2014北京高考数学真题（文科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．（5分）若集合A={0，1，2，4}，B={1，2，3}，则A∩B=（ ） A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3} 2．（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ） A．y=e﹣x B．y=x C．y=lnx
D．y=|x| 3．（5分）已知向量=（2，4），=（﹣1，1），则2﹣=（ ） A．（5，7） B．（5，9） C．（3，7） D．（3，9） 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ） A．1
B．3
C．7
D．15
5．（5分）设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（5分）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞） 7．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（ ） A．7
B．6
C．5
D．4
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8．（5分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）若（x+i）i=﹣1+2i（x∈R），则x= ． 10．（5分）设双曲线C的两个焦点为（﹣
，0），（
，0），一个顶点是（1，0），则C的方程为 ． 11．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为 ． 12．（5分）在△ABC中，a=1，b=2，cosC=，则c= ；sinA= ． 13．（5分）若x，y满足，则z=x+y的最小值为 ． 14．（5分）顾客请一位工艺师把A，B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 第 2 页 共 15 页
工序 时间 原料 原料A 原料B
粗加工 精加工 9 6
15 21
则最短交货期为 个工作日． 三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12，等比数列{bn}满足b1=4，b4=20． （1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）求数列{bn}的前n项和． 16．（13分）函数f（x）=3sin（2x+
）的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间[﹣
，﹣
]上的最大值和最小值． 17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点． （Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE； 第 3 页 共 15 页
（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积． 18．（13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图： 排号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
合计 （Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值； （Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组（只需写结论） 19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； 第 4 页 共 15 页
分组 [0，2） [2，4） [4，6） [6，8） [8，10） [10，12） [12，14） [14，16） [16，18） 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100
（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． 20．（13分）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围； （Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 第 5 页 共 15 页
参与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1．【解答】∵A={0，1，2，4}，B={1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2，4}∩{1，2，3}={1，2}． 故选：C． 2．【解答】A．函数的定义域为R，但函数为减函数，不满足条件． B．函数的定义域为R，函数增函数，满足条件． C．函数的定义域为（0，+∞），函数为增函数，不满足条件． D．函数的定义域为R，在（0，+∞）上函数是增函数，在（﹣∞，0）上是减函数，不满足条件． 故选：B． 3．【解答】由=（2，4），=（﹣1，1），得：2﹣=2（2，4）﹣（﹣1，1）=（4，8）﹣（﹣1，1）=（5，7）． 故选：A． 4．【解答】由程序框图知：算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值， ∵跳出循环的k值为3， ∴输出S=1+2+4=7． 故选：C． 5．【解答】因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件； 第 6 页 共 15 页
反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件． 故选D 6．【解答】∵f（x）=
﹣log2x， ∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0， 满足f（2）f（4）＜0， ∴f（x）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C
7．【解答】圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1， ∵圆心C到O（0，0）的距离为5， ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6． 再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点， 可得PO=AB=m，故有m≤6， 故选：B． 第 7 页 共 15 页
8．【解答】将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得
， 解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2， ∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣
=3.75． 故选：B． 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．【解答】∵（x+i）i=﹣1+2i， ∴﹣1+xi=﹣1+2i， 由复数相等可得x=2 故答案为：2 10．【解答】∵双曲线C的两个焦点为（﹣∴c=
，a=1， ，0），（
，0），一个顶点是（1，0）， ∴b=1， ∴C的方程为x2﹣y2=1． 故答案为：x2﹣y2=1． 11．【解答】由主视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE=CE=1； 由主视图知CD=2，由左视图知BE=1， 在Rt△BCE中，BC=在Rt△BCD中，BD=在Rt△ACD中，AD=2
， ， ． 第 8 页 共 15 页
则三棱锥中最长棱的长为2故答案为：2
． ． 12．【解答】∵在△ABC中，a=1，b=2，cosC=， ∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4，即c=2； ∵cosC=，C为三角形内角， ∴sinC==， ∴由正弦定理=得：sinA===． 故答案为：2；． 13．【解答】由约束条件作出可行域如图， 第 9 页 共 15 页
化目标函数z=
x+y为
， 过C（0，1）时直线在y轴上的截距最小． ． 由图可知，当直线此时
故答案为：1． 14．【解答】由题意，徒弟利用6天完成原料B的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15=42 个工作日． 故答案为：42． 三、解答题，共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．【解答】（1）∵{an}是等差数列，满足a1=3，a4=12， ∴3+3d=12，解得d=3， ∴an=3+（n﹣1）×3=3n． ∵等比数列{bn}满足b1=4，b4=20， ∴4q3=20，解得q=
， ∴bn=4×（）n﹣1． （2）∵等比数列{bn}中，
， 第 10 页 共 15 页
∴数列{bn}的前n项和Sn==． 16．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=3sin（2x+
）， ∴f（x）的最小正周期T==π， 可知y0为函数的最大值3，x0=； （Ⅱ）∵x∈[﹣，﹣]， ∴2x+∈[﹣，0]， ∴当2x+=0，即x=时，f（x）取最大值0， 当2x+=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3 17．【解答】（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面， ∴BB1⊥AB， ∵AB⊥BC，BB1∩BC=B， ∴AB⊥平面B1BCC1， ∵AB⊂平面ABE， ∴平面ABE⊥平面B1BCC1； （Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则， ∵F是BC的中点， ∴FG∥AC，FG=
AC， 第 11 页 共 15 页
∵E是A1C1的中点， ∴FG∥EC1，FG=EC1， ∴四边形FGEC1为平行四边形， ∴C1F∥EG， ∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE， ∴C1F∥平面ABE； （Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AB=∴VE﹣ABC=
， =
=
． 18．【解答】（Ⅰ）由频率分布表知：1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90， ∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为
=0.9； （Ⅱ）由频率分布表知：数据在[4，6）的频数为17，∴频率为0.17，∴a=0.085； 数据在[8，10）的频数为25，∴频率为0.25，∴b=0.125； （Ⅲ）数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68（小时）， 第 12 页 共 15 页
∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组． 19．【解答】（Ⅰ）椭圆C：x2+2y2=4化为标准方程为， ∴a=2，b=，c=， ； ∴椭圆C的离心率e==
（Ⅱ）设A（t，2），B（x0，y0），x0≠0，则 ∵OA⊥OB， ∴=0， ∴tx0+2y0=0，∴t=﹣， ∵， 2+（y﹣2）2=（x+∴|AB|2=（x0﹣t）002+（y﹣2）2=x2+y2+）000+4=x02+
++4=+4（0
＜x02≤4）， 因为
≥4（0＜x02≤4），当且仅当，即x02=4时等号成立，所以|AB|2≥8． ∴线段AB长度的最小值为2 ． 20．【解答】（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣
或x=
， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， 第 13 页 共 15 页
∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为 ． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x0，y0）， 则y0=2
﹣3x0，且切线斜率为k=6
﹣3， ∴切线方程为y﹣y0=（6﹣3）（x﹣x0）， ∴t﹣y0=（6﹣3）（1﹣x0）， 即4﹣6+t+3=0， 设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”． ∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（x）与g′（x）变化情况如下：
x
（﹣∞，0） + ↗ 0 0 t+3
（0，1） ﹣ ↘ 1 0 t+1
（1，+∞） + ↗ g′（x） g（x） ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． 当g（0）=t+3≤0，即t≤﹣3时，g（x）在区间（﹣∞，1]和（1，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点． 当g（1）=t+1≥0，即t≥﹣1时，g（x）在区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上分别至多有一个零点，故g（x）至多有2个零点． 当g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1时，∵g（﹣1）=t﹣7＜0，g（2）=t+11＞0， ∴g（x）分别在区间[﹣1，0），[0，1）和[1，2）上恰有1个零点，由于g（x）在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上单调， 第 14 页 共 15 页
故g（x）分别在区间（﹣∞，0）和[1，+∞）上恰有1个零点． 综上所述，当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切． 第 15 页 共 15 页
