2014年北京高考(文科)数学试题及答案(完美版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（文）（北京卷）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB（ ）

（A）0,1,2,3,4 （B）0,4 （C）1,2 （D）3 （2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

（A）ye （B）yx （C）ylnx （D）yx （3）已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

（A）5,7 （B）5,9 （C）3,7 （D）3,9 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）1 （B）3 （C）7 （D）15

（5）设a、b是实数，则“ab”是“a2b2”的（ ）

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件 （6）已知函数fxx开始k=0，S=0否k<3是S=S+2k结束k=k+1输出S6log2x，在下列区间中，包含fx零点的区x间是（ ）

(A)0,1 (B)1,2 (C)2,4 (D)4,

（7）已知圆C:x3y41和两点Am,0，

22Bm,0m0，

若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（ ） （A）7 （B）6 （C）5 （D）4 （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条0.8件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系0.7ppat2btc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根

据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A）3.50分钟 （B）3.75分钟

0.5O345t1

（C）4.00分钟 （D）4.25分钟

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若xii12ixR，则x . （10）设双曲线C的两个焦点为2,0，

2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为 .

（11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .

（12）在ABC中，a1，b2，cosC1，则c ；42sinA .

y1（13）若x、y满足xy10，则z3xy的最小值

xy10为 .

2正（主）视图111侧（左）视图俯视图（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，

每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 原料A 原料B

则最短交货期为 工作日.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 （15）（本小题13分）

已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420， 且bnan为 等比数列.

（Ⅰ）求数列an和bn的通项公式； （Ⅱ）求数列bn的前n项和.

粗加工 精加工 9 6 15 21 2

（16）（本小题13分）

函数fx3sin2x6的部分图象如图所示.

（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中x0、y0的值； （Ⅱ）求fx在区间2,12上的最大值和最小值.

3

yy0Ox0x

（17）（本小题14分）

如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，

AECABBC，AA1AC2，

E、F分别为A1C1、BC的中点.

（Ⅰ）求证：平面ABE平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F//平面ABE； （Ⅲ）求三棱锥EABC的体积.

1A4

1B1CBF

（18）（本小题14分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计

（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读

时间的平均数在第几组（只需写出结论）

（19）（本小题14分）

分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100

O24681012141618阅读时间a0，2 2，4 4，6 6，8 10 8，12 10，14 12，16 14，18 16，

b 频数 组距

5

已知椭圆C：x2y4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y2，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.

226

（20）（本小题13分）已知函数f(x)2x3x. （Ⅰ）求f(x)在区间[2,1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？（只需写出结论）

32014年普通高等学校招生全国统一考试

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数 学（文）（北京卷）答案及解析

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB（ ）

（A）0,1,2,3,4 （B）0,4 （C）1,2 （D）3 【答案】C

【解析】因为AB{1,2}，所以选C.

【考点】本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答集合题目的关键. （2）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）

（A）ye （B）yx （C）ylnx （D）yx 【答案】B

【解析】对于选项A，在R上是减函数；选项C的定义域为(0,)；选项D，在(,0)上是减函数，故选B.

【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基础题，难度不大. （3）已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

（A）5,7 （B）5,9 （C）3,7 （D）3,9 【答案】A

x【解析】因为2a(4,8)，所以2ab(4,8)(1,1)(5,7)，故选A.

【考点】本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题

（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）

（A）1 （B）3 （C）7 （D）15 【答案】C

【解析】当k=0时，S1；当k=1时，S123； 当k=2时，S347；当k=3时，输出S7，故选C.

【考点】本小题主要考查程序框图的基础知识，难度不大，程序框图是高考新增内容，是高考的重点知识，熟练本部分的基础知识是解答的关键. （5）设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（ ）

(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件

22开始k=0，S=0否k<3是S=S+2k结束k=k+1输出S8

【答案】D

【解析】若a0,b2，则ab，故不充分；

若a2,b0，则a2b2，而ab，故不必要，故选D.

【考点】本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键. （6）已知函数fx226log2x，在下列区间中，包含fx零点的区间是（ ） x(A)0,1 (B)1,2 (C)2,4 (D)4, 【答案】C

【解析】因为f(2)410,f(4)320，所以由根的存在性定理可知，选C. 2【考点】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.

（7）已知圆C:x3y41和两点Am,0，Bm,0m0，

22若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（ ） （A）7 （B）6 （C）5 （D）4 【答案】B

【解析】由题意知，点P在以原点(0,0)为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两个圆有交点即可，所以m15，故选B.

【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. （8）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工

时间t（单位：分钟）满足的函数关系patbtc（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） （A）3.50分钟 （B）3.75分钟 （C）4.00分钟 （D）4.25分钟 【答案】B

【解析】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数0.80.70.5p2patbtc的图象上，

29a3bc0.7所以16a4bc0.8，解得a0.2,b1.5,c2.

25a5bc0.5所以p0.2t1.5t20.2(t2O345t1521315)，当t=3.75时，p取最大值，故选B.

44169

【考点】本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）若xii12ixR，则x . 【答案】2

【解析】由题意知：xi112i，所以由复数相等的定义知x2

【考点】本小题主要考查复数相等的定义、复数的运算，难度不大，复数是高考的重点，年年必考，熟练复数的基础知识是解答好本类题目的关键. （10）设双曲线C的两个焦点为2,0，【答案】xy1 【解析】由题意知：c方程为xy1.

【考点】本小题驻澳考查双曲线方程的求解、a,b,c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力. （11）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 . 【答案】22

【解析】由三视图可知：该几何体为一条侧棱垂直底面的三棱锥，底面为边长为2的等边三角形，棱锥

22的高为2，所以最长的棱长为2222.

2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为 .

222,a1，所以b2c2a21，又因为双曲线的焦点在x轴上，所以C的

22【考点】本小题主要考查立体几何的三视图，考查同学们的空间想象能力，考查分析问题与解决问题的能力. （12）在ABC中，a1，b2，cosC21，则c ；4sinA .

【答案】2，

2正（主）视图111侧（左）视图15 8222俯视图【解析】由余弦定理得：cab2abcosC52214，故c2；因为4cosA154417，所以sinA.

82228【考点】本小题主要考查解三角形的知识，考查正弦定理，三角函数的基本关系式等基础止水，属中低档题目.

10

y1（13）若x、y满足xy10，则z3xy的最小值为 .

xy10【答案】1

【解析】画出不等式组表示的平面区域，可知区域为三角形，平移直线z两条直线y1与xy10的交点(0,1)时，z取得最小值1.

【考点】本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题，正确画图与平移直线是解答这类问题的关键.

（14）顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，

每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 原料A 原料B

则最短交货期为 工作日. 【答案】42

【解析】因为第一件进行粗加工时，工艺师什么都不能做，所以最短交货期为6152142天. 【考点】本小题以实际问题为背景，主要考查逻辑思维能力，考查分析问题与解决问题的能力. 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤。 （15）（本小题13分）

已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420， 且bnan为 等比数列.

（Ⅰ）求数列an和bn的通项公式； （Ⅱ）求数列bn的前n项和. （15）（共13分）

解：（Ⅰ） 设等差数列an的公差为d，由题意得d所以ana1n1d3nn1，2，设等比数列bnan的公比为q，

a4a11233 333xy可得，当直线经过

粗加工 精加工 9 15 21 6 ．

11

由题意得q3b4a420128，解得q2． b1a143所以bnanb1a1qn12n1． 从而bn3n2n1n1，2， ．

（Ⅱ）由⑴知bn3n2n1n1，2，12n3n1数列3n的前n项和为nn1，数列2的前n项和为1×2n1．

1223所以，数列bn的前n项和为nn12n1．

2（16）（本小题13分）

函数fx3sin2x的部分图象如图所示.

6（Ⅰ）写出fx的最小正周期及图中x0、y0的值； （Ⅱ）求fx在区间 （16）（共13分）

解：（Ⅰ） fx的最小正周期为π

x07π． 6yy0,上的最大值和最小值. 212Ox0xy03

ππ5ππ（Ⅱ） 因为x，，所以2x，0．

12662于是当2x当2x

（17）（本小题14分）

ππ0，即x时，fx取得最大值0； 612πππ，即x时，fx取得最小值3．

362如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，

A1EB1C1ABBC，AA1AC2， E、F分别为A1C1、BC的中点.

（Ⅰ）求证：平面ABE平面B1BCC1； （Ⅱ）求证：C1F//平面ABE；

AB12

CF

（Ⅲ）求三棱锥EABC的体积. （17）（共14分）

解：（Ⅰ）在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC．

所以BB1AB． 又因为ABBC． 所以AB平面B1BCC1． 所以平面ABE平面B1BCC1． （Ⅱ）取AB中点G，连结EG，FG．

因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 1所以FG∥AC，且FGAC．

2A1EB1C1因为AC∥AC11，且ACAC11， 所以FG∥EC1，且FGEC1． 所以四边形FGEC1为平行四边形． 所以C1F∥EG．

又因为EG平面ABE，C1F平面ABE， 所以C1F∥平面ABE．

（Ⅲ）因为AA1AC2，BC1，ABBC，

所以ABAC2BC23． 所以三棱锥EABC的体积

1113． VS△ABCAA13123323ACGBF（18）（本小题14分）

从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：

13

组号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 合计

分组 频数 6 8 17 22 25 12 6 2 2 100 0，2 2，4 4，6 6，8 10 8，12 10，14 12，16 14，18 16，

ba 频数 组距

O24681012141618阅读时间（Ⅰ）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率； （Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值；

（Ⅲ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周课外阅读

时间的平均数在第几组（只需写出结论） （18）（共13分）

解：（Ⅰ）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有62210名，所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是

1100.9． 100从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为0.9． （Ⅱ）课外阅读时间落在组[4，6)的有17人，频率为0.17，所以

a频率0.170.085． 组距2课外阅读时间落在组[8，10)的有25人，频率为0.25， 所以b频率0.250.125． 组距2（Ⅲ）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组． （19）（本小题14分）

已知椭圆C：x2y4. （Ⅰ）求椭圆C的离心率；

（Ⅱ）设O为原点，若点A在直线y2，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值. （19）（共14分）

2214

解：（Ⅰ）由题意，椭圆C的标准方程为x24y221．

所以a24，b22，从而c2a2b22．

因此a2，c2．故椭圆C的离心率ec2a2． （Ⅱ）设点A，B的坐标分别为t，2，x0，y0，其中x0≠0．

因为OAOB， 所以OAOB0， 即tx02y00，解得t2y0x． 0又x202y204，所以 AB2x220ty02

2x2y020xy02

0x2y2004y20x24

022x24x024x002x24 0x2082x0x2240≤4． 0因为x208222x2≥40x0≤4，且当x04时等号成立，所以AB2≥8． 0故线段AB长度的最小值为22．

（20）（本小题13分）已知函数f(x)2x33x. （Ⅰ）求f(x)在区间[2,1]上的最大值；

（Ⅱ）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线yf(x)相切，求t的取值范围；

（Ⅲ）问过点A(1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线yf(x)相切？（只需写出结论）（20）（共13分）

解：（Ⅰ） 由fx2x33x得fx6x23.

令fx0，得x22或x22. 因为f210，f2f22，222，f11 15

21上的最大值为f所以fx 在区间2，22 . （Ⅱ） 设过点P1，t的直线与曲线yfx相切于点x0，y0，

323x0，且切线斜率为k6x03， 则y02x02所以切线方程为yy06x032因此ty06x031x0 . 326x0t30. 整理得4x0xx，

0设gx4x36x2t3，

则“过点P1，t存在3条直线与曲线yfx相切”等价于“gx有3个不同零点”. gx12x212x12xx1.

gx与gx的情况如下：

x (，0)  0 0 t3 (0，1)  1 0 t1 (1，)  g(x) g(x) ↗ ↘ ↗ 所以，g(0)t3是g(x)的极大值，g(1)t1是g(x)的极小值． 1和(1，当g(0)t3≤0，即t≤3时，此时g(x)在区间，)上分别至多有1个零点，所以g(x) 至多有2个零点．

当g(1)t1≥0，即t≥1时，此时g(x)在区间(，0)和0，上分别至多有1个零点，所以g(x) 至多有2个零点．

当g00且g10，即3t1时，因为g1t70，g2t110，所以gx 分

1和1，2上恰有1个零点.由于gx在区间，0和1，上单调，所以别在区间1，0，0，gx分别在区间，0和1，上恰有1个零点.

综上可知，当过点P1，t存在3条直线与曲线yfx相切时，t的取值范围是3，1 .

（Ⅲ） 过点A1，2 存在3条直线与曲线yfx相切；

10 存在2条直线与曲线yfx相切； 过点B2，过点C0，2 存在1条直线与曲线yfx相切.：

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