2014年北京高考数学理科试题及答案

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2014年普通高等学校招生全国统一考试

数学（理）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 (1) 已知集合A{x|x22x0}，B{0,1,2}，若AB

(A) {0} (B) {0,1} (C) {0,2} (D) {0,1,2}

(2) 下列函数中，在区间(0,}上为增函数的是

(A) yx1 (B) y=(x1)2 (C) y2x (D) ylog0.5(x1)

x1cos(3) 曲线 ，（为参数）的对称中心

y2sin(A) 在直线y2x上 (B) 在直线y2x上 (C) 在直线yx1上 (D) 在直线yx1上

(4) 当m7,n3时，执行如图所示的程序框图，输出的s值为 (A) 7 (B) 42 (C) 210 (D) 840

(5) 设{an}是公比为q的等比数列，则“q1”是“{an}”为递增数列的 (A) 充分且不必要条件 (B) 必要且不充分条件 (C) 充分且必要条件 (D) 既非充分也非必要条件

开始 输入m,n的值 km,S1 kk1 SSk否 kmn1 是 输出S 结束 xy20(6) 若x,y满足kxy20且zyx的最小值为4，则k的值是

y0(A) 2 (B) 2 (C)

11 (D)  22

(7) 在空间坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,2)，若S1，S2，S3分

别表示三棱锥DABC在xOy，yOz，zOx则坐标平面上的正投影图形的面积，则

(A) S1=S2=S3 (B) S1=S2且S3S1 (C) S1=S3且S3S2 (D) S2=S3且S1S3

(8) 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种．若A同学每科成绩不低于B同学，

且至少有一颗成绩比B高，则称 “A同学比B同学成绩好，”现在若干同学，他们之中没有一个人比另一个人成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。问满足条件的多少学生 (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D ) 5

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 i1 (9) 复数_____ ．

i12

(10) 已知向量a、b满足|a|1，b(2,1)且ab0，则||_____ ．

y2(11) 在设曲线C经过点(2,2)，且x21具有相同渐近线，则C的方程是 ．

4

(12) 若等差数列{an}满足a7a8a90，a7a100，则当n______时，{an}的前 n项和最大．

(13) 把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻 ，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法

有_____ 种．

(14) 设函数 f(x)Asin(x)（A,,是常数，A0,0），若f(x)在区间[性，且f()f(,] 上具有单调

6222)-f()，则f(x)的最小正周期为 ． 36

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 (15)（本小题13分） 如图，在ABC中，B3，AB8，点D在BC边上，且CD=2，cosADC1 7（Ⅰ）求sinBAD．（Ⅱ）求BD，AC的长．

ABDC(16)（本小题13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛相互） 场次 主场1 主场2 主场3 主场4 主场5 投篮次数 22 15 12 23 24 命中次数 12 12 8 8 20 场次 客场1 客场2 客场3 客场4 客场5 投篮次数 18 13 21 18 25 命中次数 8 12 7 15 12 （Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；

（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，另一场不超过0.6

的概率；

（Ⅲ）记x是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命

中次数，比E(X)和x的大小。

(17)（本小题14分）如图，正方形AMDE的边长为2， B，C分别为AM和MD的中点，在五棱锥PABCDE中，F为PE的中点，平面ABC与棱PD，PC分别相较于点G、H．（Ⅰ）求证：AB//FG； （Ⅱ）若PA平面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成的角，并求线段PH的长

(18)（本小题13分）已知函数f(x)xcosxsinx，x[0,]

A

B

C M

E F G H

D

P 2（Ⅰ）求证：f(x)0；（Ⅱ）若a

sinxb在(0,)上恒成立，求a的最大值与b的最小值．

2x

22(19)（本小题14分）已知椭圆C：x2y4．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在椭圆G上，点B在直线y2上，且OAOB，求直线AB与圆x2y22的位置关系，并证明你的结论．

(20)（本小题13分）对于数对序列P(a1,b1)，(a2,b2)，…，(an,bn)， 记T1(P)a1b1,Tk(P)bkmax{Tk1(P),a1a2其中 max{Tk1(P),a1a2ak}(2kn)，

ak}表示Tk1(P)和a1a2ak两个数中最大的数．

（Ⅰ）对于数对序列P(2,5)，(4,1)，求T1(P)，T2(P)；

（Ⅱ）记m为四个数a、b、c、d的最小值，对于两个数对(a,b)，(c,d)组成的数对序列P(a,b)，(c,d)和P'(c,d)，(a,b)，试分别对ma和mb时的情况比较T2(P)和T2(P')的大小；

（Ⅲ）在由5个数对(11,8)，(5,2)，(16,11)，(11,11)，(4,6)组成的有序数对序列中，写出一个数对序

列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值（只需写出结论）。

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2014年普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理）（北京卷）参

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分） （1）C （2）A （3）B （4）C （5）D （6）D （7）D （8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）1 （10）5 x2y21 y2x （12）8 （11）

312（13）36 （14）

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：

（I）在ADC中，因为COSADC431，所以sinADC。

77所以sinBADsin(ADCB)

sinADCcosBcosADCsinB4311333727214（Ⅱ）在ABD中，由正弦定理得

33ABsinBAD143， BDsinADB4378

在ABC中，由余弦定理得

AC2AB2BC22ABBCcosB

1825228549

2所以AC7

（16）（共13分） 解：

（I） 根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场

3，主场5，客场2，客场4.

所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5. （Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，

事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，

事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。 则C=ABAB，A,B。

根据投篮统计数据，P(A)32,P(B). 55 P(C)P(AB)P(AB)  3322 555513 25所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为

13. 25（Ⅲ）EXx.

（17）（共14分） 解：

（I） 在正方形中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE。

又因为AB平面PDE， 所以AB∥平面PDE，

因为AB平面ABF，且平面ABF所以AB∥FG。

（Ⅱ）因为PA底面ABCDE,所以PAAB，PAAE.

如图建立空间直角坐标系Axyz,则

PFEAGHDy平面PDFFG，

zA(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),

BC (1,1,0).

设平面ABF的法向量为n(x,y,z)，则

BCMxnAB0,x0,即 yz0.nAF0,令z1,，则y1。所以n(0,1,1)，设直线BC与平面ABF所成角为a,则

sinacosn,BCnBCnBC1。 2设点H的坐标为(u,v,w).。

因为点H在棱PC上，所以可设PHPC(01),， 即(u,v,w2)(2,1,2).。所以u2,v,w22。

因为n是平面ABF的法向量，所以nAH0，即(0,1,1)(2,,22)0。 解得

2422，所以点H的坐标为(,,).。 3333424()2()2()22 333所以PH

（18）（共13分） 解：

（I）由f(x)xcosxsinx得

f'(x)cosxxsinxcosxxsinx。 因为在区间(0,2)上f'(x)xsinx

0，所以f(x)在区间0,上单调递减。

2

从而f(x)f(0)0。

（Ⅱ）当x0时，“

sinxsinxa”等价于“sinxax0”b”等价于“sinxbx0”“。 xx 令g(x)sinxcx，则g'(x)cosxc，

当c0时，g(x)0对任意 x(0,2)恒成立。

当c1时，因为对任意x(0,

)，g'(x)cosxc0，所以g(x)在区间0, 上单调递减。22

从而g(x)g(0)0对任意x(0,2)恒成立。

当0c1时，存在唯一的x0(0,2)使得g'(x0)cosx0c0。

g(x)与g'(x)在区间(0,2)上的情况如下：

(0,x0) + ↗ x x0 0 (x0,) 2- ↘ g'(x) g(x) 因为g(x)在区间0,x0上是增函数，所以g(x0)g(0)0。进一步，“g(x)0对 任意x(0,2)恒成立”当且仅当g()1c0，即0c，

2222

时，g(x)0对任意x(0, 综上所述，当且仅当c

2)恒成立；当且仅当c1时，

g(x)0对任意x(0,)恒成立。

2 所以，若a

（19）（共14分） 解：

2sinxb对任意x(0,)恒成立，则a最大值为，b的最小值为1. x2x2y21。 （I） 由题意，椭圆C的标准方程为42 所以a4,b2，从而cab2。因此a2,c222222。

故椭圆C的离心率e22c2。 a2（Ⅱ）直线AB与圆xy2相切。证明如下：

设点A,B的坐标分别为(x0,y0)，(t,2)，其中x00。 因为OAOB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t2y0。 x0t2 当x0t时，y0，代入椭圆C的方程，得t2，

2 故直线AB的方程为x2。圆心O到直线AB的距离d 此时直线AB与圆xy2相切。 当x0t时，直线AB的方程为y2222。

y02(xt)， x0t 即(y02)x(x0t)y2x0ty00， 圆心0到直线AB的距离 d2x0ty0(y02)(x0t)222

又x02y04，t22y0故 x0

d2y022x0x0x02y024y04x022224x0x0x08x0162x02422 此时直线AB与圆xy2相切。 （20）（共13分） 解：

（I） T1(P)257

T1(P)1maxT1(P),241max7,6=8 （Ⅱ）T2(P)maxabd,acd T2(P')maxcdb,cab.

当m=a时，T2(P')=maxcdb,cab=cdb

因为cdbcbd，且acdcbd，所以T2(P)≤T2(P') 当m=d时，T2(P')maxcdb,cabcab

因为abd≤cab，且acdcab所以T2(P)≤T2(P')。 所以无论m=a还是m=d，T2(P)≤T2(P')都成立。

（Ⅲ）数对序列P:（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的T5(P)值最小， T1(P)=10， T2(P)=26， T3(P)=42， T4(P)=50， T5(P)=52