)的定义域．

A.必要条件 B.充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要的条件

3．在下面给出的函数中，哪一个函数既是

三、（本题满分14分）

1．解方程log4(3x)log0.25(3x)



区间(0,)上的增函数又是以为周期的

2

log4(1x)log0.25(2x1)．

2．解不等式2x5x1.

偶函数？ 四、（本题满分15分）

2A.yx(xR). B.y|sinx|(xR) 如图，设平面AC和BD相交于BC，它们

0

sin2x所成的一个二面角为45，P为平面AC内(xR) C.ycos2x(xR) D.ye4．极坐标方程asin(a0)的图象是 的一点，Q为面BD内的一点．已知直线

MQ是直线PQ在平面BD内的射影，并

O

a2x且M在BC上．又设PQ与平面BD所成的角为，∠CMQ(090)，线段PM的长为a，求线段PQ的长．

OaxA B (A )

a

OO xxC D

5．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.个

38

五、（本题满分15分）

Z1和Z2为复平面内设O为复平面的原点，

的两动点，并且满足：（1）Z1和Z2所对应的复数的辐角分别为定值

和

A∩B≠（表空集），（2）(a,b)C同

时成立. 九、（附加题，本题满分10分） 已知曲线yx6x11x6.在它对应于x[0,2]的弧段上求一点P，使得曲线在该点的切线在y轴上的截距为最小，并求出这个最小值．

39

32(0)； （2）△OZ1Z2的面积

2为定值S．求△OZ1Z2的重心Z所对应的

Z1复数的模的最小值.

θ -θxO

Z2

六、（本题满分15分）

已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一条直线

yl：yx．设长为2的线段AB在直线l上移动，如图求直线PA和QB的交点M的轨迹方程（要求把结果写成普通方程）． 七、（本题满分14分） 设an1223（n1,2）．

n(n1) n(n1)(n1)2an（1）证明不等式

22对所有的正整数n都成立．

an(n1,2),用定义（2）设bnn(n1)1证明limbn．

n2 八、（本题满分12分） 设a,b是两个实数，

A{(x,y)xn,ynab,n是整数}，

B{(x,y)xm,y3m215,m是整数}，

C{(x,y)x2y2144}是平面xOy内

的点集合，讨论是否存在a和b使得：（1）

1986年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题 满分120分，120分钟

一、（本题满分30分）

1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A．2(cosD．既不充分也不必要的条件

7．如果方程xyDxEyF0

22isin) 44G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，B．2(cosisin)

现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成44一个四面体，使G1,G2,G3三点重合，重合θC．2(sinicos)

-θ44后的点记为G，那么，在四面体SEFGS中必有 G3D．2(sinicos)

A．SG⊥△EFG 44x所在平面 F2．函数y(0.2)1的反函数是 B．SD⊥△EFG

A．ylog5x1 B．ylogx51

所在平面

C．ylog5(x1) D．ylog5x1 C．GF⊥△SEF G1E所在平面 43．极坐标方程cos表示 ε所在平面 D．DG⊥△SEF3A．一条平行于x轴的直线 B．一条垂直于x轴的直线 C．一个圆 D．一条抛物线

DG2(D2E24F0)所表示的曲线关于直

线yx对称，那么必有 A．DE B．DF C．EF D．DEF

8．在正方形SG1G2G3中，E,F分别是

9．在下列各图中，yaxbx与

2yaxb(ab0)的图象只可能是

4．函数y2sin2xcos2x是

A．周期为的奇函数 A． B． C． D．

210．当x[1,0]时，在下面关系式中正确

B．周期为的偶函数 的是

2C．周期为的奇函数

4D．周期为的偶函数

4A．arccos(x)arcsin1x2 B．arcsin(x)arccos1x2 C．arccosxarcsin1x2

D．arcsinxarccos1x2 5．给出20个数： 二、（本题满分24分） 87，91，94，88，93，91，，87，92，

286，90，92，88，90，91，86，，92，

1．求方程25(xx0.5)45的解．

95，88．它们的和是

13i A．17 B．1799 C．1879 D．19 ,求21的值．2．已知

6．设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条2件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 3．在xoy平面上，四边形ABCD的四个A．充分条件 B．必要条件 顶点坐标依次为(0,0)，(1,0)，(2,1)，C．充要条件

(0,3)．求这个四边形绕x轴旋转一周所得

40

到的几何体的体积．

3n(2)n4．求limn1．

n3(2)n11535．求(2x2)展开式中的常数项．

x16．已知sincos，

233求sincos的值．

三、（本题满分10分） 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC． 四、（本题满分12分）

当sin2x0时,求不等式

六、（本题满分10分）

已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAB且C中含有3个元素，（2）CA（表示空集）． 七、（本题满分12分） 过点M(1,0)的直线l1与抛物线y4x交于P记：线段P1P2的中点为P；1,P2两点．过点P和这个抛物线的焦点F的直线为l2；l1的斜率为k．试把直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数． yl2l1

P2

P1P

M(-1,0) OF(1,0)x 八、（本题满分12分） 已知x10,x11，且

2xn(xn3)xn1(n1,2,)．试证：数23xn12log0.5(x22x15)log0.5(x13)的解

集．

五、（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A,B．试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值．

y

A

B

OCx

41

列xn或者对任意自然数n都满足

xnxn1,或者对任意自然数n都满足xnxn1．

九、（附加题，本题满分10分） 1．求yxarctanx的导数． 2．求过点(1,0)并与曲线y的直线方程．

2x1相切x21987年普通高等学校招生全国统一考试 C．向左平行移动 D．向右平行移动 理科数学试题 66满分120分，120分钟 7．极坐标方程sin2cos所表示的

一、（本题满分24分）本题共有8个小题，

曲线是

每小题都给出代号为A，B，C，D的四个

A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线

结论，其中只有一个结论是正确的，把你

认为正确结论的代号写在题后的圆括号内8．函数yarccos(cosx)(x[,])的

22选对的得3分）

图象是 1．设S，T是两个非空集合，且S T，yyπyπy 11 S，令XST，那么SX T22xxx

A．X B．T C． D．S ππππOππOπO -πO---22222222x2y2 2．设椭圆方程为221(ab0)，

A． B． C． D． ab二、（本题满分28分）本题共7小题，每

令ca2b2，那么它的准线方程为 一个小题满分4分只要求写出结果 22ab2xA．y B．y 1．求函数的周期 ytgcc322abx2y2C．x D．x 1表示双曲2．已知方程cc213．设a,b是满足ab0的实数，那么 线，求λ的范围.

n3A．|ab|>|ab| 3．若(1x)的展开式中，x的系数等于xB．|ab|<|ab|

的系数的7倍，求n.

C．|ab|<||a|-|b||

22n1D．|ab|<|a|+|b| 22. 4．求极限lim2nn1n1n14．已知E,F,G,H为空间中的四个点，设

25．在抛物线y4x上求一点，使该点到命题甲：点E,F,G,H不共面，

直线y4x5的距离为最短. 命题乙：直线EF和GH不相交．那么 6．由数字1，2，3，4，5组成没有重复数A．甲是乙的充分条件，但不是必要条件

字且数字1与2不相邻的五位数求这种五B．甲是乙的必要条件，但不是充分条件

位数的个数. C．甲是乙的充要条件

7．一个正三棱台的下底和上底的周长分别D．甲不是乙的充分条件，也不是乙必要条

为30cm和12cm，而侧面积等于两底面积之件

差，求斜高. 5．在区间(,0)上为增函数的是 xA．ylog1(x) B．y 三、（本题满分10分）

1x2求sin10sin30sin50sin70的值.

22 C．y(x1) D．y1x

 6．要得到函数ysin(2x)的图象，

3

只需将函数ysin2x的图象（图略）  A．向左平行移动 B．向右平行移动

33

42

四、（本题满分12分） 如图，三棱锥PABC中，已知PABC，PABCl，PA,BC的公垂线EDh.求证三棱锥PABC的体积Vlh.

6P EC AD

B

五、（本题满分12分） 设对所有实数x，不等式

121（1）求极限lim1. n2x2（2）设yxln(1x),求y.

x4(a1)2a(a1)2xlog22xlog2log202aa14a恒成立，求a的取值范围.

2 六、（本题满分12分，共2个小题） 设复数z1和z2满足关系式

z1z2Az1Az20，其中A为不等于0

2的复数.证明：（1）|z1A||z2A||A|；

（2）

z1Az1A. z2Az2A七、（本题满分12分，共3个小题） 设数列a1,a2,,an,的前n项的和Sn1,(1b)n其中b是与n无关的常数，且b1. （1）求an和an1的关系式;

与an的关系是Snban1（2）写出用n和b表示an的表达式; （3）当0b1时，求极限limSn.

n 八、（本题满分10分）

定长为3的线段AB的两端点在抛物线

y2x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标.

九、（附加题，本题满分10分，共2个小题，每小题5分，不计入总分）

43