高考数学理科全国卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试题卷共9页，24题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x|x22x30}，B=x2x2，则AB=（ ） A.[-2,-1] B.[-1,2） C.[-1,1] D.[1,2） (1i)32.=（ ） (1i)2A.1i B.1i C.1i D.1i 3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 4.已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ） A.3 B.3 C.3m D.3m 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ） 1357A. B. C. D. 88886.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为（ ） 7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=（ ） A.2016715 B. C. D. 35281sin8.设(0,)，(0,)，且tan，则（ ） cos22A.32 B.22 C.32 D.22 xy19.不等式组的解集记为D.有下面四个命： x2y4p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2, p3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1. 其中真命题是（ ） A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3 10.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交uuuruuur点，若FP4FQ，则|QF|=（ ） A.75 B. C.3 D.2 2211.已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为（ ） A.（2，+∞） B.（-∞，-2） C.（1，+∞） D.（-∞，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（ ） A.62 B.42 C.6 D.4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。 二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13.(xy)(xy)8的展开式中x2y2的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . ruuur1uuuruuuruuuruuu15.已知A，B，C是圆O上的三点，若AO(ABAC)，则AB与AC的夹角为 . 216.已知a,b,c分别为ABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an0，anan1Sn1，其中为常数. (Ⅰ)证明：an2an； （Ⅱ）是否存在，使得{an}为等差数列？并说明理由. 18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： (Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(,2)，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)； （ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间（,）的产品件数，利用（i）的结果，求EX. 附：150≈. 若Z～N(,2)，则P(Z)=，P(2Z2)=. 19. (本小题满分12分)如图三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C. (Ⅰ) 证明：ACAB1； （Ⅱ）若ACAB1，CBB160o，AB=BC 求二面角AA1B1C1的余弦值. 3x2y220. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：221(ab0)的离心率为，F2ab是椭圆的焦点，直线AF的斜率为23，O为坐标原点. 3 (Ⅰ)求E的方程； （Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程. bex121. (本小题满分12分)设函数f(x0aelnx，曲线yf(x)在点（1，f(1)处的切线为xxye(x1)2. (Ⅰ)求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)1. 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。 22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE .(Ⅰ)证明：∠D=∠E； （Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 x2tx2y21，直线l：已知曲线C：（t为参数）. 49y22t (Ⅰ)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为30o的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. 24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 11若a0,b0，且ab. ab (Ⅰ) 求a3b3的最小值； （Ⅱ）是否存在a,b，使得2a3b6？并说明理由.