信号与系统复习题(答案全)

性的)、 时变的 (时变的、时不变）、 稳定的 (稳定的、非稳定的).

2、 非周期、连续时间信号具有 连续 、非周期频谱；周期、连续时间信号具有离散、非周期 频谱；

非周期、离散时间信号具有 连续 、周期频谱；周期、离散时间信号具有离散、 周期 频谱。 3、 信号f(t)的占有频带为0-10KHz,被均匀采样后,能恢复原信号的最大采样周期为 5×10—5 s 。 4、 f(t)Sa(100t)是 能量信号 （功率信号、能量信号、既非功率亦非能量信号）。 5、 f(t)2cos(t)是 功率信号 (功率信号、能量信号、既非功率亦非能量信号)。

6、 连续信号f(t）=sint的周期T0= 2π ,若对f（t）以fs=1Hz进行取样，所得离散序列f(k)=

sin(k） ，该离散序列是周期序列？ 否 。

27、 周期信号f(t)sin(n/2)j2nte，此信号的周期为 1s 、直流分量为 /2 、频率nn为5Hz的谐波分量的幅值为 2/5 。 8、 f (t) 的周期为0。1s、傅立叶级数系数F05F3F*33F5F*52j、其余为0。试

写出此信号的时域表达式f (t） = 5 + 6 cos （ 60 t ) - 4 sin （100  t ) . 9、 f (k） 为周期N=5的实数序列，若其傅立叶级数系数F502,F511ej25j25

F521ej45、 则F5 （3 )= F521e2j45 、F5 （4 )= F511e 、F5 （5 ）

jnk1422224= 2 ；f(k） =F5ne51.62cos(k35.9)0.62cos(k72.1) 。 5n055555。3k

10、 11、 12、

离散序列f(k） = e j 0的周期N 不存在 。

离散序列f （k) = cos （0。3πk)的周期N= 20 . 若有系统y(t)te(tx)fx2dx,则其冲激响应h(t) e(t2)t2 。

13、

若有系统y(t)tftdt,则其h(t) t 、H(j) 1 。 j14、

若有系统y(t)df(t)，则其h(t) 't 、H(j)j . dt1

15、

对信号f(t)Sa(100t)均匀抽样时,其最低抽样频率fs2 200 。

16、

e(s2)22(t1)t1 。 已知F(s)，其原函数f(t) ees2若线性系统的单位阶跃响应g (t) = 5e - t （t），则其单位冲激响应h (t） = 5(t) – 5e - t (t） 。 离散LTI系统的阶跃响应g（k)=0。5k(k)，则其单位样值响应h(k) = 0.5 k（k）— 0。5 (k-1

）

17、 18、

（k-1）. 19、

现有系统冲激函数h(t)5e3tt，其频响特性H (jω） = 不存在 。

3t20、 现有系统冲激函数h(t)2e21、 22、

t,其频响特性H(jω）= 2/（3+jω) 。

某LTI系统的H(j)j，若输入f(t)cos(2t)，则系统的输出y(t) 2cos(2t+π/2）。 某LTI系统的冲激响应为h(t)tett，系统的频率响应H(j) 1－12cos(t45)

1/(1+jω） 。 若输入f(t)2cos(t)，则输出y(t)23、 某LTI系统的H(j)j，若输入f(t)2cos(2t),则输出y(t) 2cos（2t+π/2） 。 24、 25、 26、 27、

因果系统H(z)zj的频率响应特性H(e) 不存在 。

z21.5z0.36设离散因果系统H(z)z现有系统函数H(s)系统传递函数H(s)z21.2z0.35，则其阶跃响应的终值g() 20/3 。 s,其频响特性H (jω）= 不存在 。 2s3s2Kps2s22s0,则使系统稳定的α的取值范围为 α〉 0 。 428、

1j已知f （t)F(jω),则f (4—3t）的傅立叶变换为 F(j)e3 。

3329、

已知f(t)F(j)，则 tdFjdf(t) 的傅立叶变换为 -F(j) 。

ddt30、

 -j

信号e 2 t  （ t—1)的傅立叶变换式为 e 2 e 。 信号2 k （k—3)的DTFT为 8e- j3

。

2

31、

抽样信号Sa（t）的傅立叶变换为

11. g4222232、

以10Hz为抽样频率对 Sa（t）进行冲激抽样fstkSa0.2kt0.1k,则fs

（t） 的傅立叶变换为Fs5kk202k202 .

2k0.22k0.2.

33、 f （k） = Sa (0.2k)，则DTFT[f (k)］5k34、

已知f (t）F(ω），则f （t） cos （200t) 的傅立叶变换为 ［F（ω+200）+ F（ω—200）]/2 。

35、

已知周期信号fT (t） =

Fnejn2tT，则其傅立叶变换为 2nFn(n2) 。 Td36、 37、

若LTI系统无传输失真，则其冲激响应

h(t) k（t—td）;其频率响应H(jω) =kejt.

单位阶跃序列的卷积和 (k) *  (k） = （k+1）(k) 。

38、 已知时间连续系统的系统函数有极点p1,2j0,（,0均为正实数)，零点z = 0,该系

统 为 带通 滤波器。

z239、 已知信号f(k)(1),则其Z变换为F(z) 2 。

z1i0ki40、

k(k4) 1 。

jtedt 2() 。 41、

－42、 若线性系统的单位冲激响应h (t） = e - t （t），则其单位阶跃响应g （t) = （1- e - t ）（t） . z2143、 已知X(z)2,若收敛域为|Z｜>1,x (k) = 2 （k)+4 (k) —5 (0。5） k （k） ，z1.5z0.5若收敛域为0.5<｜Z｜〈1，x （k） = 2 （k) - 4 （-k—1） -5 (0.5） k (k） 。

3

44、 已知信号f(t)tenat(t),其拉普拉斯变换和收敛域为F(s)n!san1 .

45、 信号f（t) 的频率上限为100KHz,信号f1（t）＝3f (t—3)的最小采样频率为 200KHz 。 46、 信号f(t） 的频率上限为100KHz，信号f1（t）＝3f (t-3)＊f (t)的最小采样频率为 200KHz 。

s2147、 已知F(s)2，则f(0) —2 ，f() 不存在 。

s2s348、 若H(s)6，则阶跃响应g（t)的初值g （0+) = 0 ：终值g （∞)= 不存在。 s23s2d2r(t)dr(t)de(t)34r(t)49、 已知系统描述2，且e(t)cos(t)(t)，r(0)0 2dtdtdtr(0)1，则r(0) 0 ，r'(0) 1.5 .

d2r(t)dr(t)de(t)r(0)0, 34r(t)50、 已知系统描述2，且，e(t)sin(t)(t)2dtdtdtr(0)1，则r(0) 0 ，r'(0) 1 。

i2i2 4  ( k-2 ) 。 2  ( t - /6 ) ; 4sin()d6it51、

k52、

(t4421)(t5)(t)(t2)dt= 6.;i2i2ii4 20 . i2553、 已知f (t） =  (t—1) — （t-3), x (t） = δ （t-3）,则f（t）*x （t) =  (t-4) - (t-6） 。 54、 多级子系统级(串）联时，系统冲激响应是 子系统冲激响应的卷积 .

155、 已知f(t)F(ω），以Ts为间隔进行冲激抽样后的频谱为： Fs(） =

Ts离散信号f （kTs ) 的DTFT为FekF(k2); TsFjs/Ts

56、 写出信号f (t) = 10 +2cos (100t+/6)+ 4cos(300t+/3)经过截止频率150 rad s—1的理想低通滤波

器H(j)＝5G300(）e - j2ω后的表达为: f (t) = 50 +10cos [100（t - 2）+ /6] 。

57、 已知信号f(t)1sin(6t)cos2(20t)。能够无失真地传输此信号的理想低通滤波器的频率特

4

性H(j)= kG2c（)e – j td ，k、td为常数、c > 40 rad/s 。

58、 理想低通滤波器： 截止频率50Hz、增益5、延时3。 则其频响特性H(jω）= 5G 2（)e – j

3

。

59、 f （t) = 1 +2 Sa (50t)+ 4 cos （3t+/3） + 4 cos （6t+/3)通过理想低通滤波器后的响

应为y（t) = 10+20 Sa［ 50 （t —6)］ + 40 cos [3 （t—6）+/3 ］。请写出此想低通滤波器的频率响应特性 H （j） = 10G2（）e – j6 ，600 〉 〉 3 rad / s 。 60、 序列x (k) = 0。5 k (k） + 0。2 k(—k—1)的Z变换为 不存在 。

16z5,61、 f(k)的Z变换为F(z)z0.50.5Z,则f(k) 16 (0.5)(k+4) (k+4） 。

62、 求x (n） = 2 δ (n+2) +δ (n） + 8δ （n—3）的z变换X(z) = 2 Z 2+1+8 Z - 3 ， 和收敛域0Z. 63、 求x （n） = 2n， —2〈 n 〈 2 的z变换X（z)并注明其收敛域。X（z) = — 2 Z +2 Z — 1 ，

0Z。

、 判断所列系统是否为线性的、时不变的、因果的？ 1） r （t) = d  (t)/ d t (线性的、时不变

的、因果的; 2) r （t) = sin(t） (1—t） 线性的、时变的、非因果的; 3） y(n) = ［x（n) + x （n-1） + x (n+1)］/3； （线性的、时不变的、非因果的) ；4） y（n) = ［x（n)]2 （非线性的、时不变的、因果的)。

j4e65、 已知滤波器的频率特性H(j)04rad/s， 输入为

4rad/sf(t)2cos(t)0.2cos(3t/6)0.1cos(5t/3)。写出滤波器的响应

y(t)83cos(t1)0.2cos(3t63)。问信号经过滤波器后是否有失真？（有）若有

失真，是幅度失真还是相位失真?或是幅度、相位皆有失真？(幅度失真)

66、

已知系统的频率特性

5ej2,0H(j)， 输入为j25e,0f(t)2cos(t)0.2cos(3t)0.1cos(5t)。

（1）求系统响应y(t)；(2 ） 问信号经过系统后是否有失真？若有失真，是幅度失真还是相位失

5

真？或是幅度、相位皆有失真？

解：(1)y(t)105cos(t2)cos(3t2)0.5cos(5t2) （2)信号经过系统后有失真。

解:(1)y(t)105cos(t2)cos(3t2)0.5cos(5t2) (2）信号经过系统后有失真。

H(j)5，故幅度不失真；()2,0，不与ω成正比，故有相位失真.。

2,0ej1kj

67、 时间离散系统单位样值响应h(k)()k,其频响特性H (e ） = .

j19e968、 时间离散系统单位样值响应h(k)(3)k,其频响特性H （e j） = 不存在 .

k69、 若系统的输入f （t)、输出y（t) 满足y(t)4e3tf2t，则系统为 非线性的 （线性的、非线性的）、 时变的 (时变的、时不变）、 稳定的 （稳定的、非稳定的）. 70、

冲激响应h(t)tt，阶跃响应g(t)

(t)t(t)；系统为 不稳定 （稳定、

不稳定）。

71、 离散系统ykfk1fkfk1，单位序列响应h(k)(k1)(k)(k1) ;

频率响应特性H(e) 72、

卷积和

jej1ej;系统函数H(z)z11z。

kk (k1)(k)；卷积积分t1t2

(t3)(t3) 。

73、 f(t) 的周期为0.01s、傅立叶级数系数F05F1F*11F2F*2j、其余为0。

试写出f(t)= 52cos(200t)2sin(400t)，其平均功率为 29 。

243z6174、 已知信号f(k)(k5)，其z变换为、收敛域为 1/3z。

z1/3375、 已知f（t）F（ω），以0。1s为间隔进行冲激抽样后的频谱为: 1076、 f (t) 的周期为0。1s、傅立叶级数系数F056

kkF20k。

F1F*13F3F*322j、其余为0。

试写出此信号的三角级数表达式f (t ） = 56cos20t4cos60t4sin60t。 77、 系统函数H(s)1,则阶跃响应g(t)的初值g (0+) = 0 ： 终值g （∞） = 1/2 。

s23s278、 已知系统构成如图

e(t) A(t) r（t） B(t) 各子系统的冲激响应分别为A（t） = δ(t-1）, B(t) =（t） —  (t—3)， 则总的冲激响应为 （t)

—  （t—3） + （t — 1） —  (t — 4） .

79、

系统如图所示。若f(t)(tnT), n0,1,2,......,则零状态响应y(t）= （t） 。

n0

二．计算题

f (t) T - 1 tr()dy (t) 1、已知因果离散系统的系统函数零（o）、极点（X）分布如图所示，且当z时，Hz1。

求：1)系统函数H(z）;2）单位样值响应h(k)； 3）频率响应特性Hej; 4) 粗略画出0 〈θ< 3π

的幅频响应特性曲线, 并指出该系统的滤波特性(低通、高通、带通、带阻等）。

Im [z] 

- 1/3 1/4 1/2 Re [z]

× × 解:（1）由零极点图得:

zz1/3 HzK

231zz48由 z时，Hz1 得：Hzzz1/3

231zz487z10z71k101k(2) Hz， hkkk

3z13z1343242(3）系统函数极点在单位圆内，故系统为稳定系统，HeHz|jzejejej1/3e1j4e1j2

（4）0,Hej323.56;9,Hej;7

,Hej160.36. 45

因此，该系统为低通滤波器.

22、求f1(t)Sa(20t),f2(t)f1(3t),f3(t)f1(0.5t),f4(t)5f1(t1)，的柰奎斯特抽样频

率f s1、 f s2、f s3、f s4. 解： 由抽样定理, fs2fm.

f1(t)Sa(20t)F1()1G40(),201m20,f1m10Hz,fs120Hz;

f2(t)f12(3t)F2()111F1()F1()23333f2m23f1m60Hz,fs2120Hzf3(t)f1(0.5t)F3()2F1(2)， f3m0.5f1m5Hz,fs310Hz；

f4(t)5f1(t1)F4()5F1()ej， f4mf1m10Hz,fs420Hz

3、已知H(s)1； y (0—)=2;激励f (t) = sin（3t）s1（t）， 试求零输入响应yx (t)、零状态响

应yf (t) , 并指出瞬时响应ytr （t）和稳态响应yss （t)。

解：(1）yxtCe，由yx (0+）= y （0-)=2得：C=2， 故：零输入响应为:yxt2e,t0。

tt （2) Fs3，YfsHsFs s29Yfs130.30.31s0.33s0.10.3

s1s29s1s29s1s29s29t yft0.3et0.1sin3tt0.3cos3tt

该系统为稳定系统，故： ytrt0.3e

tt,ysst0.1sin3tt0.3cos3tt

8

k1k14、求下列离散信号fk2sincos

63的周期N和傅里叶系数FNn。（和作业题P210 4。53（1）类似）

jkt5、已知如图所示LC电路的端电压为周期信号ft2Sake4。

2k2求：（1）f （t)的周期T和f (t） 的直流、一次和二次谐波分量；

(2）电流i （ t ) 的直流、一次和二次谐波分量;

（3)大致画出t = 0到T的f （t ） 的波形。

+

1 H i (t) f (t)

1 jk4t(1)ft2Sake24Sa2kcoskt，T2/8

2244kk1216直流：C02； 一次谐波： 4Sa2cost2cost； 244二次谐波： 4Sa2cost02（2） Hj1;1j0;Hj1

4;Hj10.793801j0.25

i ( t) 的直流、 一次谐波和二次谐波波分量分别为：2， 1.28cost－380， 0.46、计算f （t） = ［ （t + /4） –  (t – /4）］﹡［cos t  （sin t）] 并画出其波形。（式中 “*”为卷积符号）

costsintcost

n1cosn1ntntntncosnncosnn

f(t)g/2tn1tnnnn1g/2tn

f(t) t 9 

7、已知某周期信号的傅立叶变换F()求此周期信号的平均功率。

sin(n/2)(n/2)， nnsin(n/2)2F()(n/2)n4nsin(n/2)(n/2)n/2nf(t)1g2(tn4)2nsin(t)tp1TT2f2(t)dtT2112(1/2)dt1481

8、求信号f(t)f(t)的傅立叶变换F(j)并求该信号的能量Ef2tdt。

sin(t)Satg2 t2122 EftdtFjd2 9、f(t)kcos[(t3k]（1）画出此信号在- 5< t <5区间的波形;t3kt13k。

（2）求此信号的指数形式和三角形式的傅立叶级数展开式。

令f0(t)cos(t)(t)(t1)，则

f(t)f0(t kT)，kZ,T3 为一周期T3的信号，其在5t5区间的波形为：

f(t) 0 1 -5 -4 -3 -2 -1

求此信号的指数形式和三角形式的傅立叶级数展开式：

2 3 4 5 t

11f0(t)cos(t)g1tF0(j)Sa222j2eSa21j2e110

nnj11njn3232FnF0(j)|nSaeSaeT63232

1nnjSaSae63223（1） 指数形式：

n321nnjf(t)SaSae2233n6n32ej2nt3

（2） 三角形形式：

1nnAn2FnSaSa，A00,n33223n32

1nnn2nf(t)SaSacost

33232332ny（t）

f（t）  -3 ∫ ∫ -2 10、系统结构如右图所示。

求其系统函数H （s） = s / (s2 + 3s + 2） 和单位冲激响应h （t） = （- e — t + 2e — 2 t) （t）

11。如图所示系统，已知F()2，H(j)jsgn()，求系统的零状态响应y(t) .(建

0,21,议用图解法)y(t)2Sa(t)cos(5t)

cos4tf(t)＋H()y(t)

12．两线性时不变系统分别满足下列描述：

sin4t (t)3e1(t) h2(t):r2(t)3r2(t)ke2(t) h1(t):r1(t)2r1(t)e1① 求H1(s),H2(s);H1(s)s3k ,H2(s)s2s3s3

s2k② 两系统按图示方式组合，求组合系统的系统函数H(s)；H(s)11

③

k为何值时,系统H(s)稳定?k 〉-2

e(t)h1(t)r(t)1h2(t)13．连续时间系统H(s)H0① 求H0；＝ 3 ② 若给定激励(1e3ts3,2s3s2H0为常数，已知该系统的单位冲激响应的初值为3，

9)(t)时，系统的完全响应为(2ete2t)2tt0，

求系统的零输入响应yxtytyft5e12te,t0、 2零状态响应yft93t3ette2tt及系统起始状态r(0),r(0)。22y(0)yx(0),y(0)5.5,y'(0)yx'(0)y'(0)6

14．系统结构如图所示，已知y(1)3,y(2)9, 2① 写出系统的差分方程;② 求系统函数H(z)及系统的单位样值响应h(k);

③ 激励为(k)时，求系统响应,并指出其自由响应分量、强迫响应分量、暂态响应分量和稳态

响应分量。

a15x(n)y(n)z1z1b21b132

15 时间离散系统结构如图所示。

（1） 写出描述系统的差分方程。y (n） + y (n—1） + 0.25 y (n-2） = x (n） + x (n-1）

Z2Z（2） 写出该系统的系统函数H （z)2，

ZZ0.25并求冲激响应h （n） = ［0.5 n (-0.5) n-1 + （—0。5）n ］ （n）. 判断该系统是否稳定.是

（3） 已知x （n) =  （n）， y （-2） = 4， y (—1） = 0, 求零输入、零状态响应。

12

零状态响应=

811n1n(n)n0.5(n)0.5(n) ； 936零输入 = ［2n (—0。5) n -1 – 4 (—0。5）n ］ （n）。

（4） 若x （n） = 2 （n）， y （-2) =16， y （—1) = 0, 求零输入、零状态响应。

零状态响应=2倍（3)的零状态响应；零输入 ＝ 4倍（3）的求零输入。

16. 如图所示, H1（jω)为理想低通滤波器, e—jωt0 ｜ω｜≤1, H1(jω）= 0 ｜ω｜>1, 求系统的阶跃响应。 (提示：Si(y)延时T ＋ H1(jω) y（n）

Z-1  b=-1 a = -1/4 Z-1 Z-1 x（n） y0sinxdx). x1Sitt01SitTt0

1512cos(t)sin(t)](t), 55h1t1Satt0; gt117。 已知系统对激励 f(t) = sin （t）·（t)的零状态响应 y（t）＝[e求系统的冲激响应h(t) e2t2t(t).

18。 已知LTI系统在输入e1(t) =  (t)作用下的全响应为y1= (6e —2 t - 5e —3 t） （t)；在输入e2(t） = 3 （t)下的全响应为y2= （8e -2 t - 7e —3 t） (t）。系统的初始状态不变。求:1）系统的零输入响应y0（t）;2） 当输入e3(t） = 2 (t)时的零状态响应ye3 (t）。y0（t) = = (5e —2 t - 4e —3 t) (t）；ye3 （t） = （2e —2 t - 2e —3 t) （t) 19. 已知系统函数H(s)s＋

.1）求其冲激响应h(t）的初值h (0) = 1与终值h (∞) = 0 ；2)

s2s1002画出其零、极点图并粗略画出其幅频特性曲线，指出系统的滤波特性。（带通滤波器）极点;1j99;零点：0。

13

20. 如图所示系统，已知 ，（1）试画出f（t)、f1(t)、f2（t）、

f3(t)和y（t)的频谱图；(2)说明信号经此系统转换后再传输的意义;（3)说明由y(t）恢复f(t)的方法。

f (t) H(j) cos(4t) f2 (t)  y (t) f 1(t) f3 (t) F2(j) 1/2

21。 已知离散系统差分方程yn-j - 6 2  -2 2 F1(j) j  - 6 F(j) 1 - 6 sin(4t) -4 -2 2 F3(j) 1/2 4 6 

-4 -2 2 -1/2 Y(j) 1 4 6 

-4 4 6 

311yn1yn2xnxn1。1)求系统函数和单位样483值响应； 2）画出系统函数的零极点分布图； 3） 粗略画出幅频响应特性曲线, 指出其滤波特性。

Hzzz1331z2z4871101hn[]n；

3432nn零点：0、- 1/3；极点：1/4、1/2。

× × │ej│32 / 9 低通滤波器 Im [z] 16 / 45

- 1/3 1/4 1/2 Re [z] 22. 系统结构如图所示.已知当f(t)t时，其全响应y(t)1et2e2tt，求系数a、b、c和系统的零输入响应yxt= （2e — t - e — 2 t ） （t)； a = —3、 b = —2、 c = 2.

14

F（s） + + 1 + 1/s c + a  + 1/s  Y ( s )

23. 求f1(t)Sa(100t),f2(t)f1(t),f3(t)3f1(3t),f4(t)3f1(t4)，的最小抽样频率f s1、

2f s2、f s3、f s4。（100， 200， 300, 100 Hz)

24. 为了通信保密，可将语音信号在传输前进行倒频，接收端收到倒频信号后,再设法恢复原信

号频谱。下图是一倒频系统，其中HP、HL分别为理想高、低通滤波器。已知b > m。(1） 画出x（t） 和y(t） 的频谱图；（2)若HP、HL中有一个滤波器为非理想滤波器，倒频系统是否能正常工作？(3）若HP、HL均为非理想滤波器，倒频系统是否能正常工作? （可见书上P208页 4.40题）

F(j) f (t)  HP -b cos (ωb t) k1 b x (t) LP -m k2 m y (t)

cos[(ωb +ωm )t] f2 (t) 

- 1   t - 3 t 1 3

26。 求矩形脉冲G(t）=  （ t + 5) —  ( t - 5)经冲激抽样后的付里叶变换.抽样间隔1/5.大致画出Ｆ

(ω）的图形。 Ｆ(ω) = 50

25。 已知两矩形脉冲f1 (t）与f2 （t）。f3 (t) = f1（t）

＊f2(t）..（1）画出f3 （t)的图形；（2）求信号f3 （t)的傅氏变换F3() = 32 Sa （） Sa (2  )。 f3 (t) 8 f 1(t)    t kSa510k

27、求［Sa(t)]2的傅立叶变换;求[Sa（0。2k）]2的离散时间傅立叶变换并画出频谱图

28、求信号f(t)Sa(t)Sa(4t)的傅立叶变换F(j)并求该信号的能量E

15

f2tdt.

29。 时间离散系统结构如图所示。

y（n） (1) 写出描述系统的差分方程； x（n）  (2) 写出该系统的系统函数H （z）, 并求冲激响应h (n）.

（3) 判断该系统是否稳定；

0.8 (4） 大致画出幅频响应特性曲线并指出属于何种滤波特性； Z-1 (5) 若x （n) = （n），求零状态响应，分别指出暂态与稳态响应。

30。 系统构成如图所示。

各子系统的冲激响应分别为：h1（t） =  （t），h 2 （t） =  （t—1)，h 3 （t) = — （t ）。求总的冲激响应h （t)。。

h (t） =  (t） —  (t - 1)

sin(x)1dxdx。 31。 试证明x1x2t22e1f(t) h1(t) h2(t) h1(t) h3(t)  y(t) Fjd2f01dx1x2Sat1132。 如图所示电路

（1）写出电压转移函数H(s)V0(s)。 E(s)ftdtFj0sinxdxx

10 F e (t) V0 (t) (2）画出幅频、相频特性.指出电路属何种滤波器，

确定其截止角频率c.

（3）若e （t） = （10 sin 500 t ) (t)， 求v （t)。

指出其自由、强迫、暂态、稳态响应。

10k

V(s)H(s)0E(s)1041104510ss;s10c10高通

稳态响应约等于输入，即 （10 sin 500 t ) （t)。（ 因为500〉>50 ）

33。如图所示电路.t = 0 以前电路处于稳态，t = 0时开关自1转至2。

16

(1) 写出电路的传递函数H（s），画出零、

极点图;

(2) 画出幅频响应、相频响应特性曲线； (3) 分别求e1 （t） = 0, e2 （t) = 2 cos （ω01

t)， ω01 = 10 rad/s时的输出信号v0 （t）。

2 k e (t) 2 1k 1 1μF 10mH 2 k v0 (t) + － 1 V － +

34．图示电路系统中R=10Ω, L=1/（200π）H， C=1/（200π)μF。求,（1)系统函数H（s）；（2）

系统频率特性H(j)，粗略画出其幅频特性曲线，指出系统的滤波特性(低通、高通或带通等)并说明系统的主要参数;（3)图示对称矩形周期信号e (t)作用下该系统的响应v （t）

e(t) L e(t) -2.5 0 2.5 10 t (s) C R v(t) RsR2sLHs2;21R1s2s0RLss2ssCLLC1011000,0200200106200103(rad/s) 1LC220002jHj;Q1002222j0R2L这是一个品质因素Q很高的带通滤波器，其幅频特性曲线如图所示:

-1 +1  (2 103 rad/s)

1 ∣H(j)∣ 另一方面，图示对称矩形周期信号e(t）＝1/2 + 2/［cos(2105t）—1/3 cos(6105t）+1/5 cos(10105t)—……］。其中只有基波信号能够通过题中的滤波器，直流分量以及高次谐波的响应均可认为是零，

17

而H（j）∣=0 =1因此y(t) ≈ 2/cos（2105t） （V）。

35．时间离散系统的幅频、相频响应特性曲线如图所示.1)指出此系统的滤波特性(低通、高通、带通、带阻等）；2）若系统输入为f(k) = 2 （k) + 3 （-1)k  （k），求系统的稳态输出yss（k). ＊*提示：（-1） k = cos ( k )，1k = cos ( 0 k ） ＊*

   ()     ()   Hej Hej  .。。 。.。 。。。 。。.

 =  时 Hej2、() = 0； =  时 Hej0、（） = /2，所以，

yss(k） = 2 × 3 （-1)k  （k） = 6 （-1） k  （k）.

36．设有周期矩形方波信号f（t）如图（a）所示.其周期T1= 1s, 脉冲宽度 = 0。5 s。求f(t)经过一理想低通滤波器后的输出信号y（t)。理想低通滤波器的幅频、相频特性如图（b)所示。



f (t) 2 1 T1 (f) t -2 1 │H(jf)│ 2 fHz

f(t） = 1+ f1（t），f1（t）为周期1 s的对称矩形方波。

f1(t)k0.5Sa(k0.5)ek2t1211[cos2tcos6tcos10t........] 235由通滤波器的幅频、相频特性可知，f = 0时，增益为1；f = 1时，增益为1/2、相移为– 0.5 ；f >=2，

增益为0。所以，y(t)3131cos2tsin2t. 22237．线性时不变系统结构如右图： （1） 写出描述系统的差分方程； (2) 写出该系统的系统函数H （z）。

(3) 画出其零极点分布图，判断该系统是否稳定； （4) 大致画出幅频特性曲线并指出属于何种滤波特性； （5） 分别求f (k)为 cos （0 k)(k)、cos （ k）（k）、cos （0.5 k）(k)时的稳态响应。

f（k）  D - 0.25 D - 1  y（k）

38、信号f1（t)、f2(t) 如图所示。求F1(j） 和F2(j）、大致画出频谱图并进行比较。

18

f 1(t)    t f 2(t)   t 

F1（j) = 4 Sa （2  )；又因为, f2(t) = f1(t） ＊ f1（t）/4, 和F2(j) = 4 Sa2 (2  ）。

F1(jw)43210-10-50t510F2(jw)43210

-10-50510

比较 F1（j) 和F2（j)可以发现，三角脉冲的高频成分要比矩形脉冲的高频成份少,即随着频率的增大，幅频特性的幅值更快地得到收敛.从时域上看,三角脉冲是连续（其一阶导数有断点），而矩形脉冲本身就有断点.

39、 （1）对上题中的f1(t) 以0.5秒为间隔进行冲激抽样得到f1s（t) =

kfkT(tkT),试求

1ss12Fkf1s(t)的傅立叶变换F1s(j）= 并大致画出其频谱图为F1（j)以4为周期的周10.5k0.5期延拓。；（2））将上题中的f2 (t)与cos （4t）相乘得到f3 （t)，试求f3 （t）的傅立叶变换F3 （j） = [F2 (4） ＋F2 （4) ］/2大致画出其频谱图。

40、已知系统函数H(s)s，（1)画出其零极点图；（2)大致画出其幅频和相频曲线；（3）2s2s2f(t) 求系统在激励f (t) = 10cos (t）·（t),作用下的稳态响应yss（t)。

41、设有如图所示信号且f(t)F()。求① 2 

F()d；②ReF()原函数的图形（不必-1 1 2 3 t 写出其表达式）。

①

F()d2f(0)2;② ReF()f(t) 2

-1 1FF1ftft 22[f(t) + f(-t)]/2 2 1 1 2 3 t -3 -2 -1 1 2 3 t 19

R

42、已知信号f(t)的功率谱为Sf()N.求

信号通过以下低通滤波器后输出信号

f (t) C y (t)

y(t)的功率谱Sy()。

y(t)的功率谱为：Sy()NHj21jCN1RjC2NRC21。

43、用fs = 5 kHz 的周期单位冲激函数序列对有限频带信号f （t） = 3 + 2 cos(2f1 t ）， f1 = 1kHz，

进行取样。（1)画出f (t）以及取样信号f s （t）在频率区间（- 10kHz, 10 kHz)的频谱图；（2)若由f s （t）恢复f (t)，理想低通滤波器的截止频率f c 应如何确定？4 kHz 〉 f c 〉 1 kHz

44、信号f1（t）、f2(t) 如图所示。求F1（j) 和F2（j)、大致画出频谱图并进行比较。

 2 （3）

（1）

- 1

1 （15k） （5k）

- 10 - 9

- 6 - 5 - 4

- 1

1

4 5 6

9 10

f (kHz)

f (kHz)

f 1(t)  。。。。。。  t  f 2(t)  。。。。。。    t F1j16Sa22F2jT2nF(j)1nn22Sakk42k

45、写出上题中f2（t)的指数和三角形式的傅立叶级数表达式.若将f2 (t）作为电压源作用于图示RL电路，试求电流i （ t） 的前3次谐波分量。

+

20

1 H f 2(t)

1 i (t) jk4tf2t2Sake24Sa2kcoskt224kk11Hj;0;Hj11j1;Hj0.7938041j0.2531;Hj0.3967041j0.752

i ( t) 的前3次谐波分量为

32＋1.28cost－380＋0.14cost－6704446、时间离散因果系统的系统函数H (z)的零（o）、极点（×）分布如图所示,且已知当Z→∞时,H (z) →1。 1）写出系统函数H （z）的表达式；2）写出其频率响应特性H （ e j的表达式；3）粗略画出0 〈 〈 3的幅频响应曲线,并指出该系统的滤波特性(低通、高通、带通、带阻等）；4）若系统输入为f(k） = sin （0.5k ）  （k），求系统的稳态输出yss(k）。

- 1 Im [z] × j0.5 1 ×- j0.5 Re [z]

Hzz1z1zj0.5zj0.5Hejeej1ej1j0.5ejj0.5j（带通）

Hej0.5112.6710.25yssk2.67sin(0.5k)

—

47、线性系统对激励f1（t） =  （t）、起始状态y1（0) = 2的完全响应为y1 （t) = （e - t +1） (t）;

———

对激励f2（t） = e 2t （t）、起始状态y2(0) = 1的完全响应为y2 (t) = (2e t - e - 2t） （t）。求， （1)该系统的传递函数H (S）；（2）单位冲激响应h (t )；（3）输入为f (t ) =  (t）时的另状态响应yzs (t ）并指出其瞬时响应ytr （t)和稳态响应yss （t）.

111Y1(s)HsYx1(s);sss1211Y2(s)HsYx2(s)s1s2s2

Yx1(s)2Yx2(s)21

Hs1s1htett1111yt1ett;s1ss1sfttYsytrtett;ysstt

48．设某LTI系统的阶跃响应为g（k)。已知当输入为因果序列f（k)时，其零状态响应为 yzskgi。求输入f（k).（见书上P324页 6。33题）

i0k149、因果序列f（k）满足方程fikkk。求序列f(k).

2i0

-t

50、有一LTI系统对激励f(t）= (t)的完全响应为y(t)=2ee(t)， 对激励f(t)= (t）的完全响

应为y(t）=（t）.系统的初始状态不变的情况下，求系统的冲激响应h(t)和零输入响应yzi（t）.

y(t)yx(t)yf(t),y1(t)yx1(t)yf1(t),y2(t)yx2(t)yf2(t);

k1k 由题意有：yx1(t)yx2(t);又 yf(t)f(t)h(t)，

yf1(t)yf2(t)y1(t)y2(t)f1(t)f2(t)h(t). 进行L—T变换:Y1(s)Y2(s)F1(s)F2(s)H(s)，

21Y1(s)Y2(s)s11 H(s)，h(t)tett。 11F1(s)F2(s)s11s

yf2(t)f2(t)h(t)h(t)tett

零输入响应:yx(t)y2(t)yf2(t)ett

51、反馈系统构成如图所示.求使系统稳定（不包括临界稳定）的反馈系数k的取值范围.

F (s)  — H(s)k 1 s2Y（s） 52、某连续时间系统的系统函数

H(s)H0s3,2s3s222

H0为常数，已知该系统的单位冲激响

3t应的初值为3，① 求H0；② 若给定激励(1e)(t)时，系统的完全响应为

9(2ete2t)2解: （1)

t0，求系统的零状态响应、零输入响应及系统起始状态y(0),y'(0).

f0limsH(s)limH0ss3tss33s3H3H(s)， . 022s3s2s3s2（2）ft(1e112s3)(t)Fs

ss3ss3 YfsH(s)F(s)

3s332s32s39/233/2 s23s2ss3ss1s2ss1s293t3ette2tt 2212tt 零输入响应：yxtytyft5ee,t0

2零状态响应： yft（3）：

y(0)yx(0),y(0)5.5,y'(0)yx'(0)y'(0)6

53、利用傅立叶变换计算卷积积分 ftsin(8t)sin(4t)，并求ft的能量E. tt解：已知，Sa(t)g2，由尺度变换特性有：

sin(8t)8Sa(8t)g16() tsin(4t)4Sa(4t)g8()

t 由时域卷积定理有：

f(t)sin(8t)sin(4t)*g16()•g8()g8() ttf(t)sin(4t) t由能量守恒定律,可求ft的能量为:

23

E1f(t)dt221F(j)d22441d4

54、信号f(t）的频率上限为10Hz，求信号f1(t)=f （t-4）、f2(t）= f （3t）、f3(t)= f （3t） f （t-4) 的最低采样频率fs1、fs2、fs3。

解：(1)f1(t)f(t4)，由f(t)时移得到，而时移特性不改变信号带宽，所以其频率上限仍

为10Hz，所以其最低采样频率为fs120Hz;

（2)f2(t)f(3t)，f2(t)由f(t)尺度变换获得,时域压缩，频率展宽，所以其频率上限为

30Hz，所以其最低采样频率为fs260Hz；

（3）f3(t)f(3t)f(t4)，由频域卷积定理—两个信号在时域代数相乘,频域作卷积。所

以其频率上限为40Hz，所以其最低采样频率为fs380Hz。

Ui( t ) R1 C1 R2 Uo( t ) 55、电路结构如图所示、已知R1= 10k、C1=0.1F、

R2 = 50k.

求:(1)系统函数H(s)及其零、极点分布图；

（2）大致画出幅频特性曲线和相频特性曲线；

U i(t)  （3）当Ui（t）= 2 + cos（250t)时电路的输出Uo(t）； 。。。。。（4）设Ui(t)为右图所示三角波信号，大致画出

当T = 0.1 s和T = 0.001 s时 Uo(t）的波形。   - + 。。。。。t

R2sU(s)R2R1解:1。 系统函数:H(s)O，代入元件参数， 11Ui(s)R1ssC1R1C1j 5s经整理有 H(s)

s1000其零、极点分布图为：  O -1000 2。极点在S平面的左半平面，系统是稳定的。系统频率响应为 H(j)H(s)|sjj5

j1000 系统的幅频特性和相频特性为:

H(j) H(j)5 51026 ()2actan1000

24 90º  

1000

幅频特性

3。 当0时，H(j)0； 当250rad/s时，H(j)j52503.09ej128.1

j2501000Ui(t)= 2 + cos（250πt)时，输出为：

UO(t)3.09cos(250t128.1)

4. Ui（t）为右图所示三角波信号,画出当T = 0。1 s和T = 0。001 s时 Uo(t)的波形。 当T=0。1s时，基波角频率20,远小于系统的截止频率C,此时电路等效为微分电路，其输出波形为:

U o（t) 





基波角频率2000,远大于系统的截止频率C,此时电路等效为增益当T=0.001s时， t

为5的比例电路,此时输出波形为为：

  U o（t) 。。。。。 。。。。。

t

 56、已知某LTI系统，当初始状态y （-1) = 1， 输入f 1(k) =  (k） 时,其全响应 y1（k） = 2 (k)；当初始状态y (—1） = —1, 输入f 2（k） = 0。5 k （k） 时，其全响应y2(k） = （k—1） （k).求(1)该系统的传递函数H （z）；(2）单位样值响应h (k）；（3)输入为f （k） =  (k)时的零状态响应yzs（k）并指出其瞬时响应ytr(k)和稳态响应yss(k)。

解：1。 由初始状态y(1)1，输入f1(k)(k)和全响应y1(k)2(k)，得

y1(k)yzi1(k)yzs1(k)yzi1(k)h(k)*f1(k) (1）

由初始状态y(1)1,输入f2(k)0.5k(k)和全响应y1(k)(k1)(k),得

y2(k)yzi2(k)yzs2(k)yzi2(k)h(k)*f2(k) (2）

由零输入线性特性,有

yzi1(k)yzi2(k) （3）

对式（1）和（2）两端作z变换,有：

Y1(z)Yzi1(z)H(z)F1(z) （4） Y2(z)Yzi2(z)H(z)F2(z) （5）

由式（3）得，Yzi1(z)Yzi2(z)。式（4）+(5），经整理得

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2z2zz2Y1(z)Y2(z)z1(z1)2z = H(z)z0.5zz0.5F1(z)F2(z)z1(z1)22。 h(k)Z1H(z)0.5k(k) 3. Yzs(z)H(z)F(z)zzz2z z0.5z1z0.5z1yzs(k)(0.5)k(k)2(k)

其中，瞬态响应为：

ytr(k)(0.5)k(k)

稳态响应为：

yss(k)2(k)

26