(2021年整理)2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

（完整）2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

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绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

注意事项：

1．答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.

2．每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。 ．．．．．．．．．

3．第I卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式

P(AB)P(A)P(B) S4R2

如果事件A、B相互，那么 其中R表示球的半径 P(AB)P(A)P(B) 球的体积公式

3如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么 VR3

4n次重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

kkPn(k)Cnp(1p)nk(k0,1,2,…n)

一．选择题 (1)复数

32i 23i(A)i (B）i （C)12—13i (D) 12+13i

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1．A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算，重点考查分母实数化的转化技巧.

【解析】

32i(32i)(23i)69i4i6i。 23i(23i)(23i)13（2)记cos(80)k,那么tan100

1k21k2kkA。 B。 — C。 D. -

22kk1k1k2。B 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.

【解析】sin801cos2801cos2(80)1k2，所以tan100tan80

sin801k2.

cos80ky1,（3)若变量x,y满足约束条件xy0,则zx2y的最大值为

xy20,（A）4 (B)3 (C）2 （D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.

【解析】画出可行域（如右图)，由图可知，当直线l经过点A(1，-1)时，z最大，且最大值为zmax12(1)3。

y A xy0

yx l0:x2y01 O A 2 x xy20 2 （完整）2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

(4）已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5，a7a8a9=10，则(A） 52 (B) 7 （C） 6 （D) 42 a4a5a6=

4。A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想。

【解析】由等比数列的性质知a1a2a3(a1a3)a2a235,a7a8a9(a7a9)a8a8310,所以

a2a85013，

353163所以a4a5a6(a4a6)a5a(a2a8)(50)52 (5)(12x)3(13x)5的展开式中

x的系数是

(A) -4 (B） —2 （C) 2 （D） 4

5。B 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.

【解析】(12x)3(13x)5(16x12x8xx)(13x)5

故(12x)3(13x)5的展开式中含

x的项为1C53(3x)312xC5010x12x2x，所以x

的系数为—2.

（6)某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从选3门，若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 （A) 30种 （B）35种 （C）42种 （D)48种

6。A【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.

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【解析】：可分以下2

种情况：(1)A类选修课选1门,B类选修课选2门,有C31C42种

1不同的选法；（2)A类选修课选2门，B类选修课选1门,有C32C4种不同的选法.1181230种. 所以不同的选法共有C31C42+C32C4(7）正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 A

23 B

33 C2 D

36 37.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D到平面ACD1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体D1

C1

体现。

A1

D O B1

C B

A

【解析】因为BB1//DD1,所以BB1与平面

1ACD1所成角和DD1与平面ACD1所成角相等，设

111DO⊥平面ACD1，由等体积法得VDACDVDACD，即SACD1DOSACDDD1.设DD1=a,

33则SACD11133211ACAD1sin60(2a)2a，SACDADCDa2. 222222SACDDD1a33所以DOa,记DD1与平面2SACD133aACD1所成角为,则sinDO3，所

DD13以cos6. 312（8）设a=log32,b=In2,c=5，则

A a〈b〈c Bb〈c〈a C c8.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用。 【解析】 a=log32=

11, b=In2=，而log23log2e1，所以ac=5=121，而52log24log23，所以c36 （B) （C) 3 （D) 6 229.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力。

【解析】不妨设点P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

a2a2|PF1|e[x0()]aex012x0,|PF2|e[x0)]ex0a2x01.由余弦定理得

cc|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(12x0)2(2x01)2(22)20cos∠F1PF2=,即cos60，

2|PF1||PF2|2(12x0)(2x01)2解得x06532,所以y02x0 1，故P到x轴的距离为|y0|222（10）已知函数F(x)=｜lgx｜，若010.A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得a+2ba命题者的用苦良心之处。

【解析】因为 f(a）=f(b），所以｜lga|=|lgb｜,所以a=b(舍去），或b12,所以a+2b=a aa222,从而错选A,这也是a2又0a2减函数，所以f(a)>f(1)=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）。

1（11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线,A、B为俩切点,那么PA•PB的最小值为

(A） 42 （B)32 （C) 422 （D）322 （完整）2010年高考全国卷1理科数学试题答案及解析

11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法，同时也考查了考生综合运的能力及运算能力.

【解析】如图所示：设PA=PB=x(x0),APB=2,PO=1x2,sin11x2用数学知识解题

A O P ∠APO=，则∠

2，

B 2x2(x21)x4x2x4x2PA•PB|PA||PB|cos2=x(12sin)==2,令PA•PBy，则y2，即

x21x1x1x4(1y)x2y0，由x2是实数，所以

[(1y)]241(y)0，y26y10，解得y322或y322。故

(PA•PB)min322.此时x21。

(12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积的最大值为 (A） 234383 (B) (C) 23 (D） 33312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离，通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD,使AB⊥平面PCD，交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

43112. V四面体ABCD22hh,当直径通过AB与CD的中点时,hmax2221223,故Vmax3323

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2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修II）

第Ⅱ卷

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注意事项:

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0。5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目. 2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域 内作答，在试题卷上作答无效. ．．．．．．．．． 3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上． （注意：在试题卷上作答无效)

(13）不等式2x21x1的解集是 。

13。[0，2］ 【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路,也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致. 2x21(x1)2,解析：原不等式等价于解得0≤x≤2。

x103（14）已知为第三象限的角,cos2,则tan(2) .

54114．【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正

7切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能。

3【解析】因为为第三象限的角,所以2(2(2k1),2(2k1))(kZ)，又cos2〈0,

54所以2(2(2k1),2(2k1))(kZ)，于是有sin2，

254tantan21sin2431. 4tan2，所以tan(2)4cos23471tantan2143(15)直线y1与曲线yx2xa有四个交点，则a的取值范围是 。

515。(1,)【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结

4合的数学思想.

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【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线y1与曲线yx2xa,观图可知，a的取值必

a15须满足4a1,解得1a。

1441x 2a y x1 2yx2xay=1 x (16）已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端的延长线交C于点D，且BF2FD,则C的离心率为 .

216.

3O 点，线段BFy4a1 4【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析】如图，|BF|b2c2a, 作DD1y轴于点D1,则由BF2FD,得

|OF||BF|233,所以|DD1||OF|c，

|DD1||BD|322 yB O D1 F D xa23c3c23c即xD，由椭圆的第二定义得|FD|e()a

c22a23c2又由|BF|2|FD|,得c2a，整理得3c22a2ac0.

a两边都除以a2，得3e2e20，解得e1(舍去)，或e2。 3三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤． （17)（本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．．．

已知ABC的内角A,B及其对边a，b满足abacotAbcotB，求内角C．

17。 【命题意图】本小题主要考查三角恒等变形、利用正弦、余弦定理处理三角形中的边

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角关系，突出考查边角互化的转化思想的应用.

（18)（本小题满分12分)（注意:在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;

(II）记X表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求X的分布列及期望． 18。 【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、事件、相互试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想.

(19）（本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．

如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD,AB//DC，ADDC,AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .

(Ⅰ)证明:SE=2EB；

(Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 。

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。

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(20）(本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．已知函数f(x)(x1)lnxx1.

（Ⅰ）若xf'(x)x2ax1,求a的取值范围; (Ⅱ）证明:(x1)f(x)0 。

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想。

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效) ．．．．．．．．．

已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于

x轴的对称点为D 。

（Ⅰ)证明：点F在直线BD上；

8(Ⅱ)设FAFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分）(注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．已知数列an中，a11,an1c1 . an51(Ⅰ）设c,bn,求数列bn的通项公式；

2an2（Ⅱ）求使不等式anan13成立的c的取值范围 .

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对

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函数与方程思想、化归与转化思想的考查。