2015北京高考数学真题（文科） 一、选择题（每小题5分,共40分） 1．（5分）若集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣3＜x＜2} B．{x|﹣5＜x＜2} C．{x|﹣3＜x＜3} D．{x|﹣5＜x＜3} 2．（5分）圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（ ） A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=1
B．（x+1）2+（y+1）2=1
C．（x+1）2+（y+1）2=2
D．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2
3．（5分）下列函数中为偶函数的是（ ） A．y=x2sinx B．y=x2cosx C．y=|lnx| D．y=2﹣x 4．（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为（ ） 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 A．90
B．100 C．180 D．300
人数 900 1800 1600 4300
5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（ ） 第 1 页 共 15 页
A．3 6．（5分）设，是非零向量，“
=||||”是“
”的（ ） D．既不充分也不必要条件 B．4
C．5
D．6
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ） A．1
B．
C．
D．2
8．（5分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况 第 2 页 共 15 页
加油时间 2015年5月1日 2015年5月15日 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 12 48
35000 35600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 （ ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 二、填空题 9．（5分）复数i（1+i）的实部为 ． 10．（5分）2﹣3，，log25三个数中最大数的是 ． ，∠A=
，则∠B= ． 11．（5分）在△ABC中，a=3，b=
12．（5分）已知（2，0）是双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点，则b= ． 13．（5分）如图，△ABC及其内部的点组成的集合记为D，P（x，y）为D中任意一点，则z=2x+3y的最大值为 ． 14．（5分）高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生． 从这次考试成绩看， ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ； ②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 ． 第 3 页 共 15 页
三、解答题（共80分） 15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣2
sin2． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间[0，
]上的最小值． 16．（13分）已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？ 17．（13分）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买． 100 217 200 300 85 98
甲 √ × √ √ √ × 乙 × √ √ × × √ 丙 √ × √ √ × × 丁 √ √ × × × × 第 4 页 共 15 页
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率； （2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率； （3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 18．（14分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积． ，O，M
19．（13分）设函数f（x）=﹣klnx，k＞0． （1）求f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，
]上仅有一个零点． 20．（14分）已知椭圆C：x2+3y2=3，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M． （1）求椭圆C的离心率； （2）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率； （3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由． 第 5 页 共 15 页
参与试题解析 一、选择题（每小题5分,共40分） 1．【解答】集合A={x|﹣5＜x＜2}，B={x|﹣3＜x＜3}， 则A∩B={x|﹣3＜x＜2}． 故选：A． 2．【解答】由题意知圆半径r=
， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2． 故选：D． 3．【解答】对于A，（﹣x）2sin（﹣x）=﹣x2sinx；是奇函数； 对于B，（﹣x）2cos（﹣x）=x2cosx；是偶函数； 对于C，定义域为（0，+∞），是非奇非偶的函数； 对于D，定义域为R，但是2﹣（﹣x）=2x≠2﹣x，2x≠﹣2﹣x；是非奇非偶的函数； 故选B 4．【解答】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16， 因为青年教师有320人，所以老年教师有180人， 故选：C． 5．【解答】模拟执行程序框图，可得 第 6 页 共 15 页
k=0，a=3，q= a=，k=1
不满足条件a＜，a=，k=2
不满足条件a＜，a=，k=3
不满足条件a＜，a=，k=4
满足条件a＜，退出循环，输出k的值为4． 故选：B． 6．【解答】（1）
； ∴时，cos=1； ∴； ∴∥； ∴“”是“∥”的充分条件； （2）∥时，的夹角为0或π； ∴，或﹣； 即∥得不到； ∴“”不是“∥”的必要条件； ∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件． 第 7 页 共 15 页
故选A． 7．【解答】由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图：
其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=PC==
，PD= =
． 该几何体最长棱的棱长为：故选：C． 8．【解答】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8； 故选：B． 二、填空题 9．【解答】复数i（1+i）=﹣1+i， 所求复数的实部为：﹣1． 故答案为：﹣1． 10．【解答】由于0＜2﹣3＜1，1＜
＜2， 第 8 页 共 15 页
log25＞log24=2， 则三个数中最大的数为log25． 故答案为：log25． 11．【解答】由正弦定理可得， =
， 即有sinB===， 由b＜a，则B＜A， 可得B=
． 故答案为：． 12．【解答】双曲线x2﹣=1（b＞0）的焦点为（，0），（﹣，0）， 由题意可得=2， 解得b=． ． 故答案为： 13．【解答】由z=2x+3y，得y=， 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时， 第 9 页 共 15 页
直线y=的截距最大，此时z最大． 即A（2，1）． 此时z的最大值为z=2×2+3×1=7， 故答案为：7． 14．【解答】由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知 ①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙； ②观察散点图，作出对角线y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学； 故答案为：乙；数学． 三、解答题（共80分） 15．【解答】（1）∵f（x）=sinx﹣2
sin2 =sinx﹣2=sinx+
×cosx﹣
）﹣
=2sin（x+
∴f（x）的最小正周期T==2π； （2）∵x∈[0，]， ∴x+∈[，π]， ∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]， 第 10 页 共 15 页
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣． 16．【解答】（I）设等差数列{an}的公差为d． ∵a4﹣a3=2，所以d=2 ∵a1+a2=10，所以2a1+d=10 ∴a1=4， ∴an=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…） （II）设等比数列{bn}的公比为q， ∵b2=a3=8，b3=a7=16， ∴ ∴q=2，b1=4 ∴
=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{an}中的第63项相等 17．【解答】（1）从统计表可得，在这1000名顾客中，同时购买乙和丙的有200人， 故顾客同时购买乙和丙的概率为
=0.2． （2）在这1000名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300（人）， 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为
=0.3． （3）在这1000名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2， 第 11 页 共 15 页
同时购买甲和丙的概率为=0.6， 同时购买甲和丁的概率为=0.1， 故同时购买甲和丙的概率最大． 18．【解答】（1）证明：∵O，M分别为AB，VA的中点， ∴OM∥VB， ∵VB⊄平面MOC，OM⊂平面MOC， ∴VB∥平面MOC； （2）∵AC=BC，O为AB的中点， ∴OC⊥AB， ∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC， ∴OC⊥平面VAB， ∵OC⊂平面MOC， ∴平面MOC⊥平面VAB
（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=∴S△VAB=
， ，∴AB=2，OC=1， ∵OC⊥平面VAB， ∴VC﹣VAB=
•S△VAB=
， ∴VV﹣ABC=VC﹣VAB= ． 第 12 页 共 15 页
19．【解答】（1）由f（x）= f'（x）=x﹣ 由f'（x）=0解得x= f（x）与f'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下： X f'（x） f（x） （0，
﹣ ↓
） 0
（
+ ↑ ） 所以，f（x）的单调递增区间为（f（x）在x=
处的极小值为f（
）=
），单调递减区间为（0，
，无极大值． ）； （2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为f（）=． 因为f（x）存在零点，所以，从而k≥e
当k=e时，f（x）在区间（1，所以x=
是f（x）在区间（1，
）上单调递减，且f（）上唯一零点． ）上单调递减，且
）=0
当k＞e时，f（x）在区间（0，， 所以f（x）在区间（1，）上仅有一个零点． ]上仅有一个零点． 综上所述，若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1， 20．【解答】（1）∵椭圆C：x2+3y2=3， ∴椭圆C的标准方程为：
+y2=1， 第 13 页 共 15 页
∴a=，b=1，c=， ； ∴椭圆C的离心率e==
（2）∵AB过点D（1，0）且垂直于x轴， ∴可设A（1，y1），B（1，﹣y1）， ∵E（2，1），∴直线AE的方程为：y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2）， 令x=3，得M（3，2﹣y1）， ∴直线BM的斜率kBM==1； （3）结论：直线BM与直线DE平行． 证明如下： 当直线AB的斜率不存在时，由（2）知kBM=1， 又∵直线DE的斜率kDE=
=1，∴BM∥DE； 当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1）， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2）， 令x=3，则点M（3，）， ∴直线BM的斜率kBM=， 联立
，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0， 第 14 页 共 15 页
由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=∵kBM﹣1== = =0， ∴kBM=1=kDE，即BM∥DE； 综上所述，直线BM与直线DE平行． ， 第 15 页 共 15 页
