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2014年北京市高考数学试卷(文科)

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2014年北京市高考数学试卷（文科）

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2014年北京市高考数学试卷（文科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（） {3} A．{0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D． 2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（） ﹣x y=x y=lnx y=|x| A．B． C． D． y=e 3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） 4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

D．（3，9）

1 A． 3 B． 2

7 C． 2

15 D． 5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a＞b”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件 6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（） A．（0，1） B．（1，2） 2

C．（2，4） D．（4，+∞） 7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存

在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（） 7 6 5 4 A．B． C． D． 8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

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A．3.50分钟 B． 3.75分钟 C． 4.00分钟二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= _________ ．

D． 4.25分钟 10．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为 _________ ． 11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 _________ ．

12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= _________ ；sinA= _________ ．

13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 _________ ．

14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料 9 15 原料A 21 原料B 6 则最短交货期为 _________ 个工作日．

三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

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www.jyeoo.com 15．（13分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+

）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣

，﹣

]上的最大值和最小值．

17．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数 1 [0，2） 6 2 [2，4） 8 3 [4，6） 17 4 [6，8） 22 5 [8，10） 25 6 [10，12） 12 7 [12，14） 6 8 [14，16） 2 9 [16，18） 2 100 合计

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www.jyeoo.com （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x+2y=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）

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参与试题解析

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）（2014•北京）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（） {3} A．{0，1，2，3，4} B． {0，4} C． {1，2} D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集的运算得答案．解答：解：∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础题． 2．（5分）（2014•北京）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（） ﹣x y=x y=lnx y=|x| A．B． C． D． y=e 考点：函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数单调性的性质和函数成立的条件，即可得到结论．解答：解：A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件． D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件．故选：B．点评：本题主要考查函数定义域和单调性的判断，比较基础． 3．（5分）（2014•北京）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．解答：解：由=（2，4），=（﹣1，1），得： D．（3，9） 2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）．故选：A．点评：本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题． 4．（5分）（2014•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

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1 3 7 15 A．B． C． D．考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图． 12k分析：算法的功能是求S=1+2+2+…+2的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出的S值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值， ∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7．故选：C．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 5．（5分）（2014•北京）设a，b是实数，则“a＞b”是“a＞b”的（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件充分必要条件 C．D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解． 22222解答：解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a＞b，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）＜（﹣3），所以“a＞b”是“a2＞b”的不充分条件； 222222反之，由a＞b也不一定得a＞b，如（﹣3）＞（﹣2），但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a＞b”的不必要条件．故选D 点评：判断充要条件的方法是： ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； ④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件． ⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系． ⑥涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法． 22

6．（5分）（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（） A．（0，1）

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www.jyeoo.com 考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．解答：解：∵f（x）=﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，满足f（2）f（4）＜0， ∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，故选：C 点评：本题考查还是零点的判断，属基础题． 7．（5分）（2014•北京）已知圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（） 7 6 5 4 A．B． C． D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：根据圆心C到O（0，0）的距离为5，可得圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，可得22

PO=AB=m，可得m≤6，从而得到答案． 22解答：解：圆C：（x﹣3）+（y﹣4）=1的圆心C（3，4），半径为1， ∵圆心C到O（0，0）的距离为5， ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°，以A为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．点评：本题主要直线和圆的位置关系，求得圆C上的点到点O的距离的最大值为6，是解题的关键，属于中档题． 8．（5分）（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，

可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）

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www.jyeoo.com 解答： 2解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at+bt+c，可得解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2， ∴p=﹣0.2t+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣2， =3.75．故选：B．点评：本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2014•北京）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= 2 ．考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：化简原式可得∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等的定义可得．解答：解：∵（x+i）i=﹣1+2i， ∴﹣1+xi=﹣1+2i，由复数相等可得x=2 故答案为：2 点评：本题考查复数相等的充要条件，属基础题． 10．（5分）（2014•北京）设双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（22

x﹣y=1 ．，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0），可得c=，a=1，进而求出b，即可得出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C的两个焦点为（﹣，0），（，0），一个顶点是（1，0）， ∴c=，a=1， ∴b=1， 22∴C的方程为x﹣y=1． 22故答案为：x﹣y=1．点评：本题考查双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 11．（5分）（2014•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 2 ．

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www.jyeoo.com 考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由主视图知CD⊥平面ABC、B点在AC上的射影为AC中点及AC长，由左视图可知CD长及△ABC中变AC的高，利用勾股定理即可求出最长棱BD的长．解答：解：由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1；由左视图知CD=2，BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=2，在Rt△ACD中，AD=2．则三棱锥中最长棱的长为2．故答案为：2．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查空间图形的三视图，考查学生的空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力． 12．（5分）（2014•北京）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= 2 ；sinA= 考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：利用余弦定理列出关系式，将a，b，以及cosC的值代入求出c的值，由cosC的值求出sinC的值，再由a，c的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．解答：解：∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，．

∴由余弦定理得：c=a+b﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2； ∵cosC=，C为三角形内角， ∴sinC==， 222∴由正弦定理故答案为：2；= 得：sinA===．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键． 13．（5分）（2014•北京）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 1 ．

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www.jyeoo.com 考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为由图可知，当直线此时．，过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小．故答案为：1．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 14．（5分）（2014•北京）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序粗加工精加工时间原料 9 15 原料A 21 原料B 6 则最短交货期为 42 个工作日．考点：算法的特点．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：先完成B的加工，再完成A的加工即可．解答：解：由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日．故答案为：42．点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）（2014•北京）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，数列{bn}满足b1=4，b4=20，且{bn﹣an}为等比数列．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{bn}的前n项和．

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www.jyeoo.com 考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用等差数列、等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得结论；（Ⅱ）利用分组求和法，有等差数列及等比数列的前n项和公式即可求得数列的和．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得 d===3． ∴an=a1+（n﹣1）d=3n（n=1，2，…），设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则 q=3==8，∴q=2， n﹣1n﹣1∴bn﹣an=（b1﹣a1）q=2， n﹣1∴bn=3n+2（n=1，2，…）． n﹣1（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=3n+2（n=1，2，…）． ∵数列{3n}的前n项和为n（n+1），数列{2nn﹣1}的前n项和为1×=2﹣1， n∴数列{bn}的前n项和为n（n+1）+2﹣1．点评：本题主要考查学生对等差数列及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查学生的基本的运算能力，属基础题． 16．（13分）（2014•北京）函数f（x）=3sin（2x+

）的部分图象如图所示．

（Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣

，﹣

]上的最大值和最小值．

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www.jyeoo.com 可知y0为函数的最大值3，x0=（Ⅱ）∵x∈[﹣∴2x+∴当2x+当2x+∈[﹣，﹣]，；，0]，时，f（x）取最大值0，时，f（x）取最小值﹣3 =0，即x==，即x=﹣点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题． 17．（14分）（2014•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ∴BB1⊥AB， ∵AB⊥BC，BB1∩BC=B， ∴AB⊥B1BCC1， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则 ∵F是BC的中点， ∴FG∥AC，FG=AC， ∵E是A1C1的中点， ∴FG∥EC1，FG=EC1， ∴四边形FGEC1为平行四边形， ∴C1F∥EG， ∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，

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www.jyeoo.com ∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AB=， ∴VE﹣ABC=== 点评：本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键． 18．（13分）（2014•北京）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：排号分组频数 1 [0，2） 6 2 [2，4） 8 3 [4，6） 17 4 [6，8） 22 5 [8，10） 25 6 [10，12） 12 7 [12，14） 6 8 [14，16） 2 9 [16，18） 2 100 合计（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论）

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www.jyeoo.com 专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布表求出周课外阅读时间少于12小时的频数，再根据频率=（Ⅱ）根据小矩形的高=求a、b的值；求频率；（Ⅲ）利用平均数公式求得数据的平均数，可得答案．解答：解：（Ⅰ）由频率分布表知：周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90， ∴周课外阅读时间少于12小时的频率为=0.9；（Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085；数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125；（Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）， ∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组．点评：本题考查了频率分布表与频率分布直方图，再频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距= 19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x+2y=4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．考点：椭圆的简单性质；两点间的距离公式．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：． 22

（Ⅰ）椭圆C：x+2y=4化为标准方程为22，求出a，c，即可求椭圆C的离心率；（Ⅱ）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．解答：解：（Ⅰ）椭圆C：x+2y=4化为标准方程为∴a=2，b=，c=，； 22， ∴椭圆C的离心率e==（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴=0，， ∴tx0+y0=0，∴t=﹣∵， ∴|AB|=（x0﹣t）+（y0﹣2）=222+4≥4+4=8，当且仅当，即x0=4时等号成立， 2 ©2010-2014 菁优网

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www.jyeoo.com ∴线段AB长度的最小值为2．点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=2x﹣3x．（Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值；（Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用导数求得极值点比较f（﹣2），f（﹣），f（），f（1）的大小即得结论； 3

（Ⅱ）利用导数的几何意义得出切线方程4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x﹣6x+t+3，则“过点P（1，t）32存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．利用导数判断函数的单调性进而得出函数的零点情况，得出结论；（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论写出即可． 32解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2x﹣3x得f′（x）=6x﹣3，令f′（x）=0得，x=﹣∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣或x=）=，，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为．（Ⅱ）设过点p（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0），则y0=2﹣3x0，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y0=（6∴t﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0）， ﹣6+t+3=0， ﹣3）（1﹣x0），即432设g（x）=4x﹣6x+t+3，则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”． 2∵g′（x）=12x﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（x）与g′（x）变化情况如下： x 1 （﹣∞，0） 0 （0，1）（1，+∞） 0 0 + g′（x） + ﹣ ↗ ↘ ↗ t+3 t+1 g（x） ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值．当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点．当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0， ∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调，故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点．综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）．（Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切；

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参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；sxs123；lincy；清风慕竹；liu老师；maths；caoqz；sllwyn（排名不分先后）菁优网

2014年6月12日

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