第5节动量定理及应用

第5节 动量定理及应用

一 动量定理

物体质量m与运动速度u的积称为动量M。按牛顿定律，物体受到

外力F的作用，必然产生加速度a，物体运动速度u就要产生改变：

duddM(mu) Fmdtdtdt即作用于物体的外力F等于该物体在力作用方向上的动量改变率，称动量定理。用动量定理分析流体质点系统与接触它的周界之间的

相互作用是比较方便的。

所谓流体质点系统是所选定的控制界面内的流体质点的集合。流场中某确定的空间区域称控制体，这个区域的周界称为控制面(Control surface)。一旦选定之后，它的形状就不随流体的流动而改变。若控制体的位置相对坐标系是固定的，称固定控制体；否则称运动控制体。前者如一段固定安装的管道；后者如滑阀开启或关闭的过程，火箭升空过程。 控制体 un控制面 (b)tt瞬间 图 4-13 固定控制体 A1A2 (c)控制表面 (a)t瞬间 参看图4-13(a)，在t时刻取控制体Vcconst，控制体内任意位置上的速度为u，密度为，点质量为dV，则时刻动量为udV，经

Vctt过时间dt，即在tt时，控制体内的流体运动到图4-13(b)中虚线位置；流体系统在tt时刻有三部分组成；(1) tt时刻控制体Vc内的所有质

点（包括新流入控制体和尚留在控制体Vc的部分）总动量udV；

Vctt第十次课

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(2) 流出控制体Vc表面A1（图4-13(c)、u与外法线n成角小于90o）的动量dtu(udA)；(3) 流入控制体Vc表面A2(u与内法线n成角小于90o)

A1的动量dtu(udA)。即在tt时刻，流体系统的动量为

A2udVdtu(udA)dtu(udA)

A1A2VcttudVdtu(udA) (4.5-1)

AVctt按动量定理对流体系统的作用力F为

Flimt0d(mu) dt1udVu(udA)udV tttAVctVcudVu(udA) (4.5-2) tVcAA其中在udV中，u为控制体内任意一点的流速，在u(udA)中，A

Vc为控制表面，dA为矢量微面，dAndA，n为法线方向单位矢量，u为

表面出流速度。规定流出时u(udA)为“＋”的原因是u与外法线n成锐角，流入为“－”的原因是u与内法线－n成锐角。

对于定常流，控制体Vc内各点流速u仅为坐标的函数与时间t无关，即

udV0，则有 tVcFu(udA) (4.5-3)

A即对流体的作用力等于流出和流入控制体表面的动量的代数和；或流出

动量和流入动量之差。

一维管流为常见的流动，对定常一维管流，取流动方向为自然坐标，则上式可简化为

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Fu(udA)u(udA)u(udA)

222111AA2A1u2dQu1dQQ(u2u1) (4.5-4)

A2A1u1A1su2A2zox

F在x,y,z向投影为

y

图 4-14 一维管流

Fx(u2xu1x)Fy(u2yu1y) (4.5-5) F(uu)z2z1z二 动量定理的应用

yp1A1u1θ1θ2A2u2p2o

1 流体对弯管的作用力

x

图4-15 变径弯管

一维流变径弯管如图4-15所示，液体密度为，流量为Q，确定流

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体对弯管的作用力Fx和Fy。

弯管承受的作用力有两部分，其一为静压力，其二为动压力——流体流动的动量变化引起的作用力，参看图4-16，将A1和A2面上的静压力记弯管上与p1A1和p2A2相应的支撑力p1A1和p2A2分解成x,y向的分力，为Fx1和Fy1，按力平衡原理，则有

Fx1p1A1cos1p2A2sin2 (a) FpAsinpAcos111222y1p1A1sin1 p1A1 yFy1 p1A1cos1 Fx1 θ1oθ2p2A2sin2

p2A2xp2A2cos2

图 4-16 弯管上的静压力

按动量定理，弯管对流体作用力Fx'2Q(u2xu1x)，

Fy'2Q(u2yu1y)，而流体对弯管的作用力Fx2Fx'2，Fy2Fy'2，故有

Fx2Q(u1xu2x)Q(u1cos1u2sin2) (b) FQ(uu)Q(usinucos)1y2y1122y2联立式(a)和(b)则有

FxFx1Fx2p1A1cos1p2A2sin2Q(u1cos1u2sin2) (c) FFFpAsinpAcosQ(usinucos)y1y21112221122y图4-15中的弯管为一段变径弯管，特例情况如下：(a) 120，

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A1A2，u1u2；(b) 120 ，u1A1u2A2Q ；(c) 10,290o，，A1A2，u1u2；(e) A1A2，u1u2； (d) 10,290o（水平管）

10,290o ，u1A1u2A2Q，读者可自行分析。

2 射流对固体壁面的冲击力

液体自管嘴喷出，形成射流；若不计重力，则作用在流体上的力，

只有固体壁面对流体的阻力，其反作用力则为射流对固体壁面的作用力。如图4-17所示，射流自断面A0的管嘴以水平速度u0射向与水平面成倾角为的平板后，分成两股，其动量分别为m1u1和m2u2。取射流为分离体，平板沿其法向n对射流作用力为R，射流所受的相对压力为零，按动量定理则有

m1u1m2u2m0u0R (4.5-6)

以平板法线方向为x轴方向，向右为正；上式各量在x轴上的投影为

2Rm0u0sinA0u0sin

即

2 RA0u0sin

(4.5-7)

2射流对倾角平板（壁面）的冲击力R'RA0u0sin；当90o，2即射流垂直射向平板时，R'A0u0即为液流对平板的冲击力。

muPaA0u0xθR11n

Fxu

图 4-17 射流冲击平板 图 4-18 射流反推力

若平面沿射流方向以速度u移动时，则液流对平板的冲击力为

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22mu安徽理工大学机械工程系机设教研室 流体力学讲稿

R'A0(u0u)2 (4.5-8)

参看图4-18，容器侧壁开有面积为A0的小孔，液体以速度u2gh自小孔泻出。设出流量甚小，在很短的时间内可看成定常流。则液体沿x轴（u方向）的动量变化率为

dd(mu)(Qdtu)QuAu2 (4.5-9) dtdt按动量定理，这个量为容器对液体在x向的作用力RxAu2；同时液体对容器的反作用力为

FxRxAu2 (4.5-10)

如果容器可在向x向自由移动，由于Fx的作用，容器将朝u得把反方向运动，这就是射流的反推力。若容器上的压强不是大气压强，而是恒定的压力p，则小孔中流体速度u2gh3 动量矩定理

动量矩定理在流体机械（如燃气轮机、水轮泵等）中得到广泛应用。

动量矩定理可根据动量定理和矢量叉积运算理论导出。

在式（4.5-2）中，F是作用在控制体上的外力（合力，矢量），

2p。

udV是控制体内动量（矢量）对时间的变化率；u(udA)是通tVcA过控制面的净动量（矢量）。式中，u为任意的速度（矢量）。如果用r表示该点在坐标系中的矢径，对式（4.5-2）作叉积运算，则有

rF(ru)dV(ru)udA （4.5-11） tVcA式中 rF即是控制面上合外力（矢量）对坐标原点的合力矩，用T表示，对于稳定流，式（4.5-11）等号右侧第一项为零，则有

T(ru)udA(ru)udA(ru)udA （4.5-12）

AA2A1其中 A1为流入面，A2为流出面，这就是常用于叶轮机的定常流动矩方

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程。

由于矢量叉积，ru的大小ru可表示为

rurusin(ru)rucos （4.5-13）

式中 ——矢量r与流体质点的绝对速度u所成的角。 这样式（4.5-13）可以改写为

T(r2u2cos2r1u1cos1) （4.5-14）

式中 r2——流体流出控制体的半径，单位为m；

r1——流体流入控制体的半径，单位为m；

u2——流体流出控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s； u1——流体流入控制体的绝对速度的平均值，单位为m/s；

2——r2与u2所成的角；

1——r1与u1所成的角。

补加说明一点的是，绝对速度uV1V2，V1为控制体的旋转速度，

V1r，为角速度；V2 为流体相对控制体的运动速度。

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